Teorema trabajo-energía mecanica

[alucard]

Hola, a ver si me pueden ayudar con esta duda en la clase vimos que



"El trabajo de las fuerzas no conservativas=energía mecánica en b - energía mecánica en a"

lo que me gustaria saber es si esta fórmula viene de alguna definición con integrales, por ejemplo yo se que el trabajo de una fuerza viene dado por



espero haber sido claro, gracias de antemano

saludos

[HernanV]

La cantidad de movimiento de un sistema es , supongamos masa constante. De la segunda Ley de Newton, se tiene que , donde es la fuerza neta aplicada sobre el sistema. Si calculamos la circulación del campo de fuerzas sobre una curva suave que una los 2 puntos inicial y final, vemos que



Dado que , tenemos que



De manera análoga se demuestra para el campo gravitatorio, fuerzas elásticas, etc.

Saludos!

[Jabato]

Solo un matiz, el cálculo que realizaste es válido solo para un punto material al que se aplica una fuerza, los sistemas en general son algo más complejos y no necesariamente cumplen esa relación.

Saludos, Jabato.

[HernanV]

Solo un matiz, el cálculo que realizaste es válido solo para un punto material al que se aplica una fuerza, los sistemas en general son algo más complejos y no necesariamente cumplen esa relación.

Saludos, Jabato.

Totalmente! Lo que pasa es que intuí al tipo de sistema que se estaba refiriendo aoleonsr

[alucard]

Muchas gracias HernanV me sirvio mucho tu respuesta     

[Jabato]

Solo un comentario, si las fuerzas que actúan sobre un sistema (en este caso sí podemos hablar de un sistema) las clasificamos en fuerzas conservativas y no conservativas, resulta que como las fuerzas conservativas deben mantener la energía mecánica (esa es su principal característica) resulta entonces que el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas debe necesariamente traducirse en una pérdida de energía mecánica del sistema. Siempre claro está que el trabajo sea realizado por el sistema, porque si el trabajo se realiza contra el sistema entonces la resultante es un incemento positivo de la energía mecánica.

Un ejemplo sencillo. Un piano de cola que pesa se deja caer desde el décimo piso de un edificio . La única fuerza conservativa es la gravedad , y la única fuerza no conservativa es el rozamiento del piano con el aire. Considérese que el piano de cola es un solido rígido y que la resultante de la fuerza de rozamiento con el aire es proporcional a la velocidad de caída y que actúa siempre sobre su C.D.G. Lo normal es que esto último no sea cierto lo que provocaría que sobre el piano actuarán fuerzas excéntricas que generarían un par de torsión que haría girar el piano, pero por simplicidad consideremos que dicho par no existe y que el piano desciende mediante un movimiento de traslación pura, sin rotación. Hallar la velocidad con la que el piano se estrella contra el suelo.

La resolución del problema puede realizarse sin necesidad de atender a la ley que nos propuso aoleonsr en el primer mensaje, basta con aplicar la segunda ley de Newton:

ecuación que se resuelve con suma facilidad al ser lineal de primer orden. Pero ese no es nuestro problema, nuestro problema estriba en, una vez resuelta dicha ecuación, comprobar que efectivamente el trabajo realizado por el rozamiento, al frenar el piano en su caída, coincide precisamente con la disminución de su energía mecánica total (suma de las energías cinética y potencial).

Es decir, el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas de un sistema mecánico deviene necesariamente en una pérdida equivalente de su energía mecánica total. Lo que por otra parte es lógico ya que las fuerzas conservativas mantienen invariante la energía mecánica, por propia definición.

A ver, ¿algún valiente?

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Bueno, como veo que nadie parece tener intención de resolver este asunto lo haré yo, pero antes escribiré la ecuación anterior utilizando magnitudes vectoriales, que es la mejor manera de no liarse con los signos:

Si ahora multiplicamos toda la ecuación escalarmente por el vector que representa el desplazamiento del CDG del piano resulta que:

que al fin y a la postre nos conduce a la siguiente ecuación escalar:

que no hace más que expresar que el trabajo elemental realizado por las fuerzas de rozamiento (que es evidentemente negativo por ser la fuerza opuesta al desplazamiento) es igual a la variación de la energía mecánica total en cada instante, lo que nos conduce inexorablemente a que la energía mecánica del sistema disminuirá como consecuencia de las pérdidas provocadas por el rozamiento, ecuación que integrada entre los instantes inicial y final del movimiento nos conduce efectivamente a la ley ya expresada por aoleonsr en el primer mensaje de este hilo.

Evidentemente el resultado es generalizable a sistemas formados por un número elevado de fuerzas y partículas dado que siempre es posible considerar como aplicable el principio de superposición. Así es también aplicable al caso del movimiento generalizado de los sistemas formados por partículas así como al movimiento del sólido rígido, aunque no es ahora la ocasión de exponer una demostración de tales cuestiones que son más complejas.

Saludos, Jabato.

[alucard]

Gracias jabato me gusto mucho tu explicación ya la imprimí de seguro me va a ser de utilidad cuando veamos teoria del cuerpo rígido

saludos

[Jabato]

Un placer ayudarte, ya sabes, como siempre.

Saludos, Jabato.

[alucard]

Un placer ayudarte, ya sabes, como siempre.

Saludos, Jabato.

Las ideas claras y el chocolate espeso   , gracias nuevamente   

[jordioj]

"El trabajo de las fuerzas no conservativas=energía mecánica en b - energía mecánica en a"

lo que me gustaria saber es si esta fórmula viene de alguna definición con integrales, por ejemplo yo se que el trabajo de una fuerza viene dado por

Sí, Hernan lo ha dejado encaminado. Como lo indica, el trabajo realizado por la fuerza neta sobre un cuerpo a lo largo de una trayectoria equivale a la variación de la energía cinética. Dicha fuerza la podemos descomponer en conservativas y no conservativas, sabiendo que el trabajo realizado por fuerzas conservativas equivale a la variación de la energía potencial, por lo que el trabajo realizado por fuerzas conservativas se despeja rápidamente alcanzándose la ecuación que muestras

[Jabato]

Faltaría demostrar las dos afirmaciones que no quedan demostradas:

a) El trabajo realizado por la fuerza neta sobre un cuerpo equivale a la variación de su energía cinética.

b) El trabajo realizado por las fuerzas conservativas sobre un cuerpo equivale a la variación de su energía potencial.

No digo que no sean ciertas solo digo que necesitan una demostración.

Saludos, Jabato.

[jordioj]

Hola.
a) Ya lo ha resuelto Hernan
b) Si las fuerzas son conservativas podemos expresarlos mediante el uso de una función potencial tal que . Resolviendo fácilmente identificamos con la expresión de la energía potencial.

[Jabato]

Sí, Hernan lo ha dejado encaminado. Como lo indica, el trabajo realizado por la fuerza neta sobre un cuerpo a lo largo de una trayectoria equivale a la variación de la energía cinética. Dicha fuerza la podemos descomponer en conservativas y no conservativas, sabiendo que el trabajo realizado por fuerzas conservativas equivale a la variación de la energía potencial, por lo que el trabajo realizado por fuerzas conservativas se despeja rápidamente alcanzándose la ecuación que muestras

Si entiendes por "cuerpo" a una masa puntual sí, pero cuando hablas de cuerpo entiendo que ese es un concepto más amplio que el de masa puntual, por ejemplo un sólido rígido, y entonces no valen las demostraciones presentadas.

Por ejemplo un par de fuerzas actuando sobre un sólido rígido. La resultante de las fuerzas es nula, pero sin embargo hay un incremento de la energía cinética. Hay que ir más despacio para hablar de "cuerpo".

Saludos, Jabato.

[jordioj]

Si además de fuerzas actúan momentos la energía cinéctica total será la debida a la fuerza neta y al momento neto, pero si sólo consideramos la energía debida a la fuerza neta seguirá cumpliendose la demostración.

[Jabato]

Sí, sí, pero eso hay que demostrarlo, y no para un punto material sino para un "cuerpo", digamos un sólido rígido por ejemplo. Eso es lo único que te pido, que lo demuestres. Nada más.

Saludos, Jabato.

[jordioj]

Simplemente, siendo rígido el cuerpo, represéntalo mediante una masa puntual situado en su centro de gravedad. El resto ya está demostrado.

[Jabato]

No, no, para el movimiento de un sólido ninguno de los razonamiento usados hasta ahora es válido de forma general, piensa que para un sólido puede ocurrir que algunas de las fuerzas actuantes sean excéntricas respecto al C.D.G y por lo tanto pueden aparecer torques que lo harían girar.

Lo correcto sería analizar el movimiento del sólido en el caso más general, con ecuaciones claro está, y llegar a la misma conclusión que antes, pero eso hasta ahora no ha ocurrido que yo haya visto. Un sólido rígido no puede reducirse a un punto material salvo para casos muy especiales, pero no de forma general.

Saludos, Jabato.

[jordioj]

Como que no, en un sólido rígido un sistema de fuerzas y momentos se puede representar siempre mediante una fuerza resultante y un momento resultante aplicados en el centro de gravedad. Una fuerza excéntrica respecto al centro de gravedad es equivalente a la misma fuerza aplicada en el centro de gravedad más el momento que ejerce la fuerza por la excentricidad aplicado en dicho punto.
En definitiva, a efectos de cálculo, se puede representar el cuerpo mediante una masa puntual cuya evolución temporal es debida a la fuerza neta; luego para averiguar la posición de las demás párticulas es inmediato por la condición de rigidez.
Lo que todavía no se ha visto es que hayas demostrado algo de lo que estás comentando.

[Jabato]

Disculpa pero lo único que yo he dicho es que demostrarlo para un sistema de partículas es algo más complejo y que no lo haría. El que ha dicho que la demostración estaba ya hecha has sido tu pero hasta el momento solo he visto palabrería y pocas ecuaciones, por no decir ninguna.

Si dices que puede hacerse hazlo y déjate de discusiones, obras son amores y no buenas razones. Yo hasta el momento lo único que he dicho es que realizar esa demostración para un sólido rígido ó para sistemas compuestos de partículas no es fácil, y mi intención ha sido siempre evitar el hacerlo por considerar que no es este el sitio adecuado para hacerlo. Lo que si está claro es que de lo expuesto hasta ahora nada puede aplicarse al movimiento de un sólido rígido afectado por una fuerza y un momento resultantes. Hasta el momento todo lo dicho es aplicable a una masa puntual pero nada más. Así que insisto, para sistemas compuestos de partículas ó sólidos rígidos nada se ha demostrado hasta el momento.

Pongamos un ejemplo sencillo, supongo que todos conocéis esos juguetes que constan de una hélice que es impulsada por un mecanismo de accionamiento manual, que al ser actuado provoca que la hélice salga disparada hacia arriba debido al movimiento de rotación imprimido. Bien pues supongamos que la hélice se deja caer desde el reposo desde una altura suficiente, y supongamos también que el rozamiento con el aire y el par de giro son proporcionales a la velocidad de descenso, y que la fuerza ascensional es proporcional a la velocidad de giro (las tres constantes de proporcionalidad no tienen porqué ser iguales). ¿Como demostrarías en este caso que se cumple el citado teorema? Si tan sencillo es ... !anda, demuéstralo!

Saludos, Jabato.