¿Qué diferencia hay entre semántica, interpretación, asignación, modelo, y estructura?
Hola Sailor,
Entretanto llega una respuesta más rigurosa que también espero, aporto lo que pone en la Wikipedia en la
entrada de los Axiomas de Peano, a propósito de un caso particular de aplicación de estos términos:
Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos(?) que hace verdaderos a todos los axiomas.
Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras reglas de designación [aquí entiendo que habla de tu "asignación"] (interpretaciones), algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, podría interpretarse al símbolo 0 como el número dos, a N como el predicado "ser un número par", y a x' como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas tendrían que entenderse así:
1. El dos es un número par
2. Si n es un número par, entonces el sucesor del sucesor de n también es un número par
3. El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.
4. Si hay dos números pares n y m con el mismo sucesor de sucesor, entonces n y m son el mismo número par.
5. Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.
Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, podría interpretarse a 0 como el primer día de la creación, a N como el predicado "ser un día", y a x' como el día después de x. Bajo esta interpretación, los axiomas también resultan verdaderos.
A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define a la serie de los números naturales, sino a la noción más amplia de progresión.
De
estructura no dice nada, pero en cuanto al resto parece bastante ilustrativo.
Un saludo
