Propiedad cancelativa

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telu:
Hola.
Estoy leyendo el libro "Calculo diferencial e integral" de Ricardo Noriega. Este libro define los Reales axiomaticamente de la siguiente manera:
1. presenta los 9 axiomas. 4 para la suma, 4 para el producto y la prop. Distributiva.
2. presenta 4 propiedades de orden.
3. demuestra la porpiedad cancelativa de la suma y el producto y otra propiedades mas.
La demo de la Prop. cancelativa es:
Tesis: a+c=b+c entonces es a=b. Para todo a,b,c real
demo:
a+c=b+c
a+c+(-c)=b+c+(-c)
.....
Aqui me surge la siguiente duda:¿Qué derecho tengo a sumar un numero  (-c) a ambos miembros. Ninguna de los 13 axiomas (que es todo los que puedo suponer sobre los reales) avalan esto. Segun mi opinion, para poder hacer esto deberia tener probada (o como axioma) una propiedad similar a la cancelativa: si a=b entonces es a+c=b+c para todo a,b,c real.
escucho opiniones.
Muchas gracias desde ya.
Saludos.

feriva:


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Hola, Telu. ¿No te habla, antes de eso, del elemento simétrico y el elemento neutro? es el simétrico de , y , donde "e" es el elemento neutro. Eso es lo que avala la demostración.

Saludos.

telu:
Gracias por tu respuesta feriva.
Me parece que no entendiste bien lo que planteo: lo que yo digo es que no se puede sumar un numero a abmos miembros porque no hay ninguna propiedad que avale esto.
Saludos

Jorge klan:
Hola

Cierto telu a partir de los axiomas, es raro sacar eso de ahí... tal vez era algo así:  Si utilizas los axiomas de existencia de elemento neutro e inverso con la suma y además la aociatividad, se tiene:



Saludos

Óscar Matzerath:
Hola,

Efectivamente lo que preguntas se deduce de los axiomas, pero no por los axiomas de los reales, sino por unos axiomas más fundamentales: los axiomas de la lógica de primer orden con igualdad. Estos axiomas son unos axiomas básicos necesarios para construir cualquier tipo de teoría matemática, que no se explícitan normalmente porque ya se sobreentienden. Si tienes curiosidad, los puedes ver en cualquier libro de lógica matemática. En particular a partir de estos axiomas "ocultos" puedes demostrar que si a+c=b+c, entonces a+c+(-c) =a+b+(-c) que es el paso en que dudabas.

Dejando aparte todas estas consideraciones, que eran para dejar claro que el sumar lo mismo a ambos lados de la igualdad sí está justificado por los axiomas de la lógica, a mí personalmente me parece más elegante la solución de Jorge Klan.

Saludos

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