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Autor Tema: Duda con demostración del teorema de la función inversa (Spivak)  (Leído 323 veces)
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Tanius
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« : 15/11/2010, 10:46:49 pm »

Hola. No entiendo unas cosas que tiene la demostración de dicho teorema del Cálculo en variedades de Spivak. Agradecería si alguien me las explica.

Antes de empezar la demostración Spivak prueba un lema:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Enunciado del teorema: Sea de clase , con abierto y y entonces existen y abiertos tales que , y tiene inversa diferenciable y para todo satisface

.

Demostración (no copiaré toda). Sea la aplicación lineal (la diferencial de en ), que es no singular, ya que . Se tiene luego es la aplicación lineal idéntica.

Si el teorema es cierto para es evidentemente cierto para . Por tanto se puede suponer desde el principio que es la identidad. ¿Por qué es cierto para ? ¿Por qué es la identidad?

...

Como es de clase tenemos para todo y .

Obsérve que lo anterior y el lema del spoiler aplicado a implica para que

.

Este es la parte que menos entiendo. Para aplicar el lema necesitamos de un que cumpla . Por insepección noto que Spivak tomó . ¿Es decir que ? ¿Por qué?


Un saludo. Gracias!
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el_manco
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« Respuesta #1 : 16/11/2010, 06:12:19 am »

Hola

Cita
Si el teorema es cierto para es evidentemente cierto para . Por tanto se puede suponer desde el principio que es la identidad. ¿Por qué es cierto para ? ¿Por qué es la identidad?

Veamos que si el teorema es cierto para la función entonces es cierto para la función .

Nota que:

i) . Así que si y sólo si .

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

ii) Lo anterior implica que si se cumplen las hipótesis del teorema para f, se cumplen para F y como suponemos que entonces es cierto, existen abiertos tales que, , tiene inversa diferenciable y .

iii) Pero de lo anterior, como y es biyectiva diferenciable con inversa diferenciable, tenemos que: tiene inversa , diferenciable por ser composición de diferenciables. Además es abierto por ser imagen de un abierto por un homemomorfismo. Finalmente:







Por otro lado no te están diciendo que se la identidad, si no que podemos ceñirnos al caso en el que es la identidad que no es lo mismo. Fíjate que de lo anterior hemos deducido que basta probar el teorema para . Pero es que recuerda que y:



De todas formas mas allá del formalismo que justifica todo esto, es más importante que captes la idea; si queremos probar que una función tiene inversa diferenciable, el componer con un difeomorfimso (aplicación biyectiva diferenciable con inversa diferenciable) no modifica la existencia de inversa ya que el difeomorfismo nos permite "ir en las dos direcciones manteniendo diferenciabilidad y biyectividad". Dicho de otra manera un difeomorfismo respeta cualititaivamente cualquier propiedad relativa a la diferenciabilidad.

Saludos.
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el_manco
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« Respuesta #2 : 16/11/2010, 06:23:59 am »

Hola

Cita
Este es la parte que menos entiendo. Para aplicar el lema necesitamos de un que cumpla . Por insepección noto que Spivak tomó . ¿Es decir que ? ¿Por qué?

Tienes que:

(ya que la diferencial de la aplicación identidad en cualquier punto es la identidad).

Pero estás suponiendo que por tanto:



Saludos.
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Tanius
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« Respuesta #3 : 16/11/2010, 05:13:57 pm »






Tengo duda con esto. A mí me definieron como la matriz de representación de cuando ésta existe. La regla de la cadena dice, con las hipótesis necesarias que . Donde el punto de en medio es el producto matricial.

Pero tú escribes

¿Cómo obtienes esta igualdad? ¿Compones las matrices? ¿Por qué ?

Y por último tampoco entiendo la última igualdad: . ¿Por qué ?


Por lo demás, muchísimas gracias, manco, te explicas muy bien.  :sonrisa_amplia:
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el_manco
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« Respuesta #4 : 16/11/2010, 06:27:09 pm »

Hola

 Bien yo en realidad no distingo demasiado (abuso de notación) de la diferencial y de su matriz: esencialemente son la misma cosa. Además componer dos aplicaciones lineales equivale a multiplicar sus matrices asociadas.

 Así que simplemente cambia mis "composiciones" por productos.

 Ten en cuenta además que es una aplicación lineal por tanto su diferencial en todo punto es ella misma. Lo mismo para su inversa. Por eso:



 A su matriz asociada le llamo también .

 Ahora, esto:



 es exactamente esto:



 sin como te digo cambias "componer" por multiplicar.

 Por último tenemos que:

 

 De ahí:

 

 y:

 

 Aplícalo para .

Saludos.
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