Construcción de Subgrupos Normales

[elias0612]

Hola ¿ Tengo este ejercicio  ya lo había propuesto pero con un grupo cualquiera pero hoy es un grupo finito, me pueden ayudar a crear  este grupo y a demostrar si cumplen? Se los voy agradecer.   

Construir un grupo  finito tal que tenga un subgrupo normal  y tenga un subgrupo normal (esto  es,) y que sin embargo no sea subgrupo normal de .
 

[J. H. Stgo]

La respuesta a esa pregunta te la da el grupo de simetrías del cuadrado, . Ese grupo tiene un subgrupo M de orden 2 que no es normal en , pero que es subgrupo de un subgrupo N de orden 4. Como se cumple la normalidad de N en y la de M en N.

Si la memoria no me falla, puedes encontrar la retícula completa de subgrupos de en uno de los primeros capítulos del libro de Fraleigh. Suerte.

[Jorge klan]

Hola

Acá el_manco te había dejado un enlace donde muestran ejemplos para ambos casos (finito e infinito).

 En ese caso mira por aquí:

http://planetmath.org/encyclopedia/NormalityOfSubgroupsIsNotTransitive.html

Ahí aparece lo que menciona J.H. Stgo. Era cosa de seguir leyendo...


Saludos 

[elias0612]

Hola Gracias a todos por el aporte pero estuve pensando en estos grupos que me dicen cumplen con lo  propuesto en el ejercicio donde N  esta generado por abeliano  y  G generado porycualquier corrección me la pueden proponer saludos.

[Jorge klan]

Hola Gracias a todos por el aporte pero estuve pensando en estos grupos que me dicen cumplen con lo  propuesto en el ejercicio donde N  esta generado por abeliano  y  G generado porycualquier corrección me la pueden proponer saludos.

¿cómo justificas que éstos son finitos?. 

[elias0612]

Ese es el problema no pensé  en eso mmmmm,  pero se G esta formado por las Permutaciones    de sus elementos. cumple mmm.

[Jorge klan]

Ese es el problema no pensé  en eso mmmmm,  pero se G esta formado por las Permutaciones    de sus elementos. cumple mmm.

mmm... a ver, por lo que entiendo, pretendes trabajar con grupo libres, los cuales son grupos con el producto "yuxtaposición". Los elementos son palabras, las cuales formas con el conjunto . Algunos ejemplos de elementos de son: etc. Notas entonces que estos grupos son infinitos, incluso si ponemos .

Conclusión, te falta agregar algunas relaciones que "frenen" estos grupos. Por ejemplo uno puede considerar , donde es una relación, la cual obliga al grupo "frenarse" en un instante.

Mira la presentación del grupo en el enlace que pone el_manco, ahí tienes un ejemplo concreto de un grupo finito que cumple tales condiciones. Si quieres construirte otro, deberás pensar en las "relaciones", lo cual no es trivial.   

[elias0612]

Gracias por todo Jorge  esta como complicado construir uno saludos seguiré pensando.....

[J. H. Stgo]

Repitiendo mi post anterior...

tiene la siguiente presentación



Toma entonces a . Por el criterio del índice mencionado en mi mensaje previo tienes que N es normal en , M es normal en N y, sin embargo,  M no es normal en el grupo "completo".