Un libro de cálculo riguroso tiene que explicar claramente y en forma precisa las propiedades analíticas de los números reales, esto es: la propiedad del supremo y sus consecuencias.
Algunos lo nombran, otros insisten un poco más.
Otros ni lo nombran, y están los que arrancan "intuitivamente" y después introducen el concepto.
En ningún libro de cálculo he visto que definen en forma rigurosa las funciones trigonométricas.
Me refiero, por ejemplo, a la función sen(x) como función de x.
Se puede definir el seno de un ángulo sin problemas,
pero eso requiere que previamente estén definidos ciertos aspectos geométricos,
como la existencia de ángulos en el intervalo real entre 0 y 2 pi.
Esto amerita que se defina con rigor lo que quiere decir un "ángulo"
, por ejemplo.
Una vez definido lo que es un ángulo x en el plano, puede definir fácilmente la función sen(x), y también cos(x), y todas las funciones trigonométricas.
Pero resulta que la noción de ángulo se deja "en el aire" apelando a la intuición del lector.
Para que existan ángulos x, siendo x un real cualquiera, se debe apelar al axioma del supremo de los reales, que tiene consecuencias en las propiedades de completitud de la circunferencia en un plano.
Sin esto, no existirían ángulos x para valores x cualesquiera.
También es cierto que puede definirse "ángulo" entre dos rectas que se cruzan, pero ese ángulo tiene que tener un "valor" x, para luego definir qué cosa es el seno del ángulo x.
No puedo definir el seno del ángulo de dos rectas dadas, porque ya no sería el seno una función dependiente de un número real x, sino de dos variables r, s, que serían rectas del plano....
Como estas quisquillosidades nos las ví en ningún libro, las escribí como una nota en el humilde cursito de límites que intento mantener en la zona de cursos del foro.
El tener en cuenta el "supremo" en los reales antes que las definiciones de las definiciones trascendentes, así como las propiedades de límites y derivadas del cálculo, son lo que le da más "solidez" teórica al desarrollo.
En el cursito de límites he dejado cosas sin demostrar, pero he cuidado mucho el orden de la exposición, y primero puse el supremo, después las definiciones de las funciones trascendentes, y sólo en la medida de lo posible, sin traer conejos sacadas de la galera.
Y lo mismo con los ángulos.
Así que te invito a completar tus libros de cálculo con las notas que puse ahí.
No es mucho, pero creo que es un camino sólido, que es casi lo mismo o mejor que "riguroso".
El rigor mínimo y necesario para "no mentir".
