Rectángulo equivalente.

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michel:
Transformar gráficamente un cuadrilátero cualquiera en un rectángulo equivalente.

lexotulivelulaxentric:
Disculpame la pregunta: ¿Esto sería con "regla y compás"?

Gracias

michel:
Hola    lexotulivelulaxentric:

Todos los problemas de construcción, mientras no se diga lo contrario, deben hacerse utilizando exclusivamante la regla y el compás.

He visto tu otro mensaje; es evidente que los problemas deben hacerse pensando seriamente y sin prisas.

Saludos.

lexotulivelulaxentric:
Están las imágenes adjuntas; argumento: un cuadrilatero cualquiera tiene área igual a la suma de los dos triángulos que se obtienen dividiendolo por una de sus diagonales, teniendo en cuenta tal cosa, el área puede calcularse como o mejor , en donde es una diagonal cualquiera y la suma de las 2 alturas perpendiculares a .

(presindiendo de un escuadra): #1 elejimos una diagonal () y uno de los triángulos que la tienen como lado, nombrado DAB con A como el vértice opuesto a .

#2 trazamos un triángulo intercambiando la longitud de los lados que no sean (ejemplo: si el triángulo era de lados a, y b, hacemos uno nuevo con base ', a' (que mida b), b' (que mida a), nombramos a este nuevo vértice E (tal que E esté del mismo lado que A con respecto a . Notamos que el la recta que pasa por E y A es paralela a .

#3 siendo C el vértice opuesto a del triángulo opuesto a DAB: con radio AC y centro en A trazamos una circunferencia y otra con radio EC y centro en E, y un segmento de recta (h) entre las intersecciones de ambas circunferencias. Notamos que el segmento desde C hasta contenido en h es es decir la suma de las alturas relativas a de los triángulos DAB y DCB.

#4 si nombramos al punto que comparten con H_1+2 como H sabremos que de aquí que podemos construir el primer lado de nuestro rectángulo tomando radio en y trazando con centro en H, la intersección de esta nueva circinferencia con la recta que pasa por A y H es uno de los vértices (H').

#5 hallamos el punto medio de H_1+2 (M) y en él como centro trazamos una circunferencia de radio .

#6 en H' de centro trazamos una circunferencia con radio igual a un medio de H_1+2.
La intersección de las últimas dos circunferencias nos da el último vértice, en las imágenes adjuntas no tiene nombre, pero llamémosle X, tenemos nuestro rectángulo con vértices HH'XM

Justificación: el nuevo rectángulo tiene lados HH' = = XM,   y   H'X = = HM y por lo tanto su área es igual a que es igual al área del cuadrilátero.

michel:
 Hola lexotulivelulaxentric:

Yo tenía resuelto el problema de la siguiente forma, bien es cierto que elegí un cuadrilátero convexo; pero si se toma uno cóncavo, como has hecho tú, no resulta mucho más complicado.

Te explicaré los pasos sucesivos de la construcción para que lo repitas con el tuyo. (Dibujo adjunto).

1. En el cuadrilátero ABCD trazo la diagonal BD y las perpendiculares AN y CM a esa diagonal.
2. Determino E, F, H y G, puntos medios de AB, BC, CD y DA, respectivamente.
3. Trazo las rectas EG y FH (que son paralelas) y las perpendiculares a ambas por B y D; los puntos de corte son S, T, U y V, que forman un rectángulo.
4. El cuadrilátero inicial ABCD y el rectángulo final STUV son equivalentes: en efecto, cada uno está formado por el hexágono sombreado (es común), un triángulo 1, un triángulo 2, un triángulo 3 y un triángulo 4.

Intenta seguir estos pasos con tu cuadrilátero convexo y verás cómo sale con ligeras diferencias.

En cuanto a tu solución, me resulta complicada; empiezo por no entender el párrafo #2, referente a la construcción del nuevo triángulo.

Espero que entiendas la construcción que te envío.

Saludos




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