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Autor Tema: ¿Un problema con interpretación fractal?  (Leído 16509 veces)
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argentinator
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« Respuesta #20 : 11/05/2011, 09:36:58 pm »

El problema con los fractales es que no existe una definición formal universalmente aceptada de lo que son tales objetos,


Opino que en realidad tenemos una definición formal, aunque no significa que no haya gente que acepte definiciones alternativas.

Se trata del concepto de dimensión de Hausdorff.

Si un conjunto A tiene n-volumen 0, o sea que es bastante "flaco", puede ya considerarse un "fractal".
Queda solamente calcular su dimensión de Hausdorff.

Si la dimensión de Hausdorff del conjunto A es estrictamente menor que n, puede decirse que es un fractal "estricto".
Si la dimensión de Hausdorff es igual a n, es un conjunto del estilo de "Kakeya".

Si la dimensión de Hausdorff es n, pero la medida es positiva, entonces es "gordito", tiene una ¨n-bola inmersa dentro en alguna parte.
No es un ejemplo de fractal, sino un cuerpo n-dimensional "clasico".

Pero me parece que en realidad a todo conjunto se lo puede considerar "fractal".
Los de dimensión de Hausdorff fraccionaria son los fractales tipicos, que no tienen chances de parecerse a curvas o superficies "regulares".

Saludos
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jgonzalez
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« Respuesta #21 : 12/05/2011, 01:10:28 am »

Pues el conjunto de Mandelbrot que se da como ejemplo de fractal tiene dimensión de Haussdorff 2, es un conjunto 'gordito' pero interesante (su frontera también tiene dimensión 2).


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Jabato
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« Respuesta #22 : 15/05/2011, 03:29:16 pm »

Quisiera hacer aquí algunos comentarios sobre ciertas propiedades de los conjuntos de puntos situados en un espacio [texx]\mathbb R^n[/texx]

Me refiero basicamente a la cardinalidad y a la dimensión. Dichas propiedades son, en tales conjuntos, propiedades que pueden definirse para cada punto y solo en función de las características de su entorno. Es decir pueden establecerse sus valores asociados a un punto como propiedades de los puntos de su entorno, al igual que se establecen los límites de las funciones.

Me explico, podemos definir la cardinalidad y la dimensión asociados a un punto cualquiera del conjunto como el limite de la cardinalidad y dimensión del entorno de dicho punto cuando el diámetro de dicho entorno se hace tender a 0.

Ocurre algo parecido con otras propiedades no tan facilmente cuantificables, tales como el "nivel de detalle", ésta es una propiedad que puede establecerse en general en todos y cada uno de los puntos del conjunto y dependerá básicamente de la forma y estructura que tenga el entorno del punto considerado.

Así pues yo me atrevería a afirmar que la propiedad de ser "fractal" no es algo que pueda asociarse a todo el conjunto sino a todos y cada uno de los puntos que lo conforman. Es decir un conjunto no presenta la propiedad de ser un fractal, sino que es más correcto decir que algunos de los puntos que lo componen son puntos fractales por las propiedades que presenta su entorno. Puede ocurrir por supuesto que todos sus puntos sean fractales, ó solo algunos, ó incluso solo uno, y esto debería tenerse en cuenta en primer lugar para decidir la forma en que deben definirse los fractales ya que dicha cualidad no parece que sea una propiedad de los conjuntos, sino más bien de los puntos que lo forman.

Por ejemplo, los puntos fractales en el caso del fractal de Mandelbrot, serían los puntos de su frontera, única y exclusivamente, pero en el caso del conjunto de Cantor todos sus puntos serían fractales. Así pues antes de dar una definición correcta de qué cosa sea un fractal deberíamos hacer algunas distinciones previas.

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« Respuesta #23 : 15/05/2011, 03:50:36 pm »

Hola Jabato.

Tus apreciaciones las veo como "intuiciones geométricas", y creo que se entienden bastante bien, y hasta seguramente estoy muy de acuerdo.

No obstante, lo que estás dando es una noción, digamos, de "dimensión local" de un conjunto E, en un punto dado x de E.

La dimensión de Hausdorff es "global", y de algún modo "barre" con todo lo que ocurre en el conjunto.
"Se traga" ciertos detalles.

Ciertamente que analizar un conjunto en detalle, "localmente", como has indicado, es más interesante.
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Jabato
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« Respuesta #24 : 15/05/2011, 04:35:02 pm »

Sí, es cierto, pero fíjate que cualquiera que sea la forma en que determines la dimensión ó la cardinalidad de un conjunto de puntos el resultado siempre nos va a coincidir con la dimensión ó la cardinalidad del punto que presenta mayor dimensión ó mayor cardinalidad. Es decir, que por ejemplo el valor que nos devuelve la dimensión de Hausdorff es precisamente la dimensión del punto que presenta mayor dimensión de Hausdorff local, etc. Esto quizás habría que demostrarlo, pero a primera vista parece una conjetura bastante plausible, desde mi punto de vista. Así pues mantengo mi opinión, las dos propiedades citadas, dimensión y cardinalidad son propiedades que pueden ser asociadas a un punto, mejor que a todo el conjunto, aunque no cabe duda de que también pueden ser calculadas para todo el conjunto, nadie lo niega, por supuesto, pero creo que este otro enfoque resulta mucho más interesante.

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« Respuesta #25 : 15/05/2011, 05:08:28 pm »

Sí, es cierto, pero fíjate que cualquiera que sea la forma en que determines la dimensión ó la cardinalidad de un conjunto de puntos el resultado siempre nos va a coincidir con la dimensión ó la cardinalidad del punto que presenta mayor dimensión ó mayor cardinalidad.


Eso parece cierto... ¿pero qué pasaría si hay "puntos" con dimensión creciente, sin máximo?
En ese caso la dimensión del conjunto tendría que ajustarse al "supremo" de las dimensiones "locales" en cada punto, ya que no habría un punto con "dimensión máxima".

Así, no habría un punto con dimensión máxima.
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Jabato
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« Respuesta #26 : 15/05/2011, 05:29:28 pm »

Bueno, yo no tengo todas las respuestas, pero si ese caso pudiera darse habría que analizarlo con detenimiento. Piensa que al menos hay una cota superior para la dimensión (y para la cardinalidad también existe esa cota) que es precisamente la dimensión del espacio donde se ubica el conjunto. En un espacio [texx]\mathbb R^n[/texx] no puede haber conjuntos cuya dimensión sea superior a la del propio espacio porque eso sería un contrasentido, así que parece difícil imaginar que tales conjuntos puedan existir. De todas formas si fueras capaz de mostrarme un ejemplo sería interesante ver lo que ocurre al tratar de obtener la dimensión Hausdorff de todo el conjunto, ya que parece obligado que dicho cálculo debería de conducirnos a un valor, y dicho valor debería coincidir necesariamente con la dimensión Hausdorff en algún punto. Aunque si he de serte sincero no sé que pasaría con un conjunto así, y creo que tu tampoco, ni tan siquiera creo que seas capaz de ponerme un ejemplo de un conjunto como ése.

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« Respuesta #27 : 15/05/2011, 06:37:04 pm »

Bueno, así de "rápido" no puedo conseguir fractales de cualquier dimensión.
Pero no debe ser muy difícil tampoco.

Los fractales típicos son los conjuntos de tipo "Cantor".

El conjunto de Cantor se forma quitando a un intervalo (o un cubo) el "tercio central", y a cada intervalo que queda,
se le vuelve a quitar el tercio central, y así recursivamente.

te hago una seudodemastración de que el conjunto resultante (tras intersecar todos estos conjuntos "residuales") tiene dimensión log 2 /log 3.
Tiene que ver conque: aparecen logaritmos al definir dimensión (pues se trabaja con "potencias" del radio de "bolas" que cubren las partes del conjunto, con lo cual, el "exponente" de dicha potencia viene a ser un logaritmo).
El logaritmo de 3 tiene que ver con las subdivisiones en "tercios", y al quitar el tercio central quedan "dos tercios" de cada segmento sucesivo. De ahí sale el logaritmo de 2, más o menos.

Ahora, haciendo construcciones parecidas, con otros tipos de subdivisiones e iteraciones, pero con el mismo estilo de "sonsacar" trozos intermedios de segmentos, se pueden obtener conjuntos tipo "Cantor" de dimensión D, para 0 < D < 1.

Si ahora tomamos un Cantor [texx]C_n[/texx] de dimensión [texx]d_n = 1/2 - 1/n[/texx], y finalmente hacemos la unión de todos ellos, digamos [texx]C = C_1\cup C_2\cup ....[/texx], la dimensión de [texx]C[/texx] tendrá que ser 1/2.

Se pueden tomar disjuntos todos estos conjuntos [texx]C_n[/texx], así que la dimensión local de un punto x en C coincide con la dimensión del único conjunto [texx]C_n[/texx] al que x pertenece (doy por sentado que la dimensión local de los conjuntos tipo Cantor es igual a la dimensión global, porque son conjuntos "autosimilares", así que al mirar con lupa en torno a un punto, se ve "lo mismo").

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Jabato
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« Respuesta #28 : 16/05/2011, 01:09:19 am »

Bueno, pero en ese conjunto que has creado ¿existe algún punto que satisfaga la condición que antes me dijiste? Porque yo no lo veo. Segun tus propias palabras la dimensión de un punto cualquiera se podrá calcular siempre ya que, y siempre según tus propias palabras, dicha dimensión local coincidirá con la del [texx]C_n[/texx] al que pertenece, ¿te he entendido bien?.

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« Respuesta #29 : 16/05/2011, 03:44:33 pm »

La verdad es que no estoy seguro de haber entendido tu ejemplo, aunque lo que me resulta más problemático es tu afirmación de que la dimensión de semejante conjunto es 1/2. Lo siento pero no la veo.

Aún así, admitiendo como buena esa afirmación, no cambia demasiado lo dicho por mi. Bastaría cambiar el máximo por el supremo para la dimensión del conjunto y todo quedaría igual, es decir, la dimensión del conjunto sería el supremo (no el máximo) de las dimensiones locales de todos y cada uno de los puntos del conjunto. En este caso por el axioma del supremo parece que la dimensión del conjunto debería existir en todos los casos:

[texx]\alpha=Sup(\alpha_i)
[/texx]

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« Respuesta #30 : 16/05/2011, 09:10:05 pm »

Habías dicho que existía un punto con dimensión local igual a la dimensión del conjunto.
Pero ahora con esto se tienen puntos cuya dimensión va creciente y "tiende" a la dimensión del conjunto total.
Esa es la diferencia.

La dimensión de un conjunto tiene que ser mayor que la dimensión de sus subconjuntos, y menor que una cota superior de todas las susodichas dimensiones. Así que el límite da 1/2.

Como los conjuntos son autosimilares, a cualquier escala la dimensión se conserva, y en particular al considerar el límite en un punto, así que la dimensión local coincide con la de [texx]C_n[/texx].

Por lo demás, hay que hacer las cuentas con rigor, y no lo voy a hacer yo.

Te recomiendo buscar información sobre fractales de tipo Cantor, para verificar o entender de qué estoy hablando.
Son conjuntos formados quitando un segmento interno siempre proporcional, y da un conjunto autosimilar.
El factor de proporción es lo que determina el valor de la dimensión del conjunto.

Es un caso bastante típìco, así que seguro hay material por todas partes.

Lo que hice con 1/2 se puede hacer con cualquier número menor que 1.

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Jabato
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« Respuesta #31 : 17/05/2011, 08:32:45 am »

No necesitas explicarme lo que es el conjunto de Cantor y otros fractales estrictamente autosemejantes, de similar factura, hace ya tiempo que me dedique a leer cosas sobre tales conjuntos y tengo bastante claro lo que son, como se miden y/o dimensionan. Lo que me desconcertó de tu argumento fué la afirmación de que la dimensión de tal conjunto fuera 1/2, aunque después de leerlo con detenimiento vi tu argucia y entendí el argumento. Ahora ya está claro y estoy totalmente de acuerdo con él, por eso planteé lo del supremo.

A efectos de lo que decía yo más atrás resulta poco relevante el caso, si existe un máximo en el conjunto de las dimensiones locales la dimensión de todo el conjunto coincidirá con ese máximo, y si no existe el máximo, entonces la dimensión de todo el conjunto coincidirá con el supremo, puesto que al ser dicho conjunto un conjunto acotado de números reales debe tener el supremo. Sinceramente  creo que es tan solo un matiz, importante por supuesto, pero que no modifica demasiado mi argumentación. Sigo pensando que el estudio local de dichos conjuntos es en general mucho más interesante que el estudio a nivel global, aunque no cabe duda que ambos puntos de vista se complementan.

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« Respuesta #32 : 17/05/2011, 03:00:05 pm »

Pensemos ahora, y siempre bajo este punto de vista, una cuestión que me parece interesante. Las definiciones de cardinalidad y dimensión local de un conjunto de [texx]\mathbb R^n[/texx] pueden darse en función de cuales sean los limites respectivos esos valores para entornos cada vez menores del punto considerado, pero eso obliga a usar las definiciones globales de tales propiedades. Y yo me pregunto ¿sería posible dar definiciones más específicas de dichas propiedades a nivel local? ¿como se definiría la cardinalidad ó la dimensión en un punto sin usar el recurso del paso al límite de esas misa propiedades establecidas a nivel de entorno? No tengo la respuesta pero creo que es una buena pregunta.

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« Respuesta #33 : 17/05/2011, 07:57:15 pm »

La cardinalidad se puede definir localmente como un límite.
Todo punto x en la recta real tendría localmente la cardinalidad del continuo, porque se tomaría el límite de los cardinales de los intervalos abiertos que "tienden" al punto x.

"Local" significa "considerando entornos abiertos en torno al punto x, cada vez más pequeños".
En los conjuntos de [texx]R^n[/texx] esto puede hacerse con entornos de tipo "bola abierta" (básicos), y por eso la dimensión de un conjunto tiene que ver con el radio de las bolas que cubren (tanto local como globalmente se intenta cubrir con bolas y ver qué pasa).

La cardinalidad es un tipo especial de "medida", y tiene sentido preguntarse por el "promedio" de las medidas de bolas (o intervalos) que se comprimen hacia un punto dado.
Cuando se usan medidas "regulares" se obtiene la "derivada" de la medida (Teorema de diferenciación de Lebesgue).

Eso es una generalización del método de sustitución en integrales, cuando la variable de integración es u = u(x) una función diferenciable.
Al tomar promedios sobre bolas que se comprimen al punto x, se "recupera" en el límite el valor de la función u(x).

La "cardinalidad", como dije antes, es también una medida (aunque todos los cardinales infinitos ya no se distinguen, y se toma un solo valor que los reúne: "infinito").

La cardinalidad es la "medida que cuenta puntos", o sea que es una medida muy ruda, y yo intuitivamente la percibo en el "extremo opuesto" de las medidas de Hausdorff. (La medida usual de Hausdorff conjuntos en la recta sería la medida de Lebesgue, o sea, la medida o longitud estándar de conjuntos en la recta).

Son distintas formas de medir.
Fijate que la medida de Lebesgue (la longitud de conjuntos en la recta) no distingue puntos, y cualquier conjunto de puntos aislados tiene "longitud" igual a 0. La medida no se enteró de que hay algo ahí.

Si se toman medidas de Hausdorff de orden menor que 1, para ver si un conjunto con "cardinal" n tiene dimensión de Hausdorff fraccionaria, o sea, si es un fractal de dimensión menor que 1, se obtendrá de nuevo que la medida es 0, o sea, no sería un fractal "típico", el conjunto está muy flaco.

En otras palabras, ninguna medida de Hausdorff puede distinguir puntos en un conjunto finito en R.

Si la medida "cardinal" (o "cuenta puntos") llega a distinguir puntos aislados, es que su grado de "detalle" es muy grande.
De hecho, uno puede pensar que ese es el "máximo detalle posible" para una medida.

Nota: Una "medida" se puede pensar como una función de "probabilidad", con la salvedad de que el conjunto total no tiene necesariamente probabilidad 1, sino que puede ser otro valor M, o incluso infinita, como es el caso de la "longitud" en R.

Saludos
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