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Autor Tema: Construcción de R a partir de Q: Método de encajes de intervalos cerrados  (Leído 3571 veces)
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« : 15/01/2011, 07:22:45 am »


(Este post está en edición, faltan detalles en las demostraciones, y puede haber errores de tipeo...
La construcción está completa, pero falta verificar que satisface los Axiomas de los Números Reales, lo cual da bastante trabajo.)


Este post es parte del siguiente enlace:

Diversos Métodos de Construcción de Números Reales



Construcción de un modelo de Números Reales
mediante sucesiones de intervalos cerrados encajados de números racionales.

Según el Teorema 3, parte (d) del siguiente enlace:


el axioma de la cota superior mínima de los números reales
es equivalente a la propiedad de que
al intersectar una sucesión decreciente de intervalos cerrados
se obtiene un conjunto no vacío que es también un intervalo cerrado, o bien un solo punto
.

Si tomáramos a los extremos de dichos intervalos de manera que su "distancia" tienda a 0,
entonces el resultado sería necesariamente un solo punto.

Si los extremos de los intervalos fueran números racionales,
se obtendría ahora como intersección un elemento de [texx]R[/texx]
asociado a la sucesión de intervalos.

¿Qué pasa ahora si nos olvidamos por un momento del sistema de números reales,
y nos quedamos sólo con los números racionales?
Las sucesiones decrecientes de intervalos con extremos racionales
no tendrán siempre algún punto en su intersección.

Un ejemplo sería [texx]\{I_n\}_{n=1}^\infty[/texx] dada por [texx]I_n=[a_n,a_n+10^{-n}][/texx], donde [texx]a_n[/texx] es la aproximación con [texx]n[/texx] dígitos decimales del número [texx]e[/texx]
(o de cualquier otro número que sepamos que es irracional, como [texx]\pi[/texx] o [texx]\sqrt{2}[/texx]).
Se tiene que [texx]a_n<a_{n+1}[/texx] para todo [texx]n=1,2,3,...[/texx].
Además, como estamos pensando en aproximaciones con [texx]n[/texx] dígitos, tenemos que [texx]a_{n+1}-a_{n} \leq 9^{-(n+1)}[/texx], y esto prueba que [texx]a_{n+1}+10^{-(n+1)} \leq a_n+10^{-n}.[/texx]
Esto muestra que la sucesión es decreciente: [texx]I_{n} \supseteq I_{n+1}[/texx], todo [texx]n[/texx].
Al tomar la intersección, nos dará vacía, porque estamos trabajando sólo con números racionales.

En donde debiera haber un número real hay ahora un "hueco".
Como no tenemos punto alguno en la intersección, ¿cómo sabremos cuál es el número real correspondiente, si es que hay alguno?.
Bueno, el truco consiste simplemente en decir que "la sucesión misma define un número real".
En efecto, lo único concreto que tenemos es la sucesión de intervalos decrecientes,
y procuraremos que ella se identifique con ese "hueco" que necesitamos "llenar" con un número real.

Claro que, para estar seguros de todo esto,
debiéramos haber explicado antes la representación por dígitos de los números reales.
Esto lo haremos más adelante, y nos conformamos aquí con estos pocos comentarios más o menos intuitivos,
basados en una presunta experiencia del lector.

Vayamos pues a la construcción formal.
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« Respuesta #1 : 15/10/2011, 02:03:23 am »

  • Definición 1. Sea [texx]\mathcal J=\{I_n\}_{n=1}^\infty[/texx]
    una sucesión decreciente de intervalos cerrados [texx][a_n,b_n][/texx],
    donde [texx]a_n,b_n \in Q, a_n < b_n[/texx].
    Por ser "encajados" tenemos que [texx][a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}][/texx], todo [texx]n[/texx].
    Supongamos además que [texx]\lim_{n\to\infty} (b_n-a_n)=0[/texx].
    Bajo estas condiciones decimos que [texx]\mathcal J[/texx]
    es una sucesión encajada de intervalos racionales.


  • Observación:  En la operación de límite de la definición anterior
    se debe tener en cuenta el sistema en el que se está trabajando,
    concretamente, el de números racionales.

    Recordemos que el límite [texx]L[/texx] de una sucesión [texx]\{c_n\}_n[/texx]
    debe satisfacer que para todo [texx]\epsilon>0[/texx] en el cuerpo considerado,
    debe cumplirse que existe [texx]N_\epsilon[/texx] tal que [texx]n \geq N_\epsilon[/texx] implica [texx]|a_n-L|<\epsilon[/texx].

    Tanto los elementos [texx]c_n[/texx] de la sucesión como los valores de [texx]\epsilon[/texx] considerados,
    han de ser todos elementos en [texx]Q[/texx], o sea, números racionales.

    La sutileza en esto es que, cuando uno considera distintos cuerpos,
    quizá sumergidos unos en otros,
    si uno da una definición de límite con valores de [texx]\epsilon[/texx] restringidos a cuerpos más chicos,
    puede que se obtengan sucesiones convergentes,
    mientras ya dejarían de converger si se hace variar [texx]\epsilon[/texx] en un cuerpo más grande.


Como estamos pensando en identificar números reales con sucesiones encajadas,
podríamos quizá parar acá y definir [texx]\mathbb R[/texx] como el conjunto de todas esas sucesiones.

Pero esto sería un error. Veamos por qué.
Supongamos que ya hemos construido el sistema de números reales.
Consideremos dos sucesiones encajadas distintas de intervalos de extremos racionales. ¿Pueden ellas "converger" al mismo punto?
La respuesta es afirmativa,
y esto muestra que, en realidad,
la clase de las sucesiones encajadas es demasiado numerosa.

Para lograr trabajar con "menos" objetos,
vamos a introducir una relación de equivalencia,
de modo que si dos sucesiones encajadas "convergen" al mismo punto geométrico en la recta de números reales,
entonces ambas se consideran equivalentes.
¿Pero cómo vamos a saber si convergen al mismo número real,
si el sistema de números reales aún no lo hemos construido,
sino que estamos tratando de construirlo justamente con estos extraños objetos?

La clave está en pedirle a las sucesiones encajadas de intervalos una propiedad adecuada,
que haga el trabajo que esperamos que haga.
La idea es que si dos sucesiones encajadas permanecen siempre "entrelazadas", entonces "convergen" al mismo "hueco", y por lo tanto definirán, algún día, el mismo número real.


Decimos que dos sucesiones encajadas [texx]\mathcal I=\{I_n=[a_n,b_n]\}_{n\in \mathbb N},\mathcal J=\{J_n=[c_n,d_n]\}_{n\in\mathbb N}[/texx] de intervalos con extremos racionales son equivalentes, y lo denotamos [texx]\mathcal I\sim\mathcal J[/texx] si se cumple la siguiente condición:

Para todo [texx]n[/texx] valen [texx]a_n\leq d_n[/texx] y [texx]c_n\leq b_n.[/texx]

Según sé, este método se debe a Weierstrass.


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« Respuesta #2 : 15/10/2011, 02:04:54 am »

  • Lema 1. En el conjunto de todas las sucesiones de intervalos encajados de racionales, [texx]\sim[/texx] es una relación de equivalencia.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


Tenemos una observación sencilla y útil sobre la relación [texx]\sim[/texx].

  • Lema. Equivalencia de subencajes. Dada una sucesión [texx]\mathcal I=\{[a_n,b_n]\}_{n\in\mathbb N}[/texx] de intervalos cerrados encajados de racionales, y dada cualquier sucesión creciente [texx]n_k[/texx] de enteros positivos, resulta que [texx]\mathcal J=\{[a_{n_k},b_{n_k}]\}_{k\in\mathbb N}[/texx] es también una sucesión de intervalos encajados de racionales, y más aún, es equivalente al encaje original.

  • Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


A continuación, denotamos [texx][\mathcal I][/texx]
a la clase de equivalencia determinada por la sucesión [texx]\mathcal I[/texx] de intervalos cerrados encajados de racionales.
También podemos escribir más explícitamente algo como [texx][\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}][/texx].

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« Respuesta #3 : 15/10/2011, 02:06:59 am »

Definimos una "suma" de dos sucesiones de encajes [texx]\mathcal I =\{[a_n,b_n]\}_{n\in N},\mathcal J=\{[c_n,d_n]\}_{n\in N}[/texx] de la siguiente manera:

[texx]\mathcal I\oplus\mathcal J =\{[a_n+c_n,b_n+d_n]\}_{n\in N}[/texx].

Lo primero que debemos comprobar es que esta definición produce una sucesión encajada de intervalos cerrados racionales. Lo hacemos en el siguiente spoiler


  • Lema 2. Sean [texx]\mathcal I =\{[a_n,b_n]\}_{n\in N},\mathcal J=\{[c_n,d_n]\}_{n\in N},\mathcal I' =\{[a'_n,b'_n]\}_{n\in N},\mathcal J'=\{[c'_n,d'_n]\}_{n\in N}[/texx] sucesiones de encajes de intervalos cerrados de racionales, tales que [texx]\mathcal I\sim\mathcal I',\mathcal J\sim\mathcal J',[/texx].
    Entonces
    [texx]\mathcal I\oplus \mathcal J\sim\mathcal I'\oplus \mathcal J'.[/texx]

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


A continuación, gracias al Lema 2,
está bien definida la siguiente suma de clases de equivalencia:

[texx][\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}]+[\{[c_n,d_n]\}_{n\in N}]=[\{[a_n+c_n,b_n+d_n]\}_{n\in N}].[/texx]

En efecto, no importa si se toman otros representantes de las clases dadas,
la clase resultante en la suma será siempre la misma.

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« Respuesta #4 : 15/10/2011, 02:08:30 am »

Antes de pasar a la "multiplicación", hablemos del "signo" de los encajes.

  • Definición. Signo de un encaje. Dado un encaje  [texx]\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx] de intervalos cerrados de racionales,
    decimos que es positivo si existe un [texx]n[/texx] tal que [texx]a_n>0[/texx],
    decimos que es negativo si existe un [texx]n[/texx] tal que [texx]b_n<0[/texx],
    y decimos que es nulo en otro caso.

  • Observemos que si [texx]a_n > 0[/texx], entonces [texx]a_k > 0[/texx] para todo [texx]k > n[/texx].

    Análogas observaciones para el signo negativo.

    Por otro lado, si un encaje es nulo, entonces para todo [texx]n[/texx] se tiene: [texx]a_n \leq 0\leq b_n[/texx].



  • Lema 3. Permanencia del signo por equivalencia.
    Sean [texx]\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx], [texx]\{[a'_n,b'_n]\}_{n\in N}[/texx] dos encajes de intervalos cerrados de racionales, [texx]\sim[/texx]-equivalentes entre sí.
    Entonces, si el primero es positivo, el segundo también lo es,
    si el primero es negativo, el segundo también lo es,
    y si el primero es nulo, el segundo también lo es.
  • Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


  • Lema 4. Equivalencia de encajes nulos.
    Sean [texx]\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx], [texx]\{[a'_n,b'_n]\}_{n\in N}[/texx] dos encajes de intervalos cerrados de racionales de signo nulo.
    Entonces ambos encajes son [texx]\sim[/texx]-equivalentes.
  • Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


Dado un encaje de intervalos cerrados de racionales [texx]\mathcal I=\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx],
se define el negativo de dicho encaje como la sucesión:

[texx]\ominus\mathcal I=\{[-b_n,-a_n]\}_{n\in N}[/texx]

Se puede demostrar fácilmente que esto tiene sentido siempre, o sea, efectivamente es un encaje de intervalos.

Veamos algunas propiedades de esta operación [texx]\ominus[/texx].

  • Lema. Cambio de signo. Sea [texx]\mathcal I=\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx] una sucesión encajada de intervalos cerrados racionales.
    Si [texx]\mathcal I[/texx] tiene signo positivo, entonces [texx]\ominus \mathcal I[/texx] tiene signo negativo.
    Si [texx]\mathcal I[/texx] tiene signo negativo, entonces [texx]\ominus \mathcal I[/texx] tiene signo positivo.
    Si [texx]\mathcal I[/texx] tiene signo nulo, entonces [texx]\ominus \mathcal I[/texx] tiene signo nulo.

  • Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)



Además, la operación de tomar el "negativo" se conserva por relaciones de equivalencia.

  • Lema. Sean [texx]\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx], [texx]\{[a'_n,b'_n]\}_{n\in N}[/texx] dos encajes de intervalos cerrados de racionales [texx]\sim[/texx]-equivalentes entre sí. Entonces los respectivos negativos de ellos también son equivalentes entre sí.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


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« Respuesta #5 : 15/10/2011, 02:09:50 am »

El "producto" de encajes se define paso a paso, comenzando por la multiplicación por encajes positivos.
Previamente definiremos un "producto" entre encajes, así.

  • Definición. Sean [texx]\mathcal I=\{[a_n,b_n]\}_{n\in N}[/texx], [texx]\mathcal J=\{[c_n,d_n]\}_{n\in N}[/texx] dos encajes de intervalos cerrados de racionales, y supongamos que el segundo de ellos es positivo.
    Sea [texx]m_0[/texx] el primer índice [texx]n[/texx] tal que [texx]c_n > 0[/texx].
    Definimos ahora:

    [texx]\mathcal I \odot\mathcal J=\{[a_{n+m_0} c_{n+m_0},b_{n+m_0} d_{n+m_0} ]\}_{n\in\mathcal N}.[/texx]

    Los índices hasta [texx]m_0[/texx] se han quitado para evitar situaciones molestas con los signos negativos.

    Primero que nada, se debe comprobar que el producto así definido está bien definido, o sea, da un encaje de intervalos cerrados de racionales.
    Esto se deja como Ejercicio para el lector, pero no es difícil, ya que como el segundo "factor" tiene signo positivo, las desigualdades que necesitamos en los sucesivos productos de racionales, se conservarán.

  • Observación. (Conservación del signo). El encaje resultante [texx]\mathcal I\odot\mathcal J[/texx] en la Definición precedente, conserva el signo de [texx]\mathcal I[/texx].

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


Definición. Dados dos encajes de intervalos cerrados racionales [texx]\mathcal I, \mathcal J[/texx], se define:
  • [texx] \mathcal I \odot \mathcal J = \mathcal I\odot(\ominus\mathcal J) [/texx], si [texx]\mathcal J[/texx] tiene signo negativo.
  • [texx] \mathcal I \odot \mathcal J = \mathcal J [/texx], si [texx]\mathcal J[/texx] tiene signo nulo.


Lema. Sean [texx]\mathcal I,\mathcal J, \mathcal I',\mathcal J'[/texx] encajes dados, tales que [texx]\mathcal I\sim\mathcal I'[/texx], [texx]\mathcal J\sim\mathcal J'[/texx]. Entonces:

[texx]\mathcal I\odot \mathcal J\sim\mathcal I'\odot\mathcal J'.[/texx]

Spoiler: Demostración. (click para mostrar u ocultar)

El Lema previo permite definir "producto" de clases de equivalencia, así:

Definición. Dados dos encajes de intervalos cerrados de racionales [texx]\mathcal I,\mathcal J[/texx], se define:

[texx][\mathcal I]\cdot [\mathcal J]=[\mathcal I\odot \mathcal J][/texx].

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« Respuesta #6 : 15/10/2011, 02:10:49 am »

Finalmente, tenemos que dar una relación de orden entre las clases de equivalencia.

Primero, decimos que [texx]\mathcal I\preceq \mathcal J[/texx] si [texx]\mathcal J\oplus(\ominus\mathcal I)[/texx] tiene signo positivo o nulo.

  • Lema. La relación [texx]\preceq[/texx] es reflexiva.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

  • Lema. La relación [texx]\preceq[/texx] es transitiva.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)



Además, la relación [texx]\preceq[/texx] se conserva por equivalencia.
  • Lema. Dados encajes I, I', J, J', tales que I \sim I', J\sim J', y tal que I\preceq J,
    entonces I'\preceq J'.


Se puede ahora definir una relación de orden en las clases de equivalencia.

  • Definición. ... (la forma obvia)...


Ahora probemos que [texx]\leq[/texx] es un orden total en la familia de clases de equivalencia.
  • Lema.[texx] \leq[/texx] es un orden total.
  • Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


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« Respuesta #7 : 15/10/2011, 02:11:28 am »


El trabajo que queda por delante es no menor.
Si bien la construcción ya está hecha,
falta demostrar que la familia de clases de equivalencia, junto con las operaciones de suma y producto definidas en ella, y la relación de orden \leq que le hemos dado,
satisfacen los Axiomas de Cuerpo Ordenado, junto con el Axioma del Supremo (o alguna de sus equivalencias).

Antes que nada, debemos indicar quiénes juegan el papel de "clases" 0 y 1.
Definimos la clase "0" como [texx][\{-1/n,1/n\}_{n\in N}][/texx].
Obviamente la clase "0" consta de todas los encajes nulos.

Definimos la clase "1" como [texx][\{n/(n+1),(n+1)/n\}_{n\in N}][/texx].


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« Respuesta #8 : 15/10/2011, 05:16:33 am »

Comprobación de las propiedades algebraicas de la suma...
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« Respuesta #9 : 15/10/2011, 05:17:05 am »

Comprobación de las propiedades algebraicas del producto...
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« Respuesta #10 : 15/10/2011, 05:17:26 am »

Comprobación de la ley distributiva...
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« Respuesta #11 : 15/10/2011, 05:17:58 am »

Comprobación de las leyes algebraico-ordinales...
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« Respuesta #12 : 15/10/2011, 05:18:24 am »

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« Respuesta #13 : 15/10/2011, 05:18:41 am »

Conclusiones sobre la construcción...
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