Método de coeficientes indeterminados

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pepa:
1) Use el método de coeficientes indeterminados para determinar una función tal que: con . ¿Es la función determinada única?

Hola a todos ! les cuento que estoy comenzando con ecuaciones diferenciales , y mi duda es con este ejercicio, pues por lo que he estudiado, el método de coeficientes indeterminados se aplica a ecuaciones de segundo orden y mayores. ¿Cómo puedo resolver este ejercicio?. Muchas gracias !

cristian25m:
La ecuación diferencial se  puede escribir de la forma:, es de coeficientes constantes, pero es una ecuación diferencial lineal de primer orden, el método de coeficientes indeterminados se usa para ecuaciones de orden superior. Pero, supongo que debe poder aplicarse acá también. Si te acordas, la solución general de una ecuación completa se podía escribir como la suma de una solución particular  más la solución general de la ecuación homogénea asociada (o sea de la incompleta). Entonces primero se busca la solución general de la homogénea asociada, es decir, de la ecuación diferencial . Para eso se buscan las raíces del polinomio característico, para este caso es . La raíz es. La solución general tiene la forma   Para este problema sería  .
 Después se supone que la solución particular tiene la forma de la función que que aparece en el segundo  miembro. O sea se supone que la solución particular es un polinomio de primer grado.  Es decir,  ,
Se deriva y se reemplaza en la ecuación diferencial:

Reemplazando e :

de donde se comparan los coeficientes de ambas funciones lineales  y resulta:


. O sea que la solución particular tiene la forma:
Entonces la solución general   es
Con las condiciones iniciales se determina . Como :
 , de donde .
Entonces la solución que cumple esas condiciones iniciales es y=ex-x-1
 
Yo lo resolví usando el método de ecuaciones lineales y me da lo mismo, no sabía que el de coeficientes indeterminados se utilizaba para ecuaciones de primer orden. A mi me resulta más fácil  usando el método de lineales, sólo hay que reemplazar  los datos en la fórmula.

 
 Espero que se entienda. Saludos

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