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Autor Tema: Cuestión aplicaciones conjugadas  (Leído 2626 veces)
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ismael4790
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« : 25/11/2010, 10:34:29 am »

Hola. A ver si podéis echarme una mano con esta cuestión.

Tengo la definición siguiente:
Dos aplicaciones [texx]f:\rightarrow{X}[/texx] y [texx]g:Y\rightarrow{Y}[/texx] se dice que son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo [texx]h[/texx] que verifica que [texx]hf=gh[/texx].

Ahora, lo que se pide es:

Dadas [texx]f:R\rightarrow{R}[/texx] , [texx]g:R\rightarrow{R}[/texx] / [texx]f(x)=ax[/texx] y [texx]g(y)=by[/texx], con [texx]a,b\in{R}[/texx], Encontrar la aplicación h de la definición.

Muchas gracias  :guiño:
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« Respuesta #1 : 25/11/2010, 10:03:38 pm »

Hola.

 ¿Estas seguro que esas son todas las hipótesis del problema?, porque por ejemplo si [texx]a=1[/texx] y [texx]b=2[/texx], de existir [texx]h[/texx] tendríamos que [texx]h(x)=2h(x)[/texx] para todo [texx]x\in\mathbb{R}[/texx], pero de esto se deduce que [texx]h[/texx] debería ser la función nula, cosa que no puede ser ya que [texx]h[/texx] es un homeomorfismo.

 Sospecho que [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son topológicamente conjugadas para valores de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] con más restricciones que únicamente ser números reales. Nota además que si [texx]a=0[/texx], necesariamente [texx]b=0[/texx] para que [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] sean topológicamente conjugadas.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 26/11/2010, 01:16:23 am »

Hola.

 Observa que si [texx]a,\,b\in(0,1)[/texx] o [texx]a,b\in(1,+\infty)[/texx], si definimos [texx]h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/texx] por

[texx]h(x)=\begin{Bmatrix}x^{\log_{a}b}& \mbox{ si }& x\geq0\\-(-x)^{\log_{a}b} & \mbox{si}& x<0,\end{matrix}[/texx]

se tiene que [texx]h[/texx] es un homeomorfismo y además [texx]hf=gh[/texx]. Con un poco más de trabajo se puede mostrar que si [texx]a\in(0,1)[/texx] y [texx]b>1[/texx], entonces [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] no son topológicamente conjugadas. Intenta extender esta misma idea a los valores de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] que faltan analizar.

Saludos.
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ismael4790
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« Respuesta #3 : 26/11/2010, 07:13:14 am »

Gracias por tus respuestas, Braguildur.
Me acababan de dar la definición, y ya me pedían esto.No sabía cómo abordarlo.

Imaginaba que no valdría para cualquier par [texx](a, b)[/texx] de reales, porque según creo, si son topológicamente conjugadas, conservan 'cualitativamente' el sistema.Y por ejemplo, para valores de a y b ,con |a|<1, y |b|>1, el primer sistema tendría al cero como fijo atractor, y el segundo como fijo repulsor.
Lo que no veo es cómo demostrar eso con cierto rigor (que no podría existir ese h de la definición).

Por otro lado, para extender la idea de h a otros valores de a y b; ¿bastaría con esto?
Por ejemplo, si a y b ambos negativos menores que -1, cambiar en h [texx]\log_{a}b}[/texx] por [texx]\log_{-a}-b}[/texx];
si a negativo menor que -1 y b positivo mayor que 1 , cambiar [texx]\log_{a}b}[/texx] por [texx]\log_{-a}b}[/texx], etc...

Mil gracias. :sonrisa:
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