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Autor Tema: Estabilidad de puntos periódicos.  (Leído 3160 veces)
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ismael4790
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« : 07/11/2010, 05:16:54 pm »

Hola. A ver si podéis ayudarme con esta demostración.

Debo probar que la definición y la propiedad siguientes son equivalentes:

Dado [texx]x_o[/texx], punto periódico de orden k de [texx]f[/texx] , donde [texx]f[/texx]  es una función continua de R en R;

Definición: Diremos que [texx]x_o[/texx] es L-estable si es L-estable como punto fijo de [texx]g=f^k[/texx], es decir
 [texx]\forall{\epsilon>0}[/texx] [texx]\exists{d>0}[/texx] / si [texx]|x-x_o|<d[/texx] [texx]\rightarrow{}[/texx][texx]|g^m(x)-x_o|<\epsilon[/texx] [texx]\forall{m}\in{N}[/texx]

Propiedad: [texx]x_0[/texx] periódico de orden k de [texx]f[/texx] es L-estable si [texx]\forall{\epsilon>0}[/texx] [texx]\exists{d>0}[/texx] / si [texx]|x-x_0|<d[/texx] [texx]\rightarrow{}[/texx] [texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon[/texx] [texx]\forall{m}\in{N}[/texx]

Tengo probado que 'Propiedad' implica 'Definición'. Es en la otra implicación en la que necesitaría vuestra ayuda.
Muchas gracias :sonrisa:
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León
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« Respuesta #1 : 07/11/2010, 05:38:18 pm »

Hola Ismael,

Supongamos que f cumple la definición.
Para todo [texx]\epsilon>0[/texx], llamemos [texx]\delta(\epsilon)[/texx] a un número positivo tal que [texx]\forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon[/texx].
También llamemos [texx]d_j(\epsilon)[/texx] a los números positivos tales que [texx]|x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon[/texx] -estos números existen porque [texx]f[/texx] (y por lo tanto las [texx]f^j[/texx]) es continua en [texx]x_0[/texx].

Ahora muestra que [texx]\displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\}[/texx] puede ser el d que menciona la propiedad.

(Un detalle, es preferible que las fórmulas en latex las escribas todas de corrido, antes que abrir y cerrar los tags [tex][/tex] muchas veces en la misma).

Saludos.

Perdón, publiqué esto originalmente con varios errores -todo mal, bah- que corregí al releer.
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ismael4790
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« Respuesta #2 : 07/11/2010, 07:36:31 pm »

Hola León, y gracias por tu respuesta.

A ver si lo he entendido.
Cita
Para todo [texx]\epsilon>0[/texx], llamemos [texx]\delta(\epsilon)[/texx] a un número positivo tal que [texx]\forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon[/texx]. (*)

Aquí puedo considerar que [texx]\delta(\epsilon)<\epsilon, [/texx]¿verdad?
Cita
Ahora muestra que [texx]\displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\}[/texx] puede ser el d que menciona la propiedad.
Por ser [texx]d(\epsilon)[/texx] ese mínimo, es el menor de todos los [texx]\delta(d_j(\epsilon))[/texx], y por lo anterior, también menor que todos los [texx]d_j(\epsilon)[/texx]

Ahora, queremos ver si [texx]|x-x_0|<d(\epsilon)\Rightarrow |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon[/texx].
Si [texx]m\leq{}k[/texx], entonces como [texx]d(\epsilon)<d_j(\epsilon) \forall{j}[/texx],tendríamos por lo siguiente:

Cita
[texx]|x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon[/texx]
que [texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon[/texx].


Por otro lado, si [texx]m>k[/texx], entonces [texx]m=qk+r[/texx] con [texx]r<k[/texx] y  [texx]q>0[/texx].

Tenemos [texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^{kq}(f^r(x))-f^{kq}(f^r(x_0))|=|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))|[/texx]

Ahora, [texx]r<k[/texx].Denoto [texx]\epsilon'=\delta(\epsilon)[/texx] y [texx]d(\epsilon')=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon'))\}[/texx]

Como[texx]|x-x_0|<d(\epsilon')[/texx], entonces [texx]|f^r(x)-f^r(x_0)|<\epsilon'[/texx]

Ahora, como [texx]|f^r(x)-f^r(x_0)|<\epsilon'=\delta(\epsilon)[/texx], por (*) se tiene que [texx]|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))|<\epsilon[/texx]

Luego [texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon[/texx] [texx]\forall{m}\in{N}[/texx]

(Creo que el caso [texx]m\leq{k}[/texx] podría incluirse en el anterior, con [texx]q=0[/texx] )

Si ves algún error,indícamelo, por favor.
Gracias de nuevo :guiño:
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León
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« Respuesta #3 : 07/11/2010, 08:03:50 pm »

Cita
Para todo [texx]\epsilon>0[/texx], llamemos [texx]\delta(\epsilon)[/texx] a un número positivo tal que [texx]\forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon[/texx]. (*)

Aquí puedo considerar que [texx]\delta(\epsilon)<\epsilon, [/texx]¿verdad?

Tienes razón, eso tendría que haberlo aclarado. Queda así si consideras que también debe valer la implicación cuando j=0.

No me queda del todo claro que esté bien el final de tu razonamiento aunque te aproximas bastante.

Cita de: ismael4790
Cita
Ahora muestra que [texx]\displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\}[/texx] puede ser el d que menciona la propiedad.
Por ser [texx]d(\epsilon)[/texx] ese mínimo, es el menor de todos los [texx]\delta(d_j(\epsilon))[/texx], y por lo anterior, también menor que todos los [texx]d_j(\epsilon)[/texx]

Ahora, queremos ver si [texx]|x-x_0|<d(\epsilon)\Rightarrow |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon[/texx].
Si [texx]m\leq{}k[/texx], entonces como [texx]d(\epsilon)<d_j(\epsilon) \forall{j}[/texx],tendríamos por lo siguiente:

Cita
[texx]|x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon[/texx]
que [texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon[/texx].

Hasta aquí todo bien.

Cita de: ismael4790
Por otro lado, si [texx]m>k[/texx], entonces [texx]m=qk+r[/texx] con [texx]r<k[/texx] y  [texx]q>0[/texx].

Tenemos [texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^{kq}(f^r(x))-f^{kq}(f^r(x_0))|=|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))|[/texx]


No está mal pero yo armaría la composición al revés, porque armándola así no veo cómo seguir (y me parece que te embrollas también):

[texx]|f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^r(g^q(x))-f^r(g^q(x_0))|[/texx]

De esta manera se puede razonar así: si [texx]|x-x_0|<d\leq\delta(d_r(\epsilon))[/texx] entonces [texx]|g^q(x)-g^q(x_0)|<d_r(\epsilon)[/texx] y entonces, [texx]|f^r(g^q(x))-f^r(g^q(x_0))|<\epsilon[/texx]

Un abrazo.
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León
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« Respuesta #4 : 07/11/2010, 08:15:05 pm »

En realidad releyendo lo que hiciste me parece entenderlo, y no está mal. No estás siguiendo exactamente el plan que te propuse (que es lo que yo hago en el mensaje anterior) pero lo que dices es una alternativa perfectamente válida y no te embrollas nada -aunque sí se podría simplificar un poquito el razonamiento para hacer mas fácil la lectura.

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ismael4790
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« Respuesta #5 : 08/11/2010, 10:44:15 am »

En realidad releyendo lo que hiciste me parece entenderlo, y no está mal. No estás siguiendo exactamente el plan que te propuse (que es lo que yo hago en el mensaje anterior) pero lo que dices es una alternativa perfectamente válida y no te embrollas nada -aunque sí se podría simplificar un poquito el razonamiento para hacer mas fácil la lectura.

Ok. De todos modos me quedo con tu versión, que me parece más clara.  :sonrisa_amplia:

Gracias por todo, especialmente por la idea del primer mensaje, que me sacó del atolladero.
Antes, lo había intentado demostrar de otras maneras, y ninguna me daba resultado.

Un saludo.
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