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Autor Tema: Círculo inscrito  (Leído 264 veces)
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Michel
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« : 20/06/2011, 12:25:49 pm »

Dadas tres circunferencias de radios r, r’ y r’’, cada una tangente exteriormente a las otras dos, calcular el radio del círculo inscrito en el triángulo que tiene por vértices los centros de las circunferencias dadas.
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« Respuesta #1 : 21/06/2011, 01:13:57 am »

Hola.

 Que interesante está la sección se geometría sintética, siempre me gustó mucho la geometría en el colegio.
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Saludos.
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Michel
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« Respuesta #2 : 21/06/2011, 04:00:59 am »


Hola Braguildur: bienvenido a GS, con el deseo de que sigas participando.

La respuesta es correcta, ese es el valor del radio.

A este resultado no se llega por una corazonada, sino después de haberlo hecho, así que anímate a enviar el desarrollo que, sin duda, has hecho, acompañado de la correspondiente figura.

Saludos
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« Respuesta #3 : 22/06/2011, 03:14:28 am »

Hola.

 Con gusto michel, aquí va el esbozo de lo que hice para dar con la respuesta. Consideremos el siguiente gráfico


 En donde la figura de la derecha muestra la circunferencia inscrita al triángulo [texx]ABC[/texx] de radio [texx]R[/texx] tangente a los lados del triángulo en [texx]D'[/texx], [texx]E'[/texx] y [texx]F'[/texx]. Si [texx]p[/texx] es el semiperímetro del triángulo [texx]ABC[/texx], como [texx]p=r+r'+r''[/texx], por la relación de Herón entre el área de un triángulo y las longitudes de sus lados, tenemos que si [texx]S[/texx] es el área del triángulo [texx]ABC[/texx],

[texx]S=\sqrt{(r+r'+r'')rr'r''}[/texx];

por otro lado, de la figura de la derecha se deduce que [texx]S=Rp=R(r+r'+r'')[/texx]; de estas dos relaciones concluimos que

[texx]\boxed{R=\dfrac{S}{r+r'+r''}=\dfrac{\sqrt{(r+r'+r'')rr'r''}}{r+r'+r''}=\sqrt{\dfrac{r\,r'\,r''}{r+r'+r''}}}[/texx].

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Saludos.

P.D: Por más que quise, al final no pude escapar de recurrir a Herón para evitar que la prueba se tornara bastante más operativa y menos elegante  :indeciso:.

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