Relación entre segmentos

[michel]

Dado un triángulo, se traza una recta r que pasa por su baricentro y no pasa por ningún vértice. Demostrar que la suma de las distancias a r de los vértices que quedan en un mismo semiplano, es igual a la distancia del tercer vértice a dicha recta.

[ikaprish]

supongo un triangulo con vertices A y B quedando del lado izquierdo de la recta r y el vertice C del lado derecho.
el baricentro es un punto donde si suponemos que la superficie del triangulo esta compuesta por infinitos puntos de "peso" igual a 1 y entonces lo representamos como una fuerza paralela a r, el momento de cada una de esos fuerzas (Fi * di) con respecto a la recta r debe tener una suma igual a cero.
si me despreocupo de todos esos puntos (pues sus momentos se anulan entre si) y observo solo los 3 puntos de los vertices tenemos

A*da + B*db = C*dc, pero como A=B=C=1 entonces da+db=dc

[michel]

Hola, ikaprish.

Creo que el método que utilizas para hacer el problema sobrepasa los contenidos de la Enseñanza Secundaria, ¿no te parece?

¿Por qué no intentas hacerlo de otra manera adecuada a este nivel?

Creo que bastaría aplicar semejanza de triángulos y la propiedad del baricentro.

Un saludo.

[michel]

Sea M el punto medio del lado BC del triángulo ABC.

Sean B’, A’, M’, C’ los pies de las perpendiculares a r trazadas por B, A, M, C, respectivamente.

El cuadrilátero BCC’B’ es un trapecio, por ser BB’ paralelo a CC’; MM’ es la paralela media, por tanto
MM'=(BB'+CC')/2, de donde BB'+CC'=2MM'   (1)

Por otra parte, los triángulos rectángulos  AA’G y MM’G son semejantes, porque los ángulos en G son opuestos por el vértice: AA'/MM'=AG/GM.

Por la propiedad del baricentro: AG/GM=2. Por tanto  AA'/MM'=2, de donde AA'=2MM'    (2)
De (1) y (2) se deduce BB'+CC'=AA'.