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Autor Tema: Geometría Fractal. Definición de Fractal.  (Leído 12050 veces)
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Jabato
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« : 01/10/2006, 08:01:41 am »

Se me ocurrió lo siguiente para tratar de definir un fractal:

Consideremos en un espacio Rn un conjunto cualquiera, C, compacto y supongamos que A es un abierto contenido en él. El complemento de A será un conjunto cerrado y sus puntos interiores constituirán otro conjunto abierto que denominaré B. Denominaré f a la frontera que separa a ambos conjuntos. Es fácil darse cuenta de que f es frontera de A y de B.

Bién, consideremos ahora un segmento, s(a,b), que una dos puntos a, b, pertenecientes a A y B respectivamente. Dicho segmento intersecará a f en un conjunto no vacío de puntos, que denominaré limite de s, L(s), y a continuacion establezco la siguiente definición:

Se denomina punto fractal a cualquier punto de acumulación de cualquier l(s) y conjunto fractal de A, F(A) al conjunto de todos los puntos fractales de A. También puede definirse como fractal de B ya que:

F(A) = F(B)

Dicha definición excluye solo al caso en que A ó B sean vacíos, y sería interesante poder incluir dichos casos en la definición lo que nos daría un panorama muy completo de los fractales y una sencilla definición formal.

Como ejemplos de casos de fractales no incluidos en esta definición citaré cualquier fractal definido  en R y supuestamente colocado en R2 ó cualquier fractal definido en R2 y supuestamente colocado en R3

¿Que opinan al respecto?

Saludos Jabato.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 02/10/2006, 04:16:28 am »

Hola

 Ufff así en frío y sin que expliques la idea que subyace me cuesta juzgar tu definición.

 Una buena definición es deseable que este acompañada de ejemplos, lo más sencillo posibles, que den una idea de si esta está atinada o no.

 Toma fractales conocidos (conjunto de Cantor y sus generalizaciones, triángulo de Siernspinsky,... ) y comprueba como se comportan con tu definición.

 Toma conjuntos moderadamente sencillos que NO deban se ser fractales y de nuevo comprueba como se comportan respecto a tu definición.

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #2 : 02/10/2006, 04:59:38 am »

Ya lo hice claro, la definición funciona bién, con excepción de los casos que indiqué, funciona bién con el polvo de Cantor, el Serspinski , Mandelbrot etc, no tiene problemas. Es perfecta, solo que presenta el problema que indiqué y que no soy capaz de solventar.

Explico con un poco más de detalle el problema. Supón un fractal conocido, el copo de nieve ó curva de Koch. Es una curva plana, y la definición que planteé funciona en R² perfectamente con ella, pero supongo que el copo está ubicado en un espacio R³, entonces la definición deja de funcionar, por la sencilla razón de que el conjunto B se vuelve vacío segun expliqué antes, en R² no es vacío. Ves la diferencia. Ocurre exactamente lo mismo con todos los fractales al ubicarlos en un espacio de dimensión topologica superior a la que le corresponde, no se si me explico, creo que si.

Para que entiendas la cosa, la definición funciona perfectamente hasta con el triángulo de Serspinski, bicho más que raro. Si tienes tiempo trabaja con esa definición, ya verás que da buenos resultados en todos los casos. Solo que ... entiendes. Creo que debe ser un problema fácil de resolver, pero no acabo de dar con la solución. Por eso planteé la cosa a ver si alguien lo ve.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #3 : 02/10/2006, 05:10:54 am »

La idea que subyace es muy clara, la frontera de un conjunto fractal (el fractal propiamente dicho para hablar con propiedad) se repliega tanto que llega a adoptar cierto espesor, es decir un espesor infinitesimal si quieres. Es decir al realizar una sección del fractal pues se ve como si tuviera cierto espesor.

La "sección" en curvas o superficies no fractales no presenta tales características.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #4 : 02/10/2006, 05:14:23 am »

Quizás la palabra espesor no sea la correcta, es como si la frontera del conjunto tuviera una infinidad de capas, amontonadas en un espacio finito, no sé si lo explico claramente, creo que sí.

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 02/10/2006, 07:14:05 am »

Hola

 Algunas preguntas y críticas (probablemente fácilmente subsanables o quizá fruto de mi mala comprensión de tu definición):

 - ¿Qué papel juega C en todo esto?

 - Y relacionado con lo anterior: ¿El complementario de A en [texx]R^n[/texx] o en C? ¿A abierto en [texx]R^n[/texx] o en C? ¿F(A) depende de C?.

 - ¿Todo conjunto A genera un fractal F(A)?. ¿Cual sería el generador del conjunto de Cantor en R?.

 - ¿Has comprobado si tú  definición excluye los objetos que NO son fractales? (tan importante es que funcione bien para los que SI son como mal para los que NO son).

Saludos.
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Champion9999
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« Respuesta #6 : 02/10/2006, 08:37:19 am »

En R^2:
Cuando C=B[0,2] (la bola de centro 0 (el origen) y radio 2 ), A=B(0,1); se tiene que  B=R^2-B[0,1], f=S[0,1] ("esfera" o circulo de radio 1) y finalmente F(A)=F(B)=f=S[0,1]. Es decir, S[0,1] es fractal de A; pero S[0,1] no es considerado fractal, no?

En general, como f es cerrado (es "la frontera de A y B"), F(A)=F(B) esta contenido en f.

Con respecto a pasar de R^2 a R^3. Cuando se "pasa" de R^2 a R^3, A se vuelve vacio.


Algunas preguntas para entenderte mejor:
A que te refieres con "la frontera que separa a ambos conjuntos"? a la interseccion de las fronteras de A y B?
Has definido lo que es el fractal de un conjunto. Segun tu definicion, cuando un conjunto G es fractal? cuando G=F(A) para algun A?
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« Respuesta #7 : 02/10/2006, 09:22:22 am »

Trataré de responder a ambas intervenciones, por orden de aparición, como en las películas, así que primero le toca al manco:

1º Basicamente C juega el papel de contenedor acotado, aunque preferí meterlo todo en un conjunto así ya que sus propiedades, muy interesantes, me perimtirá realizar cálculos con sucesiones y otras similares. Tengo toda una teoría nueva sobre fractales esperando resolver este problemilla, es una teoría que establece su dimensión y su medida en una nueva forma, nada que ver con la medida de Haussdorf ni con la dimensión de Haussdorf - Besicovitch, así como una manera de clasificar los fractales bastante original, nueva desde luego.

2º Está claro que el complemento de A es respecto a C. No es que F(A) dependa de C, no necesariamente, lo que sí hace C es acotarlo. Solo eso.

3º No todo conjunto A genera un fractal, supón que A es el interior de una esfera contenida en C, no hay fractal que consíierar ya que cualquier límite l(s) es un conjunto con un punto nada más y no tiene nunca punto de acumulación. El fractal de A, sería vacío, para hablar con propiedad.

4º El polvo de Cantor puede generarse considerando un segmento de la recta real dividido en 2n+1 intervalos, unos abiertos y otros cerrados. Al hacer tender n a infinito obtienes el polvo de Cantor u otro parecido, depende de como crezca el número de segmentos.

5º He comprobado que funciona bien con conjuntos no fractales, en esos casos los límites siempre presentan un número finito de puntos, y no existen puntos fractales.

Y ahora le toca el turno a Champion:

1º En tu ejemplo, y en general, si denotamos la frontera de cualquier conjunto como f() resulta que:

B = (C - A) - f(C - A)

2º Solo existe el fractal cuando contiene algun punto fractal, en el caso que pusiste el fractal es vacío.

3º F(A) = F(B) necesariamente debe estar contenido en f ya que su intersección con A es vacía y también lo es su intersección con B. Piensa que un punto fractal es un punto de acumulación de los puntos de un límite, pero que a su vez debe ser un punto límite.

4º La frontera que separa a ambos conjuntos: Creo que sí es la intersección de las fronteras de A y B.

5º Eso es, un fractal es el conjunto de todos los puntos fractales (podría ser vacio, hablando con propiedad), no coincide ni con A ni con B ni tan siquiera con su frontera, es otra cosa.

Bueno espero haber satisfecho vuestra curiosidad.

Saludos, Jabato.
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topo23
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« Respuesta #8 : 02/10/2006, 10:44:04 am »

Hay fractales en R^2 que no estan acotados (el conjunto de Newton por ejemplo).

De todos modos me gustaria que explicaras un poco mas como se calcula un punto fractal.

Otra pega de la definicion es la falta de "algo" iterativo, pero esto es pura cuestion de gusto.
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Jabato
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« Respuesta #9 : 02/10/2006, 11:12:23 am »

Contestando a Topo:

Supón, para usar palabras sencillas, dos conjuntos abiertos que en una determinada región acotada de un espacio Rn presentan una frontera común.

Al unir mediante un segmento, s, dos puntos uno de cada abierto, dicho segmento cortará a la frontera en un conjunto de puntos, dicho conjunto es lo que yo denomino límite, l(s).

Un límite cualquiera (existe uno por cada segmento que podamos establecer), tendrá en general un número de puntos, finito ó infinito. Si el número de puntos es infinito y puesto que el segmento es de longitud finita, el límite deberá presentar necesariamente un punto de acumulación. ¿Me sigues? Bién, pues ese punto es un punto fractal del par (A, B). Para cada segmento posible existirán un numero determinado de puntos fractales, y el conjunto de dichos puntos es lo que yo defino como fractal de A y de B. Ten en cuenta que la explicación es sencilla, puede hacerse formal para evitar temas raros.

F(A) = F(B) = {x/ x es punto fractal}

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #10 : 02/10/2006, 01:12:35 pm »

Hola

 Seguiré poniendo pegas. No te las tomes como algo destructivo sino todo lo contrario. El atacar tu definición ayudará a depurarla y hacerla más fuerte.



Cita
2º Está claro que el complemento de A es respecto a C. No es que F(A) dependa de C, no necesariamente, lo que sí hace C es acotarlo. Solo eso.

No me vale "no necesariamente". Si quieres que tu definición sea fuerte o depende de C o no depende de C.

 Si depende de C habrá que definir: "tal conjunto es un fractal en C si cumple....". Y habrá que investigar que signfica que si lo sea en un C pero no en un C' distinto.

Si no depende de C, hay algo que me desconcierta. Entonces para trabajar con tu definición basta trabajar en un compacto C. Pero entonces no veo porque tienes problemas para meter un fractal de R en [texx]R^2[/texx]. Si en [texx]R^2[/texx] tomas como C un "trocito" de recta, todo lo que hagas en R te valdrá para [texx]R^2[/texx]. ¿No?. Y de igual modo puedes subir a cualquier dimensión.


Cita
4º El polvo de Cantor puede generarse considerando un segmento de la recta real dividido en 2n+1 intervalos, unos abiertos y otros cerrados. Al hacer tender n a infinito obtienes el polvo de Cantor u otro parecido, depende de como crezca el número de segmentos.

Más concrección. ¿Exactamente que conjunto A (y C si influye) coges?. Es un ejemplo sencillo y concreto, así que debes de poder dar un conjunto A concreto (sencillo o complicado) que nos de el conjunto de Cantor. Dices  unos abiertos y otros cerrados. ¿Cuáles?. Escribe:

A= :¿eh?:?

o quizá

[texx]A= \cap{}_{n\in N} A_n[/texx]           con [texx]A_n[/texx] = :¿eh?:??

o quizá

[texx]A= \cup{}_{n\in N} A_n[/texx]           con [texx]A_n[/texx] = :¿eh?:??




Por última una reflexión: mi sensación es que la idea que tienes en la cabeza funciona bien, pero la definición que has dado no es fiel 100% con tu idea. Se crítico en esto contigo mismo al contestar a las preguntas. Quizá sean cosas evidentes aplicando la idea de tu cabeza, pero pueden dar problemas formales si uno aplica estrictamente la definición que nos has dado. Intenta ser riguroso.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 02/10/2006, 01:17:48 pm »

tendrá en general un número de puntos, finito ó infinito

no entiendo lo de finito...

jabato porque no te haces un dibujo y explicas tus ideas en el, creo que asi se aclararian muchos puntos, a veces con palabras no entendemos todo lo que quieres transmitir.

saludos
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« Respuesta #12 : 02/10/2006, 01:31:41 pm »

Y ahora le toca el turno a Champion:

2º Solo existe el fractal cuando contiene algun punto fractal, en el caso que pusiste el fractal es vacío.

Eso es porque un punto, P,  es fractal si P=lim Xn, donde "Xn es punto de s intersectado con f", para algun s (o sea, s no depende de n). No?

Yo habia considerado: un punto, P,  es fractal si P=lim Xn, donde "Xn es punto de s intersectado con f, para algun s" (o sea , s podria depender de n). Pero creo que no te habia entendido.

Saludos
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« Respuesta #13 : 02/10/2006, 02:04:17 pm »

En el ejemplo que he puesto ahora:
El conjunto C (de color negro) es formado por la la union de C2n (n=0,2,4,...) y G; donde C2n={(x,y) : 0<=x<=1, 1/2^(2n+1)<=y<=1/2^(2n)}
y G={(x,y) : 0<=x<=1,y=0}
Por ejemplo C0={(x,y) : 0<=x<=1, 1/2<=y<=1}; C2={(x,y) : 0<=x<=1, 1/8<=y<=1/4}.

El conjunto C es compacto.
Consideremos A=interior de C=union de interiores de C2n
                                       =union de {(x,y) : 0<x<1, 1/2^(2n+1)<y<1/2^(2n)}

B= Complemento de C= interior de "complemento de A".

f= G unido con (union de fn); donde fn={(x,y) : 0<=x<=1, y=1/2^n} (Union de lineas) y G={(x,y) : 0<=x<=1,y=0}

Me da la impresion que en este caso F(A)=F(B)=[0,1]x{0}.

Espero que este ejemplo nos ayude a entender la definicion.

Saludos

PD. Como puedo hacer para que el dibujo que hice se vea en esta pagina?

* C-.JPG (21.66 KB - descargado 150 veces.)
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« Respuesta #14 : 02/10/2006, 02:09:50 pm »

Vamos a ver, trataré de contestar a todos y esta vez intentaré ser un poco mas conciso, estricto, crítitco (conmigo mismo) y formal. A ver si salimos del atasco ya que veo que no me entendeis.

Vamos a olvidarnos de momento del conjunto C, el hecho de suponer que no hay cotas creo que influye poco en la definición, al menos en la definición de punto fractal, así que de momento trataré de haceros entender que es un punto fractal, y después bastará con decir que un fractal es un conjunto de puntos fractales.

Centrémonos por lo tanto en el concepto de punto fractal:

Sean A y B dos conjuntos abiertos de Rn de tal forma que la intersección de sus conjuntos frontera, f, es no vacía. Hasta aquí clarito creo.

Sean a y b dos puntos pertenecientes a A y B respectivamente, y sea s un segmento cuyos extremos son a y b. Hasta aquí clarito también, supongo.

Y construyamos ahora el límite correspondiente a s, l(s). Dicho límite es la intersección de f y s. ¿Más claro ahora?

Disculparme si no utilizo los símbolos matemáticos, no he aprendido a utilizar esos símbolos aquí aún, aunque ya lo haré, no preocuparse.

Bueno, ahora solo queda hacernos una pregunta:

¿Cuantos puntos puede contener l(s)? Hay tres respuestas posibles:

a) Ninguno
b) Un número finito
c) Un número infinito

No hay mas opciones ¿verdad?¿Eso está claro?

Centremonos en el caso c). Los puntos de un límite están contenidos en s, (supondré que s tiene longitud finita) y no me pregunteis por qué. Lo establezco así por definición.

En este caso y habida cuenta de que s tiene una longitud finita, el límite tiene que tener un punto de acumulación como mínimo, puede haber más de uno, e incluso pueden ser infinitos como en el triángulo de Sierpinski. ¿Hace falta que os lo demueste?

Bueno pues estos puntos de acumulación de cada uno de los límites son los puntos fractales.
¿quedo ya un poco más claro? Después hablamos de los demás temas, decirme si este lo teneis claro.

Debeis entender primero esto, después hablamos de C y de los motivos de su existencia y de los ejemplos que querais. Gracias.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #15 : 02/10/2006, 02:19:17 pm »

Con respecto al ejemplo que puse, F(A)=F(B)=[0,1]x{0} creo que no es considerado fractal (segun ciertas definiciones).

Por otro lado si en el ejemplo cambiamos la desigualdad "0<=x<=1" por "0<=x<=1/4 o 3/4<=x<=1" y
 "0<x<1" por "0<x<1/4 o 3/4<x<1 ". Tendremos un nuevo ejemplo en el que F(A)=F(B)=([0,1/4] unido con [3/4,1])x{0}; el cual no es considerado fractal bajo ninguna definicion que yo conozca.
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Jabato
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« Respuesta #16 : 02/10/2006, 02:19:56 pm »

Entender por favor que no puedo contestar a todos a la vez, a no ser que asuma el riesgo de volverme loco y no estoy por la labor, así que si alguno no entendió mi mensaje 39 que levante la mano. Después seguimos.

Gracias, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #17 : 02/10/2006, 02:23:23 pm »

Hola

 Yo personalmente SI ENTIENDO lo de tu último post.

 Observación: Límitandome a ese último post. Pueden construirse conjuntos A y B, de manera que cualquier número finito de puntos sean puntos fractales. ¿De acuerdo en eso?.

 Por ejemplo, si no me equivoco, tomando en R:

[texx] A=\cup_{n\quad par } (1/n,1/(n+1))[/texx]

[texx] B=\cup_{n\quad impar } (1/n,1/(n+1))\cup (-1,0)[/texx]

el cero es un punto fractal.

 No se si esto es bueno o malo para tus intereses.

Saludos.
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« Respuesta #18 : 02/10/2006, 02:33:01 pm »

Contestando al manco:

Creo que no es ni bueno ni malo, simplemente está de acuerdo con lo dicho en mi mensaje 39. A y B son abiertos, la intersección de sus fronteras es no vacía, etc. Si de acuerdo manco. Creo que no hay error.

Jabato.
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« Respuesta #19 : 02/10/2006, 03:01:42 pm »

Sigo contestando al manco, ya que confirmó lo de mi mensaje 39. La definición que yo busco pretende ser universal. Si yo coloco el conjunto de Cantor en el interior de una esfera, a la que consideraré C, en R³, resulta que A ya no es ni abierto ni cerrado, y se va al carajo la definición. ¿Entiendes manco?

Saludos, Jabato.
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