Campo eléctrico generado por una sección rectangular de carga uniforme

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gmares:
Quisiera saber si mi deducción es correcta. Analizando el problema llegué a la siguiente expresión:
El punto en el cual se desea medir el campo eléctrico se encuentra sobre el baricentro del rectángulo, a una distancia medida sobre el eje perpendicular al plano que contiene a la sección rectangular, la densidad de carga es uniforme. El espesor de la sección es despreciable.

La fórmula que deduje es:


Donde:
Es el plano que contiene a la sección rectángular.
Es el eje donde se mide la distancia del punto , al plano .
Es el largo del rectángulo, que se mide en coordenadas .
Es el ancho del rectángulo, que se mide en coordenadas .

Aclaro: Es un problema que yo me plantié resolver, lo hice mediante una integral doble aunque aún no se resolverla, pues no se me ocurrió otro método. Tampoco hallé un ejercicio modelo, en los ejersicios que he visto se emplea una aproximación al campo eléctrico planteado, mediante la fórmula , considerando un punto en el que la distancia es pequeña y la distancia a los extremos de la sección es grande, (así la sección se aproxima a un plano infinito de carga uniforme, cuyo valor de campo es el antedicho).
Quisiera saber si mi deducción es correcta, y si existe alguna forma de hallar el resultado sin usar la integral doble. Desde ya gracias!!

Thomas:
Hola gmares

como solo preguntas si estas en lo correcto, no incluiré el proceso que seguí, lo puntual es que... si, tu deducción es correcta. Solo una observación (mas de forma que de fondo, jeje) yo dejaría en lugar de en el integrando, pues en el problema ya se dijo que ese era el valor de dicha variable.

Tambien preguntaste si es posible resolver el problema sin usar la integral doble, y mi respuesta es que no (al menos formalmente), otra cosa es que consideres dentro de un ejercicio alguna aproximación particular que te ahorre la integral, pero en el fondo, dicha aproximacion viene de haber resuelto el ejercicio original (y por lo tanto, la integral), asi que sí, como tu dices, te planteas el problema desde 0 (por decirlo de alguna manera) debes resolverla.

gmares:
Hola amigo, gracias por contestar. Te cuento lo que hice:
1ro- Me fijé si no podía hallar el campo partiendo de alguna fórmula de campo eléctrico ya conocida, para alguna geometría particular. Como es el caso del calculo del campo generado a lo largo del eje de un disco de carga uniforme, en ese caso, conocido el campo eléctrico generado por un anillo circular en un punto de su eje central (hallado por una integral lineal), se puede obtener el campo originado por el disco integrando el resultado del anillo a partir de la diferencial del radio usando como límites y , siendo el radio del disco.
Bueno en el problema de aquí intente partir de la fórmula para calcular el campo electrico generado por una linea de carga uniforme, en un punto de su mediatriz. Pero el problema así planteado no guardaba la simetría que si tenemos en el disco circular. Aquí no se puede integrar los campos generados por las líneas, como si fueran una carga puntual.
2do- Como no se podía ocupar una fórmula anterior, plantié el problema determinando la distancia de cada punto del plano al punto , y luego considerando la única componente de campo no nula que es la perpendicular al plano. Esto es, multiplicar por la expresión del , donde es el angulo que forma la recta que une a cada uno de los puntos de la superficie con , y el plano . Al final me quedó una integral muy parecida a la que permite calcular el campo en la línea uniforme, con la salvedad de que es doble, jeje. Voy a investigar como resolverla. Saludos!

Jorge quantum:
La resuelves por sustitución trigonométrica, dado que cada variable se comporta como consntante. Veamos:

El teorema de pitágoras (o de Fermat) nos prueba que existe un número tal que , de esta forma, haciendo que

  entonces

Haciendo este cambio en tu integral:







Dado que podemos hacer un triángulo rectángulo en el cuál su hipotenusa sea , con lo que





La cual está medio fea....

Con lo que la integral toma la forma

Jabato:
Me parece que esa integral no puede resolverse salvo por métodos aproximados, no estoy completamente seguro, pero casi seguro, debido a los efectos de borde de la placa. Una de las posibles soluciones ya se ha comentado antes, se obtiene al considerar que el punto donde se calcula el campo esta lo suficientemenete próximo a la placa como para considerar esta infinitamente grande, solución equivalente a despreciar dichos efectos de borde. Imagino que no será la única opción, pero mediante integraciones elementales y la regla de Barrow creo que no se puede resolver.

Saludos, Jabato. ;D

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