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Autor Tema: Circunferencia inscrita  (Leído 353 veces)
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Michel
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« : 29/04/2011, 08:56:13 am »

Hallar la longitud el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo en función de las longitudes de los lados.

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« Respuesta #1 : 01/05/2011, 04:10:56 am »

PISTA.

Hacer la correspondiente figura.

Tener en cuenta que los segmentos de tangentes trazadas desde un punto a una circunferencia son iguales.

¡¡¡ÁNIMO!!!

Un saludo
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aladan
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« Respuesta #2 : 01/05/2011, 15:33:02 pm »

Hola  michel

No sé si lo que voy a proponer encaja en la Geometría Sintética.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

El triángulo ABC, lados a,b y c como se aprecia en el gráfico está dividido en 3 pares de triángulos iguales que comparten la altura, radio, r, de la circunferencia inscrita y bases m, n, p, la suma de sus áreas equivale evidentemente a la del triángulo ABC, es decir

Área del ABC como suma de los 6 triángulos citados

                         [texx]S=r(m+n+p)=r\dfrac{a+b+c}{2}=rs[/texx]

Área de ABC en función de us lados

                         [texx]S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/texx]

Por tanto
                          [texx]r=\dfrac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}[/texx]

Saludos

* michel1.ggb (1.8 KB - descargado 9 veces.)
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« Respuesta #3 : 01/05/2011, 17:55:44 pm »

Hola Aladan.
La expresión que obtienes para r es correcta para cualquier triángulo, por tanto, también para el rectángulo.
Pero el enunciado pide r para un triángulo rectángulo específicamente.

BQ=BP=c-r
CQ=CR=b-r

Sumando: BQ+CQ=b+c-2r
Resulta:     a=b+c-2r
Por tanto: r=(b+c-a)/2

Un saludo

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« Respuesta #4 : 01/05/2011, 21:54:05 pm »

Cierto michel y mucho más simple que el análisis de la equivalencia superficial, ni me paré en observar que mis segmentos [texx]n=r[/texx]. Gracias
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