Te digo mi primera impresión:
Me parece que para poder resolver esto, hay que separar bien la construcción y la caracterización de
, dos cosas que acá se están mezclando demasiado. Uno (quisiera creer que) puede caracterizar a
mediante estas propiedades:
1) cumple con todos los axiomas de un cuerpo ordenado
2) Dada una sucesión
, si vale
entonces existe un
tal que
Ya sabemos que
cumple
1. Ahora bien, para construir a
a partir de
, me parece que sería un error agarrar
y agregarle todos los límites de sucesiones que cumplen la condición especificada en
2. Eso sería una construcción autorreferencial, lo que es, según mi conocimiento extremadamente limitado del tema*, una mala construcción. Es que necesitaríamos a los números reales para poder construir a los números reales.
Mirá lo que pasa con el axioma del supremo. Caracterización de
:
a) cumple con todos los axiomas de un cuerpo ordenado
b) Todo subconjunto de
acotado superiormente tiene supremo real.
Uno sabe que
cumple
a, y sin embargo, cuando quiere construir a
a partir de
, no puede agregarle todos los supremos de subconjuntos de
acotados superiormente, no se puede usar a
para su propia construcción. Uno lo que hace es agregarle a
todos los supremos de subconjuntos de
acotados superiormente, y después prueba que en ese nuevo cuerpo ordenado que construyó, al que llma
, vale
b.
Por eso mi idea es que a pesar de que la caracterización de
dada por
1 y
2 es acertada, a la hora de construir a
, uno lo que tiene que agregar no son límites sucesiones de Cauchy de números reales, sino límites de sucesiones de Qauchy de numeros racionales, entendiendo por una sucesión e Qauchy a aquella que cumple:
.
Y hay que tener mucho cuidado con la palabra convergencia, porque su definición también usa un
, expresión que cambia su significado una vez que uno tiene construidos los números reales. Habría que hablar de qonvergencia, entendiendo que una sucesión
qonverge a cierto
si
.
No sé si será una obviedad, pero para mí que si uno agarra y con todas las sucesiones de Qauchy de números racionales, define la relación de equivalencia adecuada (que en la práctica haga que dos sucesiones se relacionen si y sólo si en
resultan qonvergentes a un mismo valor), y después a
le agrega todas las clases de equivalencia de esta relación (los valores a los que qonvergen estas sucesiones de Qauchy), lo que va a haber construido es un cuerpo ordenado completo (y por lo tanto) arquimediano.
En conclusión:
1 y
2 sirven como caracterización de
, sin necesidad de arquimedianidad. La arquimedianidad va a surgir como consecuencia de la forma en la que uno construye un cuerpo ordenado que cumpla
2.
Esto uno lo podría relacionar, por ejemplo, con el hecho de que el cardinal de un cuerpo ordenado completo es
, cosa que dificilmente pueda probarse a partir de su caracterización, pero que viene como consecuencia de su construcción. (Ojo, si me decís que se peude probar a partir de la caracterización, me callo). Igual esto es una primera aproximación, te repito. Dame más tiempo para pensarlo y veo.
*Te aclaro, tu megapost ese de la construcción de los sistemas numéricos lo tengo en favoritos hace mucho tiempo, pero todavía no me puse a leerlo porque me da la impresión que necesitaría saber varias cosas más. Y puede ser que esté combinando ideas obvias con ideas incoherentes, yo te aviso...
