Infinidad de primos.

[diana_love]

Hola.
Probar que hay un número infinito de primos de la forma
Se me ocurre:
Supongamos que soló hay un número finito de primos de la forma .
Sea  esto con la idea de usar 
 

pero no llegó al resultado.
Cualquier ayuda se agradece.

[Partu]

disculpa, no entiendo algo.. vos decis 6.n +1 ??
si n=4, no es primo :S

[siete]

disculpa, no entiendo algo.. vos decis 6.n +1 ??
si n=4, no es primo :S

que haya un número infinito de numeros primos de de forma ,
no significa necesariamente que todos los números de la forma sean primos,.

Velo de este modo:

hay infinitos número pares de la forma ,...
sin embargo, no todos los números de la forma son pares,.

Nota:

[luchoferronir]

Hola, diana, en realidad el problema si está resuelto. Te explico por qué.

Supongamos que hay exactamente n primos de la forma 6k+1.

Sea donde es el i-ésimo primo de la forma .

Consideremos el número . Es claro que los primos que dividen a son necesariamente de la forma . Sea q un primo que divida a . Entonces:



Pero, ya vimos que es de la forma , y sabemos que si es de la forma . Hemos llegado a una contradicción y por ende hemos probado que hay infinitos primos de la forma

[pepito]

Supongamos que hay exactamente n primos de la forma 6k+1.

Sea donde es el i-ésimo primo de la forma .

Consideremos el número . Es claro que los primos que dividen a son necesariamente de la forma .

No lo veo tan claro.

[luchoferronir]

Hola.

Para mí sí es bastante claro.

De todas formas, dejo el razonamiento escrito:

Ya que es múltiplo de TODOS los primos de la forma , entonces también es divisible por todos los primos de la forma ... Pero como 3 no es divisible por ningún primo de la forma , entonces no es divisible por ninguno de la forma , por lo que o bien es primo, o bien sus divisores primos son de la forma .

Saludos.

[pepito]

Bueno, entonces esa parte sí. Tenemos que es congruente a 1 módulo 6, que no es primo, y que todo primo que lo divida es congruente a 5 módulo 6. ¿Por qué es imposible que sea, por ejemplo, , donde y son dos primos congruentes a 5 módulo 6? O más en general, ¿por qué es imposible que sea el producto de una cantidad par de primos (no necesariamente diferentes) congruentes a 5 módulo 6?

El problema es que nunca vi esta notación:

entonces me cuesta seguir la demostración. Según el primer mensaje, me vería tentado de suponer que la cita significa . Si es así, entonces está mal. No es cierto que si entonces .

Pero bueno, mejor primero aclará qué es lo que quiere decir esa notación y después vemos bien.

[luchoferronir]

Hola...

es el símbolo de Legendre de respecto de un primo impar . El símbolo de Legendre denota el carácter cuadrático de a módulo p. Si a es residuo cuadrático módulo p entonces el símbolo que puse más arriba es . Si a NO es residuo cuadrático módulo , entonces el símbolo que puse es y si a es múltiplo de p, el símbolo es 0.

Con respecto a tu pregunta, es justamente eso lo que estoy demostrando, que no puede suceder eso: es decir no puede tener ningún divisor de la forma , ya que es un hecho conocido que NO es residuo cuadrático módulo un primo de la forma , y si tuviera un divisor de dicha forma, entonces sería un residuo cuadrático módulo ese primo, lo cual es absurdo.

Saludos.

[Teón]

Hola:

Supongamos que hay exactamente n primos de la forma 6k+1.

Sea donde es el i-ésimo primo de la forma .

Consideremos el número . Es claro que los primos que dividen a son necesariamente de la forma . Sea q un primo que divida a . Entonces:



Pero, ya vimos que es de la forma , y sabemos que si es de la forma . Hemos llegado a una contradicción y por ende hemos probado que hay infinitos primos de la forma

Si tomamos

, ambos son primos de la forma , sin embargo
, con ambos factores de la forma como se puede verificar.

Saludos.

[luchoferronir]

Hola,

Sí, Teón, eso te lo creo.

La diferencia radica en que yo definí como el producto de TODOS los primos de la forma (suponiendo que éstos son finitos, claro está), con lo cual sigo sin encontrar error en mi solución.

Saludos.

[Teón]

Hola:

El detalle que falta agregar es que los divisores de deben ser de la forma o de ser de la forma serán mayores que cualquier , contrariamente a que era el mayor primo de la forma .

Salvo ese pequeño formalismo, la idea está bien y sencilla, ya que demostrar la infinitud de un caso más general como el de los primos es bastante complicado y ni que hablar del caso más general o teorema de Dirichlet.

Saludos.

[pepito]

Hola,

Sí, Teón, eso te lo creo.

La diferencia radica en que yo definí como el producto de TODOS los primos de la forma (suponiendo que éstos son finitos, claro está), con lo cual sigo sin encontrar error en mi solución.

Saludos.

Sí, sí, esa cuenta yo también la hice ayer, pero es como vos decís. Según lo que estás suponiendo, 157 y 211 no serían primos, porque son congruentes a 5 módulo 6 y son distintos de 7 y 13.

Estoy de acuerdo con la prueba, sólo tendría que ver con cuidado por qué vale esto:

Pero asumiéndolo como verdadero, la demostración está bien.