Tópicos de Geometria 2

[rapser]

Hola, aqui les dejo el segundo problema de geometria.

En el grafico G1, G2, G3 son baricentros de los triangulos equiláteros ABC, ARQ Y QPC respectivamente, Calcular x. (angulo en el vertice G2)

[discipulodegauss]

el punto a es arbitrario?

[Nineliv]

Hola.

Es un caso particular del Teorema de Napoleón pero estaría bien ver una demostración sencilla para esta caso.

[rubenrosas]

 Mirándolo así rápidamente,el triángulo en Q es equilátero,luego ángulo en Q =60 grados
 Q y G(2) son vértices de un rmboide. El ángulo en Q del romboide es 120 g - 60 g=60g
 Los ángulos opuestos de un romboide son congruentes.Luego ángulo en G(2)=60 grados

[rubenrosas]

 Lo siguiente quizá es más explicativo:
 Por ser los triángulos equiláteros congruentes todos los puntos homónimos están sobre una vertical,luego lo están G(2) y G(3) .Si se traza por G(1) una perpendicular a BC en M y corte en N a la prolongación de PQ  se forma el rectángulo NG(3)CM .El segmento G(3)C es parte de la altura (propiedad del baricentro) y mide 2/3 de ella .MG(1) también está a 2/3 del lado lo que se concluye de la semejanza de los triángulos BMG(1) y QNG(1) pues tienen ángulos opuestos por el vértice y rectos.Lo mismo para el punto G(2).Es decir el triángulo G(1)G(2)G(3) es equilátero con lados paralelos al original y sus ángulos valen 60 grados.

[aladan]

el punto a es arbitrario?

Supongo que discipulodegauss se refiere al punto Q, en lugar del a, pues bien cualquiera que sea la posición de Q los baricentros de tres triangulos equilateros asi construidos siempre forman un triangulo equilatero.

[aladan]

 Lo siguiente quizá es más explicativo:
 Por ser los triángulos equiláteros congruentes todos los puntos homónimos están sobre una vertical,luego lo están G(2) y G(3) .Si se traza por G(1) una perpendicular a BC en M y corte en N a la prolongación de PQ  se forma el rectángulo NG(3)CM .El segmento G(3)C es parte de la altura (propiedad del baricentro) y mide 2/3 de ella .MG(1) también está a 2/3 del lado lo que se concluye de la semejanza de los triángulos BMG(1) y QNG(1) pues tienen ángulos opuestos por el vértice y rectos.Lo mismo para el punto G(2).Es decir el triángulo G(1)G(2)G(3) es equilátero con lados paralelos al original y sus ángulos valen 60 grados.

Hola rubenrosas, siguiendo tu definición de los puntos M y N, no consigo ver el rectangulo NG3CM

[rubenrosas]

 Tienes razón Aladan, debí decir G(1)G(3)CM.A lo mejor te refieres al ángulo recto en C,pero hay que recordar que en un triángulo equilátero,las alturas las medianas,las bisectrices y mediatrices de lados coinciden.

[Alex123]

No sé si está bien, se me ocurrió lo siguiente (si es que Q es el punto medio de AC):
 el ángulo º
Por las propiedades del baricentreo (haciendo cuentitas) , y son concíclicos en una circunferencia de centro Q.
Como es central sobre G3G2 y es inscripto sobre G3G2, º
Como BQ es eje de simetría, G1 está en el eje, entonces el tríangulo G1G2G3 es isóceles de base G2G3, y como un ángulo es de 60º entonces es equilátero.