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Autor Tema: Número no estándar, y omega consistencia  (Leído 537 veces)
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Raúl Aparicio Bustillo
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« : 22/11/2010, 09:24:19 »

Cuando una teoría es w-inconsistente, eso ¿implica la existencia de números no estándar en cualquier modelo de la misma?
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Óscar Matzerath
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« Respuesta #1 : 26/11/2010, 06:00:57 »

Hola,

Así es. Si la teoría T es [texx]\omega[/texx]-contradictoria, existe una fórmula [texx]\alpha(x)[/texx] tal que para todo numeral [texx]\bar{n}[/texx] (es decir, un término de la forma S...S0 con n S's, donde 0 representa el 0 y S el siguiente en la teoría) [texx]T \vdash \alpha(\bar{n})[/texx] pero [texx]T \vdash \exists x (Nat(x) \wedge \neg \alpha(x))[/texx], donde Nat(x) es el predicado en T que "dice" "x es natural". Supongamos ahora que hay un modelo estándar M. Todo natural estándar se obtiene a partir del 0 a partir de un número finito de aplicaciones de la operación siguiente. Por tanto, todo natural estándar n viene representado por algún numeral [texx]\bar{n}[/texx] en la teoría T. Entonces si tenemos que [texx]M \models \alpha(\bar{n})[/texx] para todo n, como no hay más naturales en el modelo M aparte de los de estándar (representados por numerales), tenemos que [texx]M \models \neg \exists x (Nat(x) \wedge \neg \alpha(x))[/texx]. Por tanto, por completitud de la lógica de primer orden, no puede pasar que [texx]T \vdash \exists x (Nat(x) \wedge \neg \alpha(x))[/texx] (ya que hay un modelo de T dónde esto es falso). Así pues, no puede existir un modelo de T en el que todos los naturales sean estándar.

Más intuitivamente, el ser [texx]\omega[/texx]-contradictoria quiere decir que hay una fórmula que es demostrable para todos los naturales "estándar" (esto es un abuso de lenguaje, porque de estándar o no estándar sólo podemos hablar en un modelo, nunca sintácticamente, pero intuitivamente se entiende) , pero refutable para algún natural. Claramente, esto no lo puede satisfacer ningún modelo donde sólo haya naturales estándar.

Saludos

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