La propiedad que escribiste es equivalente a decir que los números naturales no son acotados superiormente.
Supongamos que sí fueran acotados superiormente por algún número
. En vista de que
es no vacío, tenemos que
tiene supremo, llamémoslo
. Por un conocido teorema, sabemos que
.
Tomemos
. Es claro que entre
y
a lo más puede haber un natural. Como los naturales son un conjunto inductivo, necesariamente
. Y dado que
es el supremo tenemos
. Lo cual es absurdo.
Saludos
