Dados dos conjuntos de polinomios encontrar grupos con estos.

[aprendizmatematico]

Se consideran los conjuntos de polinomios:
  ,

(a) Decide si las siguientes estructuras son grupos y si son conmutativos:
     

(b) Para cada uno de los grupos encontrados responde a las siguientes preguntas:
     i. ¿Es isomorfo a un producto de grupos cíclicos? ¿A qué producto?
     ii. ¿Es isomorfo a algún grupo de permutaciones ? ¿A cual?

Muchas gracias!
 

[el_manco]

Hola

 ¿Qué has intentado?

 El (a) no es más que aplicar la definición de grupo; como sabemos que la suma, producto y composición de funciones (cualquiera de esas tres operaciones) dotan a las funciones de estrucutra de grupo, puedes limitarte a comprobar si tus subconjunto son subgrupos con esas operaciones.

 Debe de salirte que el pimero lo es conmutativo; el segundo no es grupo; y tercero y cuarto son grupos (creo no conmutativos, pero esto último no lo he comprobado al 100%). El tercero, como apunta Jorge no lo es. 

 Para el (b) ten en cuenta que tiene nueve elementos y seis.

 Eso te da la pista para saber que candidatos grupos cíclicos, producto de cíclicos o permutaciones pueden ser isomorfos a tus grupos. Ten en cuenta además que los cíclicos son conmutativos pero el de permutaciones no.

 Intenta algo con estas ideas; indica dónde comienzan tus dificultades.

 Nota además, que dependiendo de los resultados previos que manejes, la justifiación de ciertos pasos en la resolución del ejercicio puede ser más o menos rápida.

Saludos.

CORREGIDO

[Jorge klan]

mmm.... el tema me parece conocido.

La segunda ¿no será ?. Si   denota la compuesta de funciones, entonces no es grupo; la fución nula no tienes inverso.


Saludos

[el_manco]

Hola

mmm.... el tema me parece conocido.

La segunda ¿no será ?. Si   denota la compuesta de funciones, entonces no es grupo; la fución nula no tienes inverso.

Gracias Jorge; no me había fijado en el detalle del inverso de las funciones constantes. La segunda si es . aprendizmatematico colocó un punto centrado del mapa de caracteres que LaTeX interpreto como Delta mayúscula.

Saludos.

[titin]

¿Por qué tiene 9 elementos y tiene 6?

Muchas gracias.

[el_manco]

Hola

 ¿Sabes lo qué es ? ¿Cuántos elementos tiene?.
 
 Una  vez que sepas responder a esas preguntas, ten en cuenta que los elementos de se construten eligiendo un par de elementos de .

Saludos.

[titin]

tiene los elementos 0,1,2.

[el_manco]

Hola

 Bien. Pues entonces tiene tres elementos.

 Ahora como te dije ten en cuenta que los elementos de se construyen elegiendo un par de elementos de .

 ¿Conclusión?.

Saludos.

[titin]

Lo siento,no veo que tenga 9 elementos.

[titin]

Y en yo diría que tiene 5 elementos en el 1 y el 2 y en el 0,1 y 2.

[el_manco]

Hola

 No. Por cada posible elemento que eliges en tienes tres opciones para elegir el de . Por tanto posibilidades.

 Escribe explícitamente todos los elementos para que te quede claro.

Saludos.

[titin]

Serían (1,2)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(2,2) no?

Pero la parte b no se como hacerla,porque no sé lo que me pide claramente.

[titin]

¿Cómo puede comprobar que es grupo?
¿Cuál es la función nula de ?

Gracias.

[Jorge klan]

Hola

Serían (1,2)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(2,2) no?

Trata de adaptarte al problema

¿Cómo puede comprobar que es grupo?

Sólo debes mirar la definición de grupo e ir comprobando cada item:

1) Cerrado: sean . Nota que



Para que únicamente debes verificar que (recuerda que )

Asociativa: Sean . Comprueba que



para todo .

Neutro: Prueba que es el elemento neutro.

Inverso: Dado , comprueba que es el inverso de

¿Cuál es la función nula de ?

la función nula es . Nota que esta función es el elemento neutro de

Pero la parte b no se como hacerla,porque no sé lo que me pide claramente.

Dinos que entiendes por isomorfismo y grupo cíclico. Es un poco complicado ayudarte si no conoces bien estos conceptos.


Saludos

[titin]

¿Y por que la función nula de tiene inverso y la función nula no tiene inverso?

Un grupo cíclico es si existe un elemento en el grupo cuyas potencias dan todos los elementos del grupo.

Isomorfismo no lo tengo muy claro,pero creo que es que dos grupos tengan los mismos elementos,coincidan en el orden.

[Jorge klan]

¿Y por que la función nula de tiene inverso y la función nula no tiene inverso?

El inverso de un elemento en es de la forma y nota que éste existe sin importar los valores de y en

En cambio, el elemento inverso de en es de la forma . Nota que NO es invertble en , es decir, NO existe ¿notas el por qué?. Por esto el elemento inverso de no existe en

[titin]

De acuerdo,muchas gracias.

[failer]

Serían (1,2)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(2,2) no?

Pero la parte b no se como hacerla,porque no sé lo que me pide claramente.

Jorge, creo que chaval queria decir que éstos eran del L0, no del L1, y sino me gustaria que se me explicara el por que L0 tiene 9 elementos porque solo se me ocurren las posibilidades 1,2 1,0 2,1 2,0 0,1 y 0,2. aparte, se supone que a y b son distintos, la posibilidad de 2,2 y 1,1 no serian posibles no? O a y b pueden ser el mismo valor de Z3?

y saludos a la gente del cps 

[Jorge klan]

Jorge, creo que chaval queria decir que éstos eran del L0, no del L1, y sino me gustaria que se me explicara el por que L0 tiene 9 elementos porque solo se me ocurren las posibilidades 1,2 1,0 2,1 2,0 0,1 y 0,2. aparte, se supone que a y b son distintos, la posibilidad de 2,2 y 1,1 no serian posibles no? O a y b pueden ser el mismo valor de Z3?

1) Por lo que entiendo, titin está respondiendo a la pregunta de el_manco:

Hola

 No. Por cada posible elemento que eliges en tienes tres opciones para elegir el de . Por tanto posibilidades.

 Escribe explícitamente todos los elementos para que te quede claro.

Saludos.

2) Definen del siguiente modo:



Teniendo en cuenta que es el conjunto , tenemos



¿está claro?

3) No sé por qué dices que es distinto de , ¿dónde lo indican?. Lo único que dicen es que y



Saludos

[failer]

pensé que a y b tendrían que ser distintos valores de , como hasta ahora cuando hay 2 letras que son distintas se supone que los valores que tendrían serían distintos también,  pero si no es el caso entonces me salen los 9 elementos de o eso creo.

gracias jorge

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