Semántica de la lógica proposicional

[_fing]

Hola me tranque con este ejercicio no se como demostrarlo.

En este ejercicio definimos una relación “<< ” entre proposiciones. Definimos la relación << de
la siguiente manera :
<< |= y no se cumple |=
Pruebe que la relación es densa en PROP.Esto es : Para cada y   tales que << ,
encuentre tal que << << .
Sugerencia : Considere una variable pi que no ocurra en
ni en . Utilizaremos esta variable para construir . Considere una valuación v y analice
las restricciones que v() , v() , v(pi) y v() deben cumplir para que << << . Construya
  en base a dichas restricciones.

Muchas gracias.

[Óscar Matzerath]

Hola,

Este es un problema bastante majo, así que vale la pena que lo pienses bien. Sigue la sugerencia. Por ejemplo, que quiere decir que, como , para toda valuación v , esto es, para cualquier valuación v, siempre que también . Y por otro lado como , existe una valuación v' tal que pero .

Sigue este proceso para imponer condiciones sobre lo que tienen que cumplir valuaciones sobre , y . Una vez hecho esto deberías ver cómo tienes que definir para que funcione. Piensa que debe ser una combinación de , y tu nueva variable .
El hecho de que no aparezca en ni en se usa para, por ejemplo, cuando tienes que mostrar , construir una valuación v tal que del siguiente modo: sabemos por la hipótesis (párrafo anterior) que existe una valuación v' tal que pero . Ahora define una nueva valuación v tal que para todo , y . Como no aparece en ni en sigues teniendo y , y si has construido tu fórmula de manera que cuando y entonces , v es una valuación que muestra que efectivamente .

Espero que con estas pistas y pensando un poco tengas bastante. Si aún así no te sale, pon lo que has intentado y hasta dónde has llegado y le echamos un vistazo.

Saludos

[_fing]

Hola gracias por contestar, lo que hice fue hacer una "tabla de verdad" (pongo entre comillas porque son metavariables) y eliminando casos me termino quedando lo siguiente:
donde el y es la conjunción y el o la disyunción. Te parece que este bien?

[Óscar Matzerath]

Hola,

No está bien. De hecho se puede encontrar una fórmula que es bastante más sencilla. No te recomiendo que te pongas a hacer "tablas de verdad" y demás, es más fácil traducir lo que te dicen a las condiciones que tienen que cumplir todas las valuaciones (o alguna) como he puesto en los ejemplos del post anterior, y a partir de ahí inferir la forma (no es demasiado difícil si se ha hecho el proceso previo correctamente).

Tu fórmula no está bien porque por ejemplo, como , en particular así que para toda valuación v tal que tiene que ser . Sin embargo una valuación v que cumpla , hace para tu fórmula que así que no puede estar bien.

Saludos