Isomorfismo y automorfismo

[Sailor Starruler]

¿Qué es un isomorfismo? ¿Y un automorfismo?

Un isomorfismo es cuando  cambias cada simbolo de una frase por otro, y sin cambiar la semántica, las frases que eran verdaderas (o las falsas) lo siguen siendo despues del cambio de símbolos de las mismas, ¿es así?

Un automorfismo es un isomorfismo en el que los signos por los que se intercambia son los mismos que los de partida, ¿es correcto

[Óscar Matzerath]

Hola,

Si M y N son dos estructuras, una aplicación se llama homomorfismo si cumple lo siguiente:

i) para cada símbolo de constante del lenguaje

ii) para todo símbolo de función n-ario f del lenguaje, y para todo

iii) Si entonces para todo símbolo de relación n-ario R, y

En definitiva, un homomorfismo entre estructuras no es más que una aplicación entre los dominios que preserva la interpretación símbolos del lenguaje. Puedes comprobar que esta definición coincide con la de homomorfismo en el sentido algebraico, por ejemplo para grupos con lenguaje un homomorfismo entre estructuras (piénsalas como grupos) es un homomorfismo que cumple lo siguiente:



es decir, un homomorfismo de grupos en el sentido usual.

Si h satisface en vez de la condición iii) la siguiente condición:

iii') si y sólo si para todo símbolo de relación n-ario R, y

se dice que h es un homomorfismo estricto (u homomorfismo fuerte). Nota que la condición iii') es más fuerte que la iii), es decir, todo homomorfismo estricto es homomorfismo, pero no al revés.

Un homomorfismo estricto que además es inyectivo se llama una inmersión (embedding en inglés). Un homomorfismo estricto que es biyectivo se llama un isomorfismo. Un isomorfismo de una estructura en sí misma, es decir, se llama automorfismo (es decir, todo automorfismo es isomorfismo).

Se pueden demostrar muchos teoremas de preservación de fórmulas entre estructuras vía homomorfismos. El que te interesa a tí es el siguiente:

Si es un isomorfismo, para toda fórmula de primer orden  y todo se tiene:



es decir, es verdadera en M cuando interpretamos las variables por los elementos si y sólo si es verdadera en N cuando interpretamos las variables por los elementos .

Saludos