Primer teorema de isomorfismo

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Petra12:
Hola
¿Podríais ayudarme a concluir este ejercios? Gracias!

Se definen [texx]H=\left\{{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix}}|a,b\in{\mathbb{C},a\neq{0}}\right\}[/texx] y [texx]K=\left\{{\begin{bmatrix}{1}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix}}|b\in{\mathbb{C}}\right\}[/texx]
Si [texx]\f:H\longrightarrow{\mathbb{C}*}[/texx] dónde [texx]\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\longrightarrow{a}[/texx] es un homomorfismo, me preguntan que que isomorfismo saco si aplico el primer teorema sobre isomorfismos.
[texx]\frac{H}{kerf}[/texx] isomorfo a Imf
[texx]kerf=\left\{{A\in{H}/ f(A)=1}\right\}=\left\{{A\in{H}|a=1}\right\}[/texx]
[texx]Imf=\left\{{f(A)}|A\in{H}\right\}=\left\{{a|a\in{\mathbb{C}}}\right\}[/texx]
¿Lo dejo así, o cómo tengo que escribirlo?

Luego me piden que de un subgrupo J, dónde se cumpla que[texx]K\leq{J}\leq{H}[/texx] y [texx]|J:K|=2[/texx]

Gracias

Jorge klan:
Hola

Tu respuesta a la primera pregunta es correcta... sin duda hay que ordenarla un poco. Propuesta:

La función [texx]f:H\to C^{*}[/texx], dada por   [texx]f(\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix})=a[/texx] es claramente un homomorfismo (nota que la función [texx]f[/texx] es la función determinante). También podemos ver que éste es un epimorfismo, pues para cada [texx]a\in C^{*}[/texx]  existe [texx]\begin{bmatrix}{a}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\in H[/texx], la cual es preimagen de [texx]a[/texx] con respecto a [texx]f[/texx].

Notemos que [texx]\ker f=K[/texx] (tú ya lo detallaste), luego, por primer teorema de isomorfismo se tiene que

[texx]H/\ker f= H/K\simeq C^{*}=\im f[/texx]

Para el segundo, considera [texx]J=\left\{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix}: a=1\;\vee\;a=-1\right\}[/texx].

Saludos

Petra12:
Muchas gracias Jorge!
en otro apartado del ejercicio, me pedían que demostrase que H y K eran subgrupos de [texx]GL_2(\mathbb{C})[/texx], que ya lo he hecho, y a continuación, me decían a que grupo conocido era isomorfo K? y esa respuesta no la se..
Gracias

Jorge klan:
Hola

[texx](K,\cdot)[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb{C},+)[/texx]. Considera la función [texx]f(\begin{bmatrix}{1}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix})=b[/texx] y prueba que ésta es un isomorfismo.

Saludos

Petra12:
Hola
para demostrar que es un isomorfismo, tengo que demostrar que f(xy)=f(x)f(y), ¿es así?
en este caso,
[texx]f(\begin{bmatrix}{1}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}\\{0}&{1}\end{bmatrix})=f(\begin{bmatrix}{1}&{a+b}\\{0}&{1}\end{bmatrix})=a+b[/texx]
[texx]f(\begin{bmatrix}{1}&{b}\\{0}&{1}\end{bmatrix})f(\begin{bmatrix}{1}&{a}\\{0}&{1}\end{bmatrix})=ab o a+b[/texx]
¿que tengo que utilizar la operación del grupo de los complejos? lo tengo olvidado.. =S
Muchas gracias!

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