¿Cómo resolver por inducción simple?

[issis^]

Hola chicos, tengo un problema con dos ejercicios, los cuales, tengo que resolver por medio de la inducción simple, pero la verdad ya no sé ni para donde irle. Ojalá me pudieran ayudar.

1.-

2.-

Mi caso base para n, se cumple, lo que tengo que probar es para n+1. Ojalá me puedan ayudar. Gracias!!!

[Nineliv]

Hola.

La prueba por inducción es sencilla pero no nos enseña nada de porqué funciona esto.

Ayudará saber que .

Comprueba que para n=1 funciona la identidad.
Supongamos que para n sumandos funciona (es decir, ) y vamos a ver qué pasa para n+1.

Primero, debemos comprobar que .
Así que escribirmos y aplicamos la hipótesis de inducción:

y simplificamos.

Saludos.

P.D.: Aunque no tiene ningún papel en el ejercicio, es curioso notar que

[Nineliv]

Hola.

Para el 2). Vemos que para n=5 se cumple la propiedad pedida.
Suponemos que hasta n se cumple y vamos a ver qué ocurre con n+1. Trataremos de encontrar la hipótesis de inducción en las cuentas que hagamos.



Así que el problema es, ahora, probar que . Inténtalo a ver si te sale.

Saludos.

[issis^]

Hola Nineliv, antes que nada muchas gracias, aun tengo algunas dudas, no es preciso partir de lo que se da para comprobar??, es decir, veo que en el caso uno, creas otra forma de demostrar a que es igual, y pues supongo que apartir de esa voy a ir desarrollando la comprobacion para n+1. y veo que lo mismo planteas para el caso dos  , la verdad esto de induccion es mi coco!!!, grax!!! Saludos

[Nineliv]

Hola issis^.

Sí, lo que dices sobre la inducción es cierto, pero hay más. No sólo es partir de un caso para demostrar el siguiente, si no que suponiendo que se cumple para k, arreglárselas como se pueda para probar el caso k+1 usando que se cumple para k en algún momento. Si hay que ir por otro camino al principio, pues así sea; en algún momento usaremos la hipótesis de inducción.

Concreto un poco en cada caso.
1) La idea es extraer un forma cómoda de la expresión para poder aplicar la hipótesis de inducción. Como siempre lo probamos directamente para el primer número (aquí n=1). Ahora, si supongo que para el caso n vale, al intentarlo en el n+1 tengo un problema con (1 + 2 +...+ n + n+1)3: es algo moleso expresarlo en función de (1+2+...+n)3 aunque se podría hacer. Por eso utilicé que 1+2+...+n=n(n+1)/2. Una vez sabemos adonde tenemos que llegar, manipulamos la expresión con (n+1) y aplicamos donde podamos la hipótesis de inducción.

2) Quizás aquí es más sencillo ver dónde y cómo aplicar la hipótesis de inducción pero luego queda aún algo de trabajo por hacer. Una vez comprobado el caso base (n=5) y supuesto para n; pongo la expresión para n+1 y manipulando un poco consigo encontrar la expresión para n. Aplico la hipótesis de inducción y no sale directamente. Nos aparece un subproblema que hay que atacar de manera independiente:
probar que .

Es posible que se pueda enfocar de otra forma; a mí se me ocurrieron estas  . Trata de completar el 2), que aún le queda miga. 

Saludos.

[Profe_mates]

Hola.

El método de inducción es simplemente eso, utilizarlo, verás como las cosas van saliendo. Además te lo están diciendo en el propio enunciado, demostrar por inducción.

En concreto, para el apartado 2).

  Para .

1. Se comprueba que es cierto para . En efecto, se hacen los cálculos y vemos que se verifica .

2. Suponemos es cierto para , hipótesis de inducción, es decir, . Ahora demostramos que es cierto para .
En efecto, tenemos que demostrar que se cumple.

. Llegados a este punto simplemente nos bastará demostrar que .
Así, desarrollando los factores . Y por lo tanto es .

Resumiendo


como queríamos demostrar.