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Autor Tema: Radios  (Leído 858 veces)
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Michel
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« : 12/05/2011, 05:27:04 am »

Demostrar que en un triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
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« Respuesta #1 : 12/05/2011, 06:30:53 pm »

Diantres... no pude hacer el dibujo (la pc está fallando).

Sea [texx]\triangle ABC[/texx] el triángulo dado, con [texx]\angle B=90[/texx].  Llamemos [texx]O[/texx] al centro de la circunferencia circunscrita y [texx]o[/texx] al de la inscrita.  Sean [texx]R[/texx] y [texx]r[/texx] sus radios.

Por una parte, es claro que [texx]R=OB[/texx].  Por otra parte:

Lema 1: http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,45747.0.html (es el resultado que indico en mi primera participación en ese post)

Lema 2:  En un triángulo rectángulo, la distancia del punto medio de la hipotenusa a cualquiera de los vértices es la misma y vale [texx]\dfrac{\mbox{hipotenusa}}{2}[/texx].

Por lo tanto, en nuestro caso tenemos:

Sean [texx]A^\prime, B^\prime[/texx] y [texx]C^\prime[/texx] los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados BC, AC y AB
 respectivamente.

Por el lema (1), [texx]BC^\prime=r=A^\prime B[/texx] , [texx]C^\prime A=AB^\prime[/texx] y [texx]A^\prime C=CB^\prime[/texx].

Por el lema (2): [texx]R=OB=OC[/texx].

Entonces
[texx]\begin{eqnarray*}
AB+BC&=&AC^\prime+C^\prime B+BA^\prime+A^\prime C\\&=&AB^\prime+r+r+CB^\prime\\&=&r+r+AC\\&=&r+r+2R\\&=&2(r+R)\end{eqnarray*}[/texx]

Hay algo mal?

Saludos.
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Michel
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« Respuesta #2 : 13/05/2011, 04:30:38 am »

Hola Hector Manuel.

En mi opinión está perfecto.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 13/05/2011, 04:39:35 pm »

Ok.  No estaba muy seguro porque en tu mensaje inicial dice que debe ser "suma de catetos = suma de radios", y yo obtuve "suma de catetos = 2(suma de radios)", pero por más que revisé la demostración no encontré errores.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13/05/2011, 05:33:24 pm »

¡¡¡ERROR EN EL ENUNCIADO!!!

Donde dice SUMA DE LOS RADIOS debe decir SUMA DE LOS DIÁMETROS.

Perdón.

Saludos
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