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Autor Tema: Demostrar un límite por definición  (Leído 15019 veces)
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nicocheff
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« : 01/05/2011, 03:59:16 am »

Hola, quisiera consultarles una duda que no termino de entender: cómo se llega al valor de EPSILON y DELTA en la hora de exponer el límite de una función por definición.

Por ejem:
F(x) = 5x - 1

Como desarrollo la definición formal de que el límite de F, cuando x se acerca a 4 = 19
Obviamente F(4) = 19

Entonces por lo que entiendo que para todo EPSILON mayor a 0
                                                        hay un DELTA MAYOR 0
 
tal que si el valor absoluto de ( x - 4 ) es menor que DELTA     
es por que existe un EPSILON  mayor a f(x) - 4)                           

Y LO PRUEBO INVENTANDO UN POSIBLE  DELTA? como hago esto? delta es la diferencia entre el espacio entre 3.5,4 y 4, 4.5 ? o sea Delta = 0.5 o Delta es otro número?
 
y ahora a partir de acá, ¿cómo hago para hallar EPSILON?

la verdad que me está volviendo loco esto de la definición de los límites por qué para hallar indeterminados hay mil cosas por hacer, fáciles y no tanto pero directas y sin vueltas, las sabes o no, acá me puedo memorizar la fórmula genérica de límite formal pero no entiendo qué es lo que hay que hacer para conseguir un delta y un epsilon adecuado.

Les dejo un par de problemas que me vuelven más loco a ver si me pueden ayudar. Muchas gracias a todas las respuestas!
Rindo el lunes... jeje
Saludos a Todos

Problemas,

Dada la función f(x) = 5x -1 hallar un número real DELTA mayor que 0 para las siguientes implicaciones validas.

1.    l x - 4 l menor que DELTA tal que l f(x) - 19 l sea menor que 1/2

2.    l x - 4 l menor que DELTA tal que l f(x) - 19 l sea menor que 1/100

 3.   l x - 4 l menor que DELTA tal que l f(x) - 19 l sea menor que 1/10

4.     l x - 4 l menor que DELTA tal que l f(x) - 19 l sea menor que EPSILON



y como demuestro por definición que el límite de f(x) = 1/ x^2  cuando x se a acerca a negativo infinito = 0 ? entiendo que 1/100, 1/234406000 1/ 29294848858249892 se acerca a cero, aclaro.

o

como demuestro por definición que el límite de  f(x) = x^2 cuando x se acerca a positivo infinito = positivo infinito?

Muchas Gracias de nuevo.

 
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« Respuesta #1 : 01/05/2011, 02:15:46 pm »

Hola nicocheff..Pues lo que preguntas es basicamente todo el curso de calculo diferencial :lengua_afuera:, por lo menos lo fue para mi :sonrisa:..

veamos, quieres demostrar que

[texx]\lim_{x\rightarrow{4}}5x-1=19[/texx]

que por definicion, como la tienes tu. Seria

[texx](\forall \epsilon)(\exists \delta)[/texx] tal que [texx]\forall x[/texx]
Si [texx]|x-4|<\delta[/texx] entonces [texx]|(5x-1)-19|< \epsilon[/texx]

En pocas palabras, para cualquier epsilon que te de, tienes que encontrar un delta, dependiente de epsilon, para que pase eso de alla..
Luego, primero buscamos ese delta para poder, despues, demostrarlo.
[texx]|5x-20|<\epsilon[/texx] queremos resolver |x| de ahi, ya veras para que.
[texx]5|x-4|=|5x-20|<\epsilon[/texx] por una de esas propiedades de el valor absoluto :lengua_afuera:
luego [texx]|x-4|<\displaystyle\frac{\epsilon}{5}[/texx]
luego ya encontramos delta, porque es la misma desigualdad...Asi que [texx]\delta=\displaystyle\frac{\epsilon}{5}[/texx]

puesto que ahora, si diciendo que delta es eso, al evaluarlo y hacer una demostracion directa te va a quedar el consecuente.

Con esto, seguro puedes resolver los problemas que te vuelven loco. :lengua_afuera:


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