Rectángulo máximo

[michel]

Inscribir en un círculo dado el rectángulo de área máxima.

[Pepe]

Un rectángulo de lados y () inscrito en una circunferencia de radio se puede dividir por una de sus diagonales, tomando ésta el valor de .

Ahora: , de donde

El área de un rectángulo es igual a , pues: .

Ahora es sólo maximizar la función, ¿no es así?

[michel]

¡Vaya rapidez!

Hasta donde has llegado, correcto; el problema es cómo maximizas.

Ya sabes que estamos en GEOMETRÍA SINTÉTICA, así que nada de derivadas.

Saludos.

[Pepe]

¡Vaya rapidez!

Hasta donde has llegado, correcto; el problema es cómo maximizas.

Ya sabes que estamos en GEOMETRÍA SINTÉTICA, así que nada de derivadas.

Saludos.

La verdad es que aún no me han enseñado a maximizar ni minimizar funciones (me lo enseñan en un par de semanas), así que no sabía si se salía de la geometría sintética. Se lo tendré que dejar a otro

Saludos.

[dave.jason]

Si tenemos un rectángulo ABDC inscrito en un círculo, sus diagonales coinciden con dos diámetros de la circunferencia, como se aprecia en el dibujo.



Se quiere maximizar el producto de , que es equivalente a maximizar el producto . Utilizando parte de la aportación de Pepe, sabemos que ,siendo el radio de la circunferencia. Y ahora, teniendo en cuenta que en otro de los ejercicios propuestos por michel sobre geometría sintética (concretamente el de "producto máximo") demostré que el producto de dos segmentos cuya suma es constante és máximo cuando los segmentos són iguales, se deduce que para maximizar debe ser , y por tanto, .

Conclusión: el rectángulo de área máxima inscrito en un círculo dado es un cuadrado que tiene sus cuatro vértices en la circunferencia (o un cuadrado cuyas diagonales son dos diámetros perpendiculares de la circunferencia, que es equivalente).

[Pepe]

Si tenemos un rectángulo ABDC inscrito en un círculo, sus diagonales coinciden con dos diámetros de la circunferencia, como se aprecia en el dibujo.



Se quiere maximizar el producto de , que es equivalente a maximizar el producto . Utilizando parte de la aportación de Pepe, sabemos que ,siendo el radio de la circunferencia. Y ahora, teniendo en cuenta que en otro de los ejercicios propuestos por michel sobre geometría sintética (concretamente el de "producto máximo") demostré que el producto de dos segmentos cuya suma es constante és máximo cuando los segmentos són iguales, se deduce que para maximizar debe ser , y por tanto, .

Conclusión: el rectángulo de área máxima inscrito en un círculo dado es un cuadrado que tiene sus cuatro vértices en la circunferencia (o un cuadrado cuyas diagonales son dos diámetros perpendiculares de la circunferencia, que es equivalente).

Hola Dave, ¿a qué te refieres con "el producto de dos segmentos cuya suma es constante"? Si puedes escribe en enlace donde colgaste esa demostración

Gracias!

[dave.jason]

Hola Dave, ¿a qué te refieres con "el producto de dos segmentos cuya suma es constante"? Si puedes escribe en enlace donde colgaste esa demostración

Gracias!

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,45306.0.html

Aquí está.

[michel]

Podemos hacerlo de otra manera (sirve tu figura):

El rectángulo será máximo cuando lo sean los dos triángulos rectángulos.

Consideramos uno de ellos; como la base es constante, diámetro, el área será máxima cuando lo sea la altura, lo que tiene lugar cuando es igual al radio; entonces el triángulo es isósceles.

Resulta, pues, un cuadrado.

Saludos.

[Pepe]

Podemos hacerlo de otra manera (sirve tu figura):

El rectángulo será máximo cuando lo sean los dos triángulos rectángulos.

Consideramos uno de ellos; como la base es constante, diámetro, el área será máxima cuando lo sea la altura, lo que tiene lugar cuando es igual al radio; entonces el triángulo es isósceles.

Resulta, pues, un cuadrado.

Saludos.

Michel, me encantan tus razonamientos; son simples, sencillos y elegantes. Me gustaría saber resolver geometría sintética como tú. ¿Sabes de algún sitio donde hayan problemas resueltos con explicaciones, teoría y demás para practicar?

Gracias!