Probar ínfimo

[telu]

Hola. ¿Me podrían dar una idea de como probar el ínfimo en ejercicios como este?

5.(2n^2 + n + 3/2)^-1

Sé que el ínfimo es 0. El tema es cómo probarlo.

Muchas gracias

[Tanius]

Usa latex, porque no entiendo qué cosa intentaste escribir. 

[Jorge klan]

hola

5.(2n^2 + n + 3/2)^-1

entiendo que quisiste poner: Sea



Encontrar

Recuerda la siguiente proposición: es infimo de si y sólo si

1) es cota inferior y además satisface

2)

Saludos

PD: Te sugiero que mires el tutorial de Latex para que edites bien tus fórmulas y sean entendibles por los amigos del foro

[Tanius]

entiendo que quisiste poner es: Sea

Hmm, una forma más rápida que se me ocurriría es decir que como la sucesión converge a , es decreciente y acotada inferiormente, el ínfimo debe ser . Aunque quién sabe si ya conozca ese teorema.

[telu]

Gracias Jorge Klan. Esa es la expresion intente poner. Prometo leer el tutorial, solo que ahora estoy medio apretado con el tiempo. Disculpen la molestia de la mala escritura.

Los pasos que me enseñaros son:
1) Probar que 0 es una cota inferior.
2) Luego por definicion, el infimo sera mayor o igual a 0.
3) Probar via absurdo que el infimo no es mayor que 0. Luego el infimo es igual a 0

El paso 3) es relativamente facil cuando se puede despejar "n". Pero en este coso no puedo.

Agradecere que me muestren como hacerlo.

saludos

[Tanius]

Supongamos que existe dicho ínfimo tal que    .

Pero como para todo natural entonces para todo , lo cual contradice la propiedad arquimediana.

[telu]

Gracias Tanius.
Disculpame pero no entiendo por que contradice la propiedad arquimediana ( te referia al la que dice:
\varepsilon > 0 entonces existe un natural "n" tal que \frac{1}{n} < \varepsilon )

[Tanius]

Gracias Tanius.
Disculpame pero no entiendo por que contradice la propiedad arquimediana ( te referia al la que dice:
entonces existe un natural "n" tal que )

Bueno, la propiedad arquemediana dice que para todo y existe un número natural tal que . En consecuencia si , tenemos que para cualquier número real , existe algún número natural que "lo rebasa" (esto quiere decir que los números naturales no son acotados superiormente.)

Pero si sucediera que para todo , tendríamos que es cota superior de los números naturales.

[telu]

Ahora entendi perfecto. Muchas gracias.

Saludos

[Elvio Lento]

Hola Tanius

1) como sabes que 0 es el ínfimo. Dónde lo demostrastes? claro que 2) es la demostración que vale 0, pero cómo salio?

2)

Supongamos que existe dicho ínfimo tal que    .

Pero como para todo natural entonces para todo , lo cual contradice la propiedad arquimediana.

Para que haces esa suposición que quieres. Ojo supongo que al decir

   

quieres llegar a que es cero? estoy en lo cierto?

[Jorge klan]

Hola

Mi propuesta fue por lo siguiente:

1) Como para todo se tiene que es una cota inferior de

2) Lo que debes probar es que para todo existe tal que , es decir, debes probar que para todo existe tal que

o equivalentemente





Como , la propiedad arquimediana te asegura que existe tal que  , pero nota que

¿Puedes concluir?

saludos

[Tanius]

1) como sabes que 0 es el ínfimo. Dónde lo demostrastes? claro que 2) es la demostración que vale 0, pero cómo salio?

¿Con 1) te refieres a la deducción utilizando límites? Si es así, mejor olvida esa demostración, que aunque es válida, supongo que que la que el profe quiere es la otra que puse o la que realizó Jorge.

Para que haces esa suposición que quieres. Ojo supongo que al decir

Por la observación que hizo telu en la respuesta 4, se tiene que el ínfimo debe ser necesariamente mayor o igual que . Pero nosotros queremos demostrar que es . Así que razonando por reducción al absurdo suponemos que el ínfimo ...

[telu]

Muchas gracias Jorge.