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Autor Tema: Geometría Fractal. Definición de Fractal.  (Leído 12052 veces)
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Jabato
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« Respuesta #20 : 02/10/2006, 03:14:48 pm »

Sigo contestando al manco, en lo del ejemplo del Polvo de Cantor. Los conjuntos son los segmentos que quedan y los que se van quitando en la construcion clásica:

A, por ejemplo, los segmentos que van quedando
B, los segmentos que se van eliminando.

Aunque podia ser al revés, el resultado es el mismo.

Con una peculiaridad, dichos segmentos de R se corresponden con segmentos abiertos por sus extremos en ambos casos, es decir quedan excluidos los puntos que delimitan cada segmento por sus extremos, que son precisamente el conjunto f y que en este caso coinciden con los puntos fractales, ya que dichos puntos en el proceso iterativo se convierten en puntos de acumulación.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #21 : 02/10/2006, 03:45:56 pm »

Sigo dando respuestas a las cuestiones planteadas.

A Champion: tu mensaje, el del ejemplo, se entiende mal sin el gráfico que ibas a aportar.

Respecto al motivo de utilizar un compacto C, es porque esto forma parte de una teoría bastante más amplia en la que los fractales se miden (de hecho puede calcularse facilmente la medida del triángulo de Serpinski o del Polvo de Cantor, etc, yo lo he hecho y es finita y no nula) y se puede calcular su dimensión también. De momento y puesto que existen algunos aspectos que aún no están demasiado claros pues preferí evitarme problemas con el infinito acotando la cosa, y esa es una de las razones por las que aparece C, aunque no la única. La extensión a conjuntos no acotados es algo que deberá venir después supongo si consigo terminar esto algún día. Podemos substituir C diciendo simplemente A es acotado (B no lo será claro aunque sí  lo será el fractal si existe).

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #22 : 02/10/2006, 04:15:14 pm »

Contestación a Transmigrado:

Pues porque si no soy capaz de escribir aquí la intersección de dos conjuntos como "dios manda", es decir, usando los símbolos matemáticos que hay en el editor, imagínate subirme un dibujo.

¡Milagros a Lourdes que decía aquel!

Saludos, Jabato.
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"Dios está muerto"


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« Respuesta #23 : 02/10/2006, 04:29:32 pm »

bueno nadie nace sabiendo... y los que manejan este foro lo tienen muy potente... cada vez ponen nuevos paquetes, y subir un dibujo no es nada dificil, yo recien subi un dibujo la semana pasada y lo hice porque lei los topicos que me enseñaban a hacerlo, asi como hay muchos "manuales" para usar latex en el foro...

saludos

PD: jabato no es la cria de jabali, solo por curiosidad
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Jabato
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« Respuesta #24 : 02/10/2006, 04:37:56 pm »

Sí, jabato es la cria del jabalí, aunque mi nombre de guerra, Jabato, proviene de unos "comics" que había cuando yo era un chaval. Aún pueden verse en Internet algunas estampas en las webs especializadas. El "prota" se llamaba el Jabato, y era una fiera desmoralizando malos. En aquella época eso de matar estaba mal visto y en vez de matar se desmoralizaba. Como cambian los tiempos ¿verdad?.

Ja, ja, ja, Jabato.
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« Respuesta #25 : 02/10/2006, 04:47:45 pm »

jajaja, desmoralizando!!!!!!!!!!!!! jamas habia escuchado algo asi... y como derrotaba a los enemigos diciendole eres feo y torpe basofia de ser humano... jajaja

saludos
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Jabato
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« Respuesta #26 : 02/10/2006, 05:35:45 pm »

Tal y como te lo cuento, oye. Es que los jóvenes de ahora todo lo arreglan matando, por eso hay tan poca afición a la matemática, matar es muy fácil. En mis tiempos de chaval arreglabamos las cosas a pedrada limpia, era otro estilo y atinar mucho más dificil.

Jabato.
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« Respuesta #27 : 02/10/2006, 05:40:37 pm »

Bueno, dime que te parece mi definición. Vamos al asunto.

Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #28 : 03/10/2006, 01:49:26 am »

¿Que pasa si yo modifico la definición en la forma siguiente?:

Sea A un conjunto cerrado de un espacio Rn y sean f(A) su frontera e i(A) su interior. Construyamos un segmento, s, de longitud finita y cuyos extremos sean un punto de f(A) y otro de i(A) y hallemos la intersección de s con f(A). Denominaré a este conjunto límite de s, l(s). En general existirá un l(s) por cada s que podamos establecer. Los puntos de acumulación de cada l(s), cuando existen, se denominan puntos fractales, y el conjunto de todos los puntos fractales de A, conjunto fractal de A:

F(A) = {x / x es punto fractal de A}

Esta nueva definición es mucho más sencilla, pero sigue existiendo el mismo problema ya que A puede contener puntos interiores en un determinado espacio de dimensión topológica n y no contenerlos en un espacio de dimensión topológica superior, con lo que el mismo conjunto A sería fractal en Rn y podría no serlo en Rn+1, por ejemplo. Lo que se busca es una definición que permita establecer la fractalidad de A sea cual sea el espacio que lo contenga.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #29 : 03/10/2006, 02:35:04 am »

Creo que encontré la solución. A ver que tal así:

Sea A un conjunto cualquiera de un espacio Rn y sea f(A) su frontera. Consideremos ahora un segmento cualquiera, s, de longitud finita, que una dos puntos distintos de f(A), y hallemos la intersección de s con f(A), denominaré a este conjunto límite de s, l(s), y sea l'(s) su conjunto derivado. Existirán un l(s) y un l'(s) por cada segmento s que podamos establecer. Se define conjunto fractal de A ó simplemente fractal de A, F(A), como la unión infinita de todos los l'(s) de A.

F(A) = U l'(s)

Creo que esto resuelve el problema. ¿que os parece?

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #30 : 03/10/2006, 03:39:23 am »

Hola

Cita
Sigo contestando al manco, en lo del ejemplo del Polvo de Cantor. Los conjuntos son los segmentos que quedan y los que se van quitando en la construcion clásica:

A, por ejemplo, los segmentos que van quedando
B, los segmentos que se van eliminando.

Aunque podia ser al revés, el resultado es el mismo.

Con una peculiaridad, dichos segmentos de R se corresponden con segmentos abiertos por sus extremos en ambos casos, es decir quedan excluidos los puntos que delimitan cada segmento por sus extremos, que son precisamente el conjunto f y que en este caso coinciden con los puntos fractales, ya que dichos puntos en el proceso iterativo se convierten en puntos de acumulación.


Esto da problemas. Si te quedas con segmentos abiertos "los segmentos que van quedando" "al final" son simplemente el vacíos!!!.


Por otro lado: insisto con tu definición un punto suelto es un punto fractal. Pero ¿esto es lógico?; un punto ¿es un fractal?. Me sigue dando la sensación de que te centras en comprobar que te funciona para los fractales, pero no en comprobar que funciona mal para los no fractales.

Fíjate que a una definición hay que exigirle (entre otras) dos cosas:

 - que sea consistente, en el sentido de que si se hace una elección la definición no dependa de esa elección. Este era el problema que tenía introducir C sin más: había que aclarar si la elección de C modifica la definición.

 - que se corresponda con la idea intuitiva de lo que uno quiera definir, de manera que la definición distinga unos objetos de otros. Sigo sin tener claro que esto funcione perfectamente por lo que te indiqué arriba.

En otras palabras y centrándonos en R: tienes una definición que considera fractal al conjunto de Cantor (BIEN) y a cualquier conjunto discreto de puntos (en principio...MAL).

 Ahora bien dices que has desarrollado más tu teoría y has definido una dimensión fractal: quizá sea esta dimensión la que distinga el conjunto de Cantor como caso especial frente al conjunto discreto de puntos. No lo se.

Saludos.
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« Respuesta #31 : 03/10/2006, 05:53:38 am »

No estoy de acuerdo en tus apreciaciones por los diversos motivos que paso a exponer, manco:

1º Un segmento abierto tiene simpre dos puntos al menos, y si tiene dos puntos, tiene infinitos puntos, por lo que es imposible que puedan vaciarse nunca, ni en el límite. Si quieres una demostración por inducción es fácil plantearla.

2º Con la primera definición que planteé en primer lugar, un punto suelto puede ser un fractal, sí, es cierto. Piensa que la definición de fractal que yo planteé es relativa, es decir, un fractal no es solo un fractal, es un fractal de ... otro conjunto, F(A). ¿Cual es el inconveniente de que tal cosa ocurra? No alcanzo a verlo. Presupones que eso es malo, pero ¿porqué?. No lo dices. A mí personalmente no me plantea ningún problema tal cosa. ¿que problemas te plantea a tí?.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #32 : 03/10/2006, 06:13:04 am »

Apartir de ahora os agradeceré que considereis solo la última definición que planté ya que me parece la más adecuada, y no adolece del defectillo que tenía la primera:

Sea A un conjunto cualquiera de un espacio Rn y sea f(A) su frontera. Consideremos ahora un segmento s, de longitud finita, que una dos puntos distintos de f(A), y hallemos la intersección de s con f(A), denominaré a este conjunto límite de s, l(s), y sea l'(s) su conjunto derivado. Existirán un l(s) y un l'(s) por cada segmento s que podamos establecer. Se define conjunto fractal de A ó simplemente fractal de A, F(A), como la unión infinita de todos los l'(s) de A.

F(A) = U l'(s)

Se me ocurrió esta nueva definición durante el debate, y por eso he preferido cambiarla. Creo que resuelve mi problema. Disculpad la modificación, pero ese era el objetivo del debate, buscar una nueva definición. Me gustaría ponerla a prueba con vuestros comentarios así que será un placer que trateis de desmontarla, si es posible.

Saludos y gracias, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #33 : 03/10/2006, 06:30:53 am »

Hola

 Si es que cuando digo que hay que ser concretos es por algo. Si no llega un momento que no se sabe de que estamos hablando.

 ¿Que quiere decir que un conjunto abierto no pueda vaciarse nunca ni en el límite?.... Pues como no concretemos más... nada.

 El conjunto de Cantor se construye (por ejemplo) como intersección de una familia infinita de cerrados. Cada cerrado de la familia se construye a partir del anterior quitando unos determinados intervalos abiertos. El conjunto de Cantor es el límite de esta familia en el sentido de que es la intersección de todos ellos.

 Lo que yo te estoy diciendo es que la intersección de infinitos abiertos encajados: PUEDE SER VACIA. Por ejemplo:

- si la familia de abiertos es  [texx]A_n=(0,1/3^n) [/texx] su límite (entendido como intersección de todos ellos) es vacío.

 Por otro lado: no entiendo que criterio quieres que sigamos para opinar sobre tu definición.

 Me explico.

 - has eliminado el conjunto C que la podía hacer ambigua: PERFECTO.

 - Dado un conjunto A defines el conjunto fractal de A, f(A): PERFECTO.

 Hasta aquí nada que objetar, a partir de un conjunto A definies otro f(A) y le llamas fractal de A. Vale. Ok. Podrías haber hecho esa definición u otra. Nada que desmontar: eres libre de definir lo que quieras y llamarle como quieras.

 Pero entonces el único criterio que me queda para juzgar u opinar algo sobre tu definición es  es comparar tu definición de fractal con el concepto de fractal que ya existe por ahí.

Según ese concepto, una familia finita de puntos no es un fractal. Según tu definición si. Repito: Es el único criterio que se me ocurre para juzagar tu definición. Si para ti pueden ser fractales cosas que hasta ahora no eran consideradas como tales...pues...bien... no me parece ni bien ni mal...Pero entonces tienes que explicar que aporta tu definición, que objetos distingue sobre otros, porqué, para qué,...


 Aclaro también que estoy bajo el supuesto de que, según tu definición, un fractal es entonces todo conjunto f(A) obtenido a partir de algun A. ¿Es así?. Si no lo es, ¿a que le llamas entonces fractal? ¿depende de A?¿en qué sentido?  ¿que caracterísiticas especiales tienen los objetos que así estás definiendo?

 En definitiva eres tú el que tienes que aclarar a donde quieres ir a parar con eso.  Dicho de otra manera, ¿para qué sirve tu definición?.

Saludos.
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« Respuesta #34 : 03/10/2006, 07:50:43 am »

Te explico la idea:

La única propiedad que parecen compartir todos los fractales y sus diversas definiciones existentes es la de presentar detalle infinito, no vale definirlos por su dimensión, no vale definirlos por su medida, ni por su belleza, etc, es decir, que al verlos con cualquier número de aumentos siempre presentan un detalle infinito. Bien, la idea que motivó este asunto, en lo que a mi concierne, fué tratar de conseguir una definición de fractal que albergara todos los objetos que presentan esta propiedad, la de tener detalle infinito.

Pero para ello necesitaba establecer en términos matemáticos que se entiende por detalle infinito, y después de darle muchas vueltas a la cosa llegué a la siguiente conclusión, el detalle infinito se produce cuando la frontera no es plana, bién, pero que significa que la frontera no es plana, pues que es rugosa, cualquiera que sea el "zoom" con que la revisemos, es decir es infinitamente rugosa.

El resto fué solo tratar de encajar en una definición esto. He dado vueltas a muchas definiciones y siempre llego a que debe haber un segmento que corte a la frontera en un conjunto infinito de puntos (si el segmento es finito el conjunto debe presentar un punto de acumulación al menos), la dificultad estriba en de que forma establecer el segmento para evitar los efectos residuales que se producen.

Esa es la idea que creo que es buena tu mismo, manco, dijiste que parecía tener posibilidades, pero no sé en que forma evitar el problemilla.

Si establezco el segmento entre dos puntos de la frontera (última definición) tampoco resuelvo el problema porque cuando la frontera es plana contiene al segmento y no vale la definición tampoco.

Creo que estoy muy cerca de la cosa, pero no acabo de verla. Eso es todo. No te molestes manco por los vaivenes, nadie te obliga a debatir, si crees que el objetivo no está claro ó que mis planteamientos son incorrectos pues ha sido un placer conocerte, pero me parece que no merece la pena que discutamos. ¿no te parece? No me pidas que tenga las cosas claras porque ya ves que no las tengo, aunque si tengo muy claro cual es el objetivo al que quiero llegar. Solo eso. Si te digo que estoy buscando una definición y tu solo me pides que té de la definición que busco pues estaremos así toda la vida. Si ya tuviera la definición no estaría aquí. ¿No te parece?

Saludos Jabato.
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« Respuesta #35 : 03/10/2006, 08:12:29 am »

Hola

 Últimos (de momento  :guiño:) comentarios y consejos:

 - Yo no te pido que des una definición: tú la diste y pediste que se la pusiese a prueba. Textualmente:

Cita
Me gustaría ponerla a prueba con vuestros comentarios así que será un placer que trateis de desmontarla, si es posible.

 - La idea que tienes puede ser buena. Ahora bien, ten en cuenta que en este tema, lo que es dificil es plasmar una idea intuitiva con algo formal que funcione bien.

 - Esto es algo típico en matemáticas: aun cuando las intuiciones pueden ser claras y aceptadas, dar definiciones formales puede complicarse. Ejemplo: la definición de límite que conocemos ahora tardo siglos en cristalizar. Sin embargo ya se calculaban límites antes de ella.

 - Cuando tengas (o creas tener) tu definición formal se muy crítico con ella. No presupongas que plasma la idea que tienes en la cabeza. Compruébalo. Sobre todo maneja ejemplos. Trata tu mismo de tirarla abajo como sea.

 - MUCHA SUERTE.

Saludos.


 
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Jabato
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« Respuesta #36 : 03/10/2006, 08:20:20 am »

Otra posible definición sería la siguiente:

Consideremos un conjunto A, cerrado, perteneciente a un espacio Rn y sean su complementario, C(A) y su frontera, f(A). Determinemos ahora un segmento, s, de longitud finita y tal que sus extremos sean un punto de A y uno de C(A) respectivamente. Denominaré limite de s, l(s) a la intersección de s con f(A) y l'(s) a su conjunto derivado. Por cada segmento que podamos establecer existirán un l(s) y un l'(s)

Se define conjunto fractal de A, F(A), a la unión infinita de todos los conjuntos l'(s):

F(A) = U l'(s)

La cuestión es ahora ver si tal definición responde bién a las expectativas planteadas. Solo eso.

Quizás debí a haber hecho la declaración de intenciones antes de plantear ninguna definición, en eso tienes razón manco, y me disculpo por ello si acaso. Creo que ahora si se entiende lo que ando buscando ¿ó no?.

Saludos, Jabato.
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