La diagonal de Cantor obtiene un número de una matriz que no es cuadrada.

[Oswaldo]

Hola....

Mi duda es, como Cantor demuestra que existen mas numeros (o etiquetas) en [0,1] que en los naturales.
Los dos sistemas son codificados (reales y naturales) y por lo tanto el numero de columnas es menor que el numero de filas. Si creamos una matriz de reales comprendidos entre el cero y el uno con la peculiaridad de que tengan una cifra a partir de la coma, obtendremos 10 elementos, si es con dos cifras, 100 elementos y asi sucesivamente, por lo tanto para infinitos elementos tendremos 10\infty \longrightarrow{10\infty>\infty}.

Oswaldo

[Oswaldo]

Buenas...
Siento mi torpeza del mensaje anterior dado que a lo mejor lo envié muy rápido y poco claro, mas mi inexperiencia con LaTex no
ayudo mucho.

Mi duda esta basada en la segunda demostración de Cantor sobre el etiquetado de los números reales comprendidos entre [0..1].
Cantor primero construye una lista infinita, pero completa, de todos los números reales posibles entre [0..1].
Esta lista esta compuesta de filas de números reales como las que siguen:

            0 . 1 2 7 0 3 5 7 3 5 ...
            0 . 0 4 7 2 6 8 4 2 1 ...
            0 . 3 3 1 3 3 3 3 3 3 ...
            0 . 6 8 4 5 3 4 8 7 2 ...
            0 . 2 5 0 0 9 4 0 6 7 ...
            0 . 6 6 6 6 6 2 6 6 6 ...
            0 . 5 4 7 9 2 5 6 6 9 ...
            0 . 2 4 7 8 4 7 3 5 5 ... 
            
Todas estas filas están indexadas por la lista completa de números naturales suponiendo así que existen 2 listas completas
las de los reales entre [0..1] y la de los naturales que indexan esas filas. Después Cantor coge la diagonal que comienza en
la casilla a11 y mediante una operación a cada dígito de la diagonal construye un numero que no esta en la lista
y así demuestra que existen mas números de los que hay en la lista, y por lo tanto no puede numerarlo con los naturales.

Pues bien, mi duda es que si yo construyo una lista de números reales comprendidos entre [0..1] que solo tengan un dígito
a partir de la coma, la lista tendrá 10 filas, que es la siguiente lista:

            0 . 0
            0 . 1
            0 . 2
            0 . 3
            0 . 4
            0 . 5
            0 . 6
            0 . 7
            0 . 8
            0 . 9

Si construyo otra lista con los números reales comprendidos entre [0..1] que solo tengan 2 dígitos a partir de la coma, la
lista tendrá 100 filas y tendrá la misma estructura que la siguiente lista:

            0 . 00
            0 . 01
            0 . 02
            . . .
            . . .
            0 . 97
            0 . 98
            0 . 99
            
Si construyo otra lista con los números reales comprendidos entre [0..1] que solo tengan 3 dígitos a partir de la coma, la
lista tendrá 1000 filas y tendrá la misma estructura que la siguiente lista:

            0 . 000
            0 . 001
            0 . 002
            . . .
            . . .
            0 . 997
            0 . 998
            0 . 999
            
Este proceso se puede extender hasta el infinito sin que exista nada que me diga que el proceso cambiara inesperadamente en un
momento dado. Pues bien, si construyo una lista de números reales con infinitos dígitos, obtendré
pero este infinito a la derecha de la igualdad sera mayor que el infinito del exponente, y por lo tanto existirán mas filas que columnas en la
lista construida, de lo cual al coger la diagonal como la coge Cantor, no estoy cogiendo nada característico de toda la matriz
si no de una parte de ella, y por el tipo de infinito que esta a la derecha del igual, la parte es muy poco significativa dado que

       y   
   
De todas maneras si cogemos la diagonal de un numero decimal comprendido entre [0..1] con 5 cifras decimales, solo podremos
obtener un numero de 5 cifras, pero el numero de elementos de esa lista sera de , por lo tanto si la lista esta completa
seguro que el numero transformado esta en alguna fila distinta a esas 5.

He intentado también obtener una vertical de la lista, en cualquier posición, que realmente es un numero que no sale en la lista
y encima de pertenecer a un numero natural (la vertical escogida), lo único que demuestra es que el conjunto es infinito.

Esta es la duda que tengo acerca del proceso diagonal de Cantor, no se si es que hay algo que no veo, o lo estoy enfocando de
forma equivocada.

Gracias por vuestra paciencia.

Oswaldo.

[Cristian C]

Hola Oswaldo. Dices:

Este proceso se puede extender hasta el infinito sin que exista nada que me diga que el proceso cambiara inesperadamente en un
momento dado. Pues bien, si construyo una lista de números reales con infinitos dígitos, obtendré
pero este infinito a la derecha de la igualdad sera mayor que el infinito del exponente, y por lo tanto existirán mas filas que columnas en la
lista construida

No puedes suponer eso que resalté en negrita, porque es justamente lo que el teorema debe probar. Recuerda que antes del teorema de Cantor, no tenemos infinitos mayores que otros. Y tu argumento previo no alcanza para mostrar que el infinito de la derecha es mayor que el infinito del exponente.

Saludos.

[feriva]

Hola, Oswaldo. El tema de la biyectividad entre elementos de conjuntos infinitos es terriblemente abstruso y necesita —yo creo, dentro de lo poco que conozco sobre estas teorías— más matizaciones o definiciones de las que se han considerado hasta ahora. Porque, si no, todo es verdad y mentira a la vez o todo puede ser verdad y mentira a la vez; que creo que es lo que pasa, y de ahí que esta discusión se haga eterna; nunca se está de acuerdo del todo.
 Últimamente se utiliza mucho una frase, aquí en España al menos, que es ésa que dice que "no se le pueden poner puertas al campo". Una frase popular que tiene mucho que ver con esto. La única puerta que se le puede poner al infinito es precisamente "que no se le pueden poner puertas"; eso está prohibido. Cualquier definición que viole este precepto directa o indirectamente no debería ser válida; sin embargo, qué es lo que pasa cada vez que se trata el tema. Que o bien se viola o bien recurrimos constantemente a adverbios de lugar o de tiempo; los cuales se supone que deberían haber quedado abstraídos; así opinan los matemáticos, no hay tiempo ni espacio en las matemáticas.
Yo, en cambio, postulo que, cuando tratamos el infinito, es imposible para la mente humana abstraer las dos cosas a la vez; quizá se puede abstraer una de ellas como mucho. Y que esta discusión se esté prolongando siglos avala "empíricamente" mi opinión, que es también la de otros; el día que quede zanjada se demostrará que no tenía razón, el día que acabe, el día en el que se encuentre una "cota" al debate (espero tranquilamente, aunque dudo de que viva lo suficiente para verlo).

 Los números son símbolos y, vistos como cifras ordenadas de una manera u otra, existen también infinitas formas de combinarlos; que es por dónde tú estás buscando a partir del ese ejemplo de Cantor. A mí eso me da mucha pereza, sobre todo si se trata de infinitas cifras a combinar.

Abstraigamos las cifras para hacer un análisis previo; para ver si merece la pena ahondar después en un análisis tan complicado; quizá encontremos un contraejemplo argumental de algo y no haga falta lo otro.

Sean y dos números irracionales. Por muy cercanos que estén uno del otro en cuanto al valor, siempre existirá otro número racional entre ellos; dado que pertenecen a un conjunto no numerable. Bien, aceptada esta premisa; la cual ya no podemos violar posteriores razonamientos, igual que no podemos violar el concepto de infinito: no acaba ni nada lo puede "acabar", de lo contrario dejará de ser infinito.

Sigamos.

Tomados esos dos irracionales y , ¿podemos encontrar dos naturales distintos para establecer una biyección? Sí. Bien, sean éstos y . Tenemos hasta ahora el producto cartesiano:

y

Sean ahora dos irracionales distintos en valor a los anteriores, sean: y . Y aquí hacemos la pregunta correspondiente: ¿existen dos naturales distintos a los anteriores tal que podamos establecer una biyección entre los cuatro irracionales y cuatro naturales? Sí. Y tenemos el conjunto del producto cartesiano


Y ahora siguen estas dos preguntas: ¿tendrá infinitos elementos, infinitas parejas, el conjunto del producto cartesiano que estamos formando? Sí, siempre que se nos permita irnos "más lejos en el espacio" o "más hacia el futuro en el tiempo", una de dos, a buscar ese elemento natural
Siguiente pregunta:
 ¿Tomando todos los elementos de ese conjunto, se puede considerar que están contenidos en él de forma completa el conjunto "N" y el conjunto y el conjunto "Q"?

Y aquí está la cuestión que hay que dilucidar, no hace falta volverse loco con combinaciones de cifras y matrices cuadradas o no cuadradas. La respuesta es que no. Y la pega no está aquí, pues los conjuntos infinitos no tienen cantidad de elementos; la palabra es inadecuada, metafórica, es como decir que la memoria tiene esquinas o que el viento tiene sombra. "Inacabable" es un adverbio de cantidad metafórico.

 La pega está en que cuando consideramos N y un subconjunto de N donde existe un elemento cuyo valor es mayor que "n" —por ejemplo "an", siendo "a" otro natural—, para ser coherente con esto, la respuesta también debería ser que no, pues el conjunto que "vive" en [1,n) no es en puridad todo N; todo N "vivirá" al menos en [1, an) dado los elementos que hemos definido. Personalmente creo que no nos podemos sustraer a esa circunstancia y creo que no considerar esto es un error de Cantor: la parte no es tan grande como el todo, porque eso, traducido al lenguaje matemático que el propio Cantor inventó, es como decir que el subconjunto es tan conjunto como el conjunto; y eso es cierto sólo si el subconjunto está contenido estrictamente en el conjunto, o sea, si es él mismo. 

  Y para terminar, y ya más relacionado con el problema que planteas, tú puedes hacer todas las combinaciones con las cifras de los naturales y los reales; y tienes las mismas cifras para los dos, pero... para los reales tienes una coma que te permite obtener mayor número de combinaciones, coma que no tienes posibilidad de usar con las naturales.

Saludos.

[Oswaldo]

Yo pienso que los números son simples etiquetas, y como las etiquetas existen de muchos tipos.
Creo que el infinito es mas grande o mas pequeño siempre según el uso que le demos.
Por ejemplo, si divido por el algoritmo clásico de la división obtengo siendo , si divido
por el algoritmo clásico de la división obtengo que , viendo que puedo hacer que
y por lo tanto dado que:








Consiguiendo así con el mismo numero de operaciones, infinitos números mas pequeños.
Aquí, el infinito, atiende a la cantidad de operaciones que hacemos o hasta donde se cansa nuestra imaginación, lo que influye en que el numero obtenido sea mas o menos preciso.
Haciendo el mismo numero de pasos una operación consigue un valor de y la otra un valor de .
Lo mismo pasa con los naturales y los reales, mientras que los naturales pueden representar elementos, los reales gracias a la coma pueden representar
tomando n casillas a la derecha y a la izquierda de la coma decimal.

La diagonal de Cantor prueba una cosa en la que no creo, que existan mas etiquetas entre [0..1] que en todo , yo creo que existen las mismas, pero si que creo en lo que dice
Cantor de ordenes distintos de infinitos, no de la manera que lo dice, no creo en un cambio brusco de los ordenes de infinitud pero si en un orden creciente y paulatino.
Por todo esto no creo que Cantor estuviera equivocado en sus ideas, si no que hay algo que Cantor vio y yo no veo.

Saludos.

[feriva]

Yo pienso que los números son simples etiquetas, y como las etiquetas existen de muchos tipos.
Creo que el infinito es mas grande o mas pequeño siempre según el uso que le demos.
Por ejemplo, si divido por el algoritmo clásico de la división obtengo siendo , si divido
por el algoritmo clásico de la división obtengo que , viendo que puedo hacer que
y por lo tanto dado que:








Consiguiendo así con el mismo numero de operaciones, infinitos números mas pequeños.
Aquí, el infinito, atiende a la cantidad de operaciones que hacemos o hasta donde se cansa nuestra imaginación, lo que influye en que el numero obtenido sea mas o menos preciso.
Haciendo el mismo numero de pasos una operación consigue un valor de y la otra un valor de .
Lo mismo pasa con los naturales y los reales, mientras que los naturales pueden representar elementos, los reales gracias a la coma pueden representar
tomando n casillas a la derecha y a la izquierda de la coma decimal.

La diagonal de Cantor prueba una cosa en la que no creo, que existan mas etiquetas entre [0..1] que en todo , yo creo que existen las mismas, pero si que creo en lo que dice
Cantor de ordenes distintos de infinitos, no de la manera que lo dice, no creo en un cambio brusco de los ordenes de infinitud pero si en un orden creciente y paulatino.
Por todo esto no creo que Cantor estuviera equivocado en sus ideas, si no que hay algo que Cantor vio y yo no veo.

Saludos.

Hola. Cuidado con los números periódicos que, además de ser racionales y no irracionales, engañan según la base que se use; mírate este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,43212.msg172614.html#msg172614

Saludos.

[Oswaldo]

Hola Cristian.

Lo que intente con mi argumento es una inducción matemática sobre si es una matriz cuadrada o no cuando el numero de columnas es infinito y bajo un sistema codificado.
Lo curioso del tema es que Cantor no cambio todos los dígitos, el cero y la coma los deja intactos y de la misma manera que desprecia el cero y la coma en su transformación,
nosotros también podríamos hacerlo con todos los números de la lista, convirtiendo la matriz en una matriz de naturales.
También podemos suponer que antes de Cantor no existían diferencia entre los infinitos, todos los infinitos eran del mismo tamaño, entonces, una vez demostrado el teorema
Cantor podría haber visto que delante de esa matriz que había construido tenia dos infinitos distintos que hacían que su vector característico no fuera tan característico.
Hay que decir también que el método diagonal de Cantor no es la demostración que mas le gustaba, existe otra demostración que nunca he visto la cual demuestra lo mismo
pero de forma mas robusta. Por eso creo que existe algo en el teorema que no entiendo bien.

Saludos.

[Oswaldo]

Hola feriva

Me ha gustado el hilo que me pones, yo siempre he pensado que el decimal no era el mejor sistema de numeración.
Cambien pienso que muchos de los problemas que existen en matemáticas son culpa de los algoritmos que utilizamos.
Busca un numero real con coma decimal no nula que al ser multiplicado por si mismo nos de coma decimal nula.

Voy a probar mas números periódicos en base 6.

Saludos.

[feriva]

Hola feriva

Me ha gustado el hilo que me pones, yo siempre he pensado que el decimal no era el mejor sistema de numeración.
Cambien pienso que muchos de los problemas que existen en matemáticas son culpa de los algoritmos que utilizamos.
Busca un numero real con coma decimal no nula que al ser multiplicado por si mismo nos de coma decimal nula.

Voy a probar mas números periódicos en base 6.

Saludos.

Hola. Oswaldo. No existe.

Si llamamos "a" a la parte entera y "b" a la parte no entera de un número real, tenemos:



Y no puede existir.

(bueno, no existe si es irracional, si puede ser racional tengo que pensarlo a ver)

Saludos.

[Oswaldo]

Hola feriva:

Evidentemente no existe, dado que por el algoritmo clásico de la multiplicación no tenemos ningún ultimo dígito distinto de cero que al multiplicarlo por si mismo nos de cero
basta con inspeccionar la tabla de multiplicar y ver que el primer numero que elevado al cuadrado nos da cero es el 10, y cualquier numero que a partir de la coma decimal
tenga 10, se puede traducir a 1 , de lo que vemos que , no hemos conseguido un cero. Así como en los enteros el
cero a la izquierda lo podemos eliminar, en los reales también podemos eliminar el cero de la derecha a partir de la coma.

“La radiación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado”, (sacado de una enciclopedia electrónica).
Entonces parece que es imposible de encontrar un numero, con coma decimal no nula, ya sea finito o infinito, que multiplicado por si mismo nos de un cuadrado perfecto.
Por esto creo que no podemos encontrar la raíz de cualquier numero que no sea cuadrado perfecto, y en los reales, este conjunto de elementos son un subconjunto del
conjunto de reales con coma decimal nula. A veces me levanto por la mañana pensando que es un problema de codificación y me acuesto pensando que es un problema
de los algoritmos que utilizamos y durante el día pienso que no es ninguna de las 2. De momento sigo buscando en el teorema de Cantor, que junto a Dedekind son los
únicos que se acercan a una verdadera fundamentalmente de números, o eso creo yo.

Por cierto, sigo probando números periódicos con bases diferentes.

Saludos.

[feriva]

Hola feriva:

Evidentemente no existe, dado que por el algoritmo clásico de la multiplicación no tenemos ningún ultimo dígito distinto de cero que al multiplicarlo por si mismo nos de cero
basta con inspeccionar la tabla de multiplicar y ver que el primer numero que elevado al cuadrado nos da cero es el 10, y cualquier numero que a partir de la coma decimal
tenga 10, se puede traducir a 1 , de lo que vemos que , no hemos conseguido un cero. Así como en los enteros el
cero a la izquierda lo podemos eliminar, en los reales también podemos eliminar el cero de la derecha a partir de la coma.

“La radiación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado”, (sacado de una enciclopedia electrónica).
Entonces parece que es imposible de encontrar un numero, con coma decimal no nula, ya sea finito o infinito, que multiplicado por si mismo nos de un cuadrado perfecto.
Por esto creo que no podemos encontrar la raíz de cualquier numero que no sea cuadrado perfecto, y en los reales, este conjunto de elementos son un subconjunto del
conjunto de reales con coma decimal nula. A veces me levanto por la mañana pensando que es un problema de codificación y me acuesto pensando que es un problema
de los algoritmos que utilizamos y durante el día pienso que no es ninguna de las 2. De momento sigo buscando en el teorema de Cantor, que junto a Dedekind son los
únicos que se acercan a una verdadera fundamentalmente de números, o eso creo yo.

Por cierto, sigo probando números periódicos con bases diferentes.

Saludos.

Hola, Oswaldo. Puedes experimentar también con otras bases; base cinco, por ejemplo; tendríamos esta sucesión de números naturales:

 1,2,3,4,5, 10 (que es 6 en base decimal) 11, (que es 7)...

 Y, al dividir, en vez de hacer 10 ó 6 partes o subpartes, hacemos cinco.

 Saludos.

 

[Oswaldo]

Hola feriva:

Ya esta, me estaba obcecando.
En , por que es la inversa de la mitad de la base ya que , y como dije los números no son mas que etiquetas.
Esto no quiere decir que no existan periodos, en , en y en general .
Esto funciona así dado que para todo racional, con mcd(c,d)=1 y con d distinto de la base, sera periódico, con un máximo de (d-1) dígitos en su periodo, al traducirlo a .
Veamos por que. Podemos coger cualquier racional y reordenarlo así, , entonces la parte fraccionada sera producto del numerador.
Vemos con esto que los restos son cíclicos hasta que a=b, que se cierra el ciclo.
Ahora nos falta ver que es periódico. Si tomamos el algoritmo clásico de la división de en ,vemos que los únicos restos posibles
son (b-1), por lo tanto aparecerá después de (b-1) el resto 1, que hace comenzar de nuevo los restos ya obtenidos y haciendo que el cociente se repita a partir de la coma.
Si dividimos obtenemos los restos 1,3,2,6,4 y 5, en ese orden y con un cociente de . El 7 es un numero curioso dado que permuta sus cifras.
Veamos:










Con esto vemos que la aparición de un periodo nos indica la imposibilidad de dividir c, en d partes iguales.
Todo esto parece indicar que la base que no tiene periodos es aquella que tiene el producto de todos los números primos, y esto es imposible para un sistema de etiquetado infinito.

Saludos.

[feriva]

Hola feriva:

Ya esta, me estaba obcecando.
En , por que es la inversa de la mitad de la base ya que , y como dije los números no son mas que etiquetas.
Esto no quiere decir que no existan periodos, en , en y en general .
Esto funciona así dado que para todo racional, con mcd(c,d)=1 y con d distinto de la base, sera periódico, con un máximo de (d-1) dígitos en su periodo, al traducirlo a .
Veamos por que. Podemos coger cualquier racional y reordenarlo así, , entonces la parte fraccionada sera producto del numerador.
Vemos con esto que los restos son cíclicos hasta que a=b, que se cierra el ciclo.
Ahora nos falta ver que es periódico. Si tomamos el algoritmo clásico de la división de en ,vemos que los únicos restos posibles
son (b-1), por lo tanto aparecerá después de (b-1) el resto 1, que hace comenzar de nuevo los restos ya obtenidos y haciendo que el cociente se repita a partir de la coma.
Si dividimos obtenemos los restos 1,3,2,6,4 y 5, en ese orden y con un cociente de . El 7 es un numero curioso dado que permuta sus cifras.
Veamos:










Con esto vemos que la aparición de un periodo nos indica la imposibilidad de dividir c, en d partes iguales.
Todo esto parece indicar que la base que no tiene periodos es aquella que tiene el producto de todos los números primos, y esto es imposible para un sistema de etiquetado infinito.

Saludos.

 

 Hola, Oswaldo. Sí, ahí llegamos de leno al tema de los primos. De teoría de números sé poco -como de todo- conozco alguna cosa porque durante un tiempo estuve jugando con las distintas conjeturas de los primos a ver si sacaba algo.

 Aquí hay un post de Argentinator, sobre el tema, que es interesante (para los que, como yo, no estamos puestos en la materia). Te doy el enlace por si te interesara:

 http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,34174.msg134834.html#msg134834

Saludos.

[LauLuna]

Oswaldo,

en teoría de conjuntos 10 elevado a aleph_0 (el cardinal de N) se interpreta como el cardinal del conjunto de todas las funciones de aleph_0 a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}.

Fíjate en que 2 elevado a aleph_0, o sea, el conjunto C de las funciones de aleph_0 a {0, 1}, es equivalente al conjunto de las funciones características de los sunconjuntos de aleph_0: basta con entender que cada función f en C representa el subconjunto de aleph_0 que contiene exactamente los elementos de aleph_0 a los que f asigna 1.

El conjunto C es claramente equicvalente al conjunto potencia de aleph_0. Por tanto, por el teorema general de Cantor sabemos que C no es enumerable: tiene la cardinalidad del continuo. En realidad, 10 elevado a aleph_0 tiene también esa misma cardinalidad.

Quiero mostrar con esto que hay una manera en teoría de conjuntos de representar la exponenciación en la que se puede plantear tu razonamiento y obtener el mismo resultado que por el método diagonal gráfico: [0, 1] no es enumerable.

Un saludo