Longitud de un segmento

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Knecktical:
Para una curva [texx](x,y(x)),[/texx] sea [texx]T[/texx] el punto de intersección de la recta tangente a la curva en el punto [texx]P(x,y)[/texx] con el eje [texx]OX[/texx] y sea [texx]L_T(x)[/texx] la longitud del segmento [texx]PT.[/texx] Probar que [texx]L_T(x)=\left|\dfrac{y(x)}{y'(x)}\right|\sqrt{1+y'(x)^2}.[/texx]

Tengo una idea del bosquejo, intenté aplicar Pitágoras pero no me resultó.

Cualquier ayuda se agradece!

aladan:
Hola

Tenemos la curva [texx]y=f(x)[/texx] y un punto genérico de ella [texx]P(x,y(x))[/texx] para evitar complicaciones con las notaciones a este punto genérico vamos a identificarlo como [texx]P(x_p,y_p)[/texx]

La recta tangente en ese punto responde a la ecuación

                            [texx]L\equiv{y-y_p=y^{\prime}(x_p)(x-x_p)}[/texx]

que corta al eje X en [texx]T(x_T,0)[/texx]

                         [texx]x_T=-\displaystyle\frac{y_p}{y^{\prime}(x_p)}+x_p[/texx]

la longitud del segmento [texx]PT=\sqrt{(x_p-x_T)^2+y^2_p}=\sqrt{\displaystyle\frac{y_p^2+y^{\prime}^2(x_p)}{y^{\prime}^2(x_p)}}=\left |\displaystyle\frac{y_p}{y^{\prime}(x_p)}\right |}\sqrt{1+y^{\prime}^2(x_p)}[/texx]

retomando la notación genérica de P, tienes la expresión que querias demostrar.

             [texx]PT=\left |\displaystyle\frac{y(x)}{y^{\prime}(x)}\right |}\sqrt{1+y^{\prime}^2(x)}[/texx]

Saludos

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