¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

[Carlos Ivorra]

¿Tiene dominio e imagen en ?

Sí.

¿Se puede decir, en ese caso, que es un conjunto de partes?

No. No existe ningún conjunto tal que . Si fuera finito, también lo sería, y si fuera infinito entonces sería no numerable.

Si no, ¿cómo podría tener imagen en la función dicha cualquier elemento menor o igual que ?

¿Puede haber acuerdo hasta aquí?

¿En que sea un conjunto de partes? No, por supuesto que no. Eso es refutable en ZFC (lo acabo de probar).

La cuestión es, ¿puedes encontrar una aplicación biyectiva? Leyendo tu argumento no encuentro esa biyección en ningún sitio.

Esto va luego

Pues sigo a la espera.

[Jabato]

Una pregunta más, tan solo una por aclarar mis ideas, y la pregunta es en principio para Ivorra, aunque el debate es público por supuesto y todos pueden opinar. ¿Los conceptos intuitivos, en tu opinión, aparecen en nuestra mente como consecuencia del proceso de abstracción ó crees que son innatos, que ya están ahí cuando nacemos?

Creo que la respuesta correcta es la primera, pero me gustaría oir la tuya. Si puedes ser breve y conciso te lo agradecería.

Saludos, Jabato.

[Garubi]

No. No existe ningún conjunto tal que . Si fuera finito, también lo sería, y si fuera infinito entonces sería no numerable.

¿Puede haber acuerdo hasta aquí?

¿En que sea un conjunto de partes? No, por supuesto que no. Eso es refutable en ZFC (lo acabo de probar).

Aquí hay una cuestión de fundamentos, creo que ajena a la lógica interna (si la tiene) de ZFC.

Yo afirmo que ZFC es inconsistente.
No hay más prueba de inconsistencia, clásicamente, que probar un aserto y su negación, en el seno de la teoría.
Si ZFC es inconsistente, tu refutación de que es un conjunto de partes, no tiene por qué ser cierta.
Tú tiras con la polvora de ZFC, pero, ¿es lícito, si la consistencia de ZFC es el sujeto a juicio?

Supongamos que es el mega aserto que se construye con la conjunción de todos los axiomas oficiales (los que llevan la V al principio -y en principio-) y teoremas ciertos de ZFC.
¿Qué ocurre si es el teorema que reza "b y no b"? Entonces tenemos . ¿No?

Ítem más: ¿Y si, abundando, es tu demostración y su negación?
Entiendo que hay que actuar clásicamente, y poner unos axiomas al principio, los llamados axiomas de ZFC, y poner el teorema de Cantor después y considerarlo una derivación posterior, para poder refutarlo.
Si no actuamos así, no creo que se pueda refutar nada en ninguna teoría.

Percibo ZFC como el blindaje del contrato de un alto ejecutivo: ZFC y sistemas afines son el contrato, y el alto ejecutivo sus partidarios.
Alguna justicia habrá en el contrato, pero porque lo desarrolló un bufete.

Un saludo.

[Cristian C]

Si me permites Jabato, y al margen de lo que te responda Carlos, puedes entrar a su sitio y dentro del apartado de Filosofía, ingresar al capítulo 3: Intuición Donde se aclara este punto y nos permite, además ponernos en sintonía con los conceptos y el lenguaje que él está utilizando en este tema. No es muy extenso.

Personalmente, creo que en un debate que se pregunta dónde podemos fundar la matemática, elucidar qué es exactamente la intuición y de donde nos ha venido, es vital. Pienso esto proque en el fondo creo que la matemática debe (y solo puede) fundarse en la intuición.

La estructura conceptual que utiliza Carlos es más precisa y completa que la que yo manejaba y permite plantear con mayor claridad algunas cuestiones como ser ¿Cuan contingente o universal es esa intuición y cuan contingentes o universales los sistemas formales que se puede construir desde allí? Peo no me quiero explayar todavía.

Saludos.

[Jabato]

Pues no sé si recuerdas que fuí yo quien os recomendó esa misma lectura no hace muchos mensajes, incluso antes de que C. Ivorra hiciera su aparición en este debate. ¿Recuerdas? Respuesta #516. Aunque por lo visto no me aprovecho demasiado la lectura, volveré a ello, pero sigue interesándome la repuesta de Ivorra.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Las primeras conclusiones que se sacan de dicha lectura son éstas:

1ª.- El origen de las intuiciónes son las percepciones, es decir que debemos recibir algún tipo de estímulo sensitivo del mundo exterior.

2ª.- Que dichas percepciones deben ser interpretadas, de forma automática, por nuestra mente. A la interpretación que hacemos de ellas le llamamos intuición.

3ª.- No todas las personas damos la misma interpretación al mismo fenómeno.

Os pondré un ejemplo sencillo. Imaginemos que un aborigen australiano, que no ha vivido más que en el desierto, y yo estamos de visita, por primera vez, en la casa nueva de mi hermana que vive con su marido en Barcelona. Y estando departiendo tranquilamente en el salón suena el timbre de la puerta. Los cuatro recibimos la misma percepción, el sonido del timbre, pero ...

a).- El aborigen, que no sabe lo que es eso, y que jamás ha visto ningún timbre ni conoce nuestras costumbres probablemente se asustará pensando que algo ocurre, y quizá se ponga en guardia esperando algún tipo de ataque, pero como no sabe lo que pasa pues no puede interpretar correctamente el fenómeno ni por aproximación.

b).- Yo sospecho lo que pasa, pero como no conozco cual es el sonido del timbre de la puerta, puedo hacer una conjetura y dar una posible interpretación del fenómeno, pero no tengo información suficiente para interpretarlo de forma correcta y solo puedo esbozar alguna conjetura:

 - Parece que llaman a la puerta.

c).- Mi hermana, que conoce perfectamente el timbre de la puerta sabe que alguien ha llamado y está esperando en la escalera a que le abran la puerta. No dice nada pero hace una interpretación correcta del fenómeno y trata de levantarse para ir a abrir.

d) Pero mi cuñado en ese mismo momento dice:
 
- Es mi amigo Paco que viene a traerme un libro que me dejé el otro día en su casa. Y desde luego su mente le transmite de forma inmediata una imagen de su amigo Paco, esperando en el rellano de la escalera con el libro en las manos.

Así pues tenemos cuatro interpretaciones intuitivas completamente distintas del mismo fenómeno.

El secreto de todo el asunto parece estar pues en la "interpretación automática" que hace nuestra mente de nuestras percepciones.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Las primeras conclusiones que se sacan de dicha lectura son éstas:

1ª.- El origen de las intuiciónes son las percepciones, es decir que debemos recibir algún tipo de estímulo sensitivo del mundo exterior.

No necesariamente. Existen intuiciones espontáneas, que no provienen de estímulos externos, como cuando, por ejemplo, me imagino un cubo para contar sus aristas.

2ª.- Que dichas percepciones deben ser interpretadas, de forma automática, por nuestra mente. A la interpretación que hacemos de ellas le llamamos intuición.

Pero aquí hablamos de una interpretación a un nivel básico, el justo para poder describir lo que intuimos de acuerdo con la geometría del espacio y del tiempo.

3ª.- No todas las personas damos la misma interpretación al mismo fenómeno.

"Fenómeno" es una palabra técnica que aquí no es admisible. No llegamos a intuiciones a partir de fenómenos, sino a fenómenos a partir de intuiciones. Si oigo sonar un timbre, a nivel intuitivo sólo puedo decir que he percibido un sonido de tal intensidad, tono, timbre y duración, o que ha sonado siguiendo tal o cual patrón, y que parece proceder de tal o cual dirección. Mi intuición no puede decirme nada más, en particular yo no intuyo que se trata de un timbre (en el sentido de un aparato que sirve para indicar que alguien quiere entrar), ni mucho menos que hay una persona esperando que le abra la puerta.

Os pondré un ejemplo sencillo. Imaginemos que un aborigen australiano, que no ha vivido más que en el desierto, y yo estamos de visita, por primera vez, en la casa nueva de mi hermana que vive con su marido en Barcelona. Y estando departiendo tranquilamente en el salón suena el timbre de la puerta. Los cuatro recibimos la misma percepción, el sonido del timbre, pero ...

Compara (esto está sacado de aquí: http://www.uv.es/ivorra/Filosofia/TC/6.htm):

Si, en general, el pensamiento es más pobre que la intuición cuando trata de competir con ella, no es menos cierto que el pensamiento incorpora a nuestras experiencias mucha más información de la que cabe en una intuición. Supongamos, por ejemplo, que oigo el timbre de mi casa. Si en ese momento estuviera charlando con un nativo de una tribu africana que no supiera nada sobre las costumbres occidentales, él y yo tendríamos la misma intuición, a saber, la de un sonido con unas características determinadas. Su entendimiento y el mío podrían traducir a palabras esa intuición de la misma forma, pero mi entendimiento me diría a mí más que a él, hasta el punto de que, hablando grosso modo, podríamos decir que yo entendería la intuición y él no. Sólo yo podría entender que lo que ha pasado es que "alguien ha llamado al timbre" y que, por consiguiente, que "alguien está esperando que le abra la puerta". Estas dos afirmaciones son de naturaleza muy distinta a la afirmación intuitiva "he oído un sonido" y, a su vez, son muy distintas entre sí. Ninguna de las dos es intuitiva. Los conceptos de "llamar" o "timbre" no son intuitivos.

Para empezar, el sonido que oigo no me informa de su procedencia. Puedo intuir de qué zona proviene, pero no que proviene de un determinado aparato eléctrico que no estoy viendo y que está situado en una habitación cercana (el recibidor de mi casa). La prueba de ello es que es imposible que mi invitado africano pueda deducir todo eso por sí mismo de la intuición que recibe (la misma que recibo yo). Nuevamente estamos ante un mensaje que no puede leerse si no se dispone a priori del código en que está escrito. La "gramática" que necesita el entendimiento para entender las intuiciones es la ciencia, en el sentido más amplio del término, es decir, el conocimiento del mundo. Para reconocer un timbre cuando suena, no basta con tener buen oído; hace falta saber a priori qué es un timbre y, en el ejemplo que estamos considerando, saber que en mi casa hay uno, saber cómo suena, etc.

Pese a todo, es correcto decir que sé que suena el timbre de mi casa porque lo estoy oyendo, es decir, que tengo la experiencia que puede expresarse mediante la afirmación empírica "llaman al timbre". En cambio, no puedo decir lo mismo de "alguien está esperando que le abra la puerta". No tengo ninguna experiencia acerca de este hecho. Esto no lo sé porque me lo muestre la experiencia, sino que lo deduzco racionalmente de mi experiencia "llaman al timbre". Estamos ante un ejemplo de afirmación racional.

La distinción entre intuición, entendimiento y razón es fundamental para orientarse con estas cosas, aunque todo esto que planteas nos mete en la teoría del conocimiento y nos aleja de la fundamentación de las matemáticas, pues ésta sólo depende de nuestra capacidar de representarnos intuiciones puras (no empíricas, no resultantes de interpretar sensación alguna) a priori y de nuestro conocimiento de qué posibilidades admite y cuáles no admite nuestra capacidad de intuición.

Así pues tenemos cuatro interpretaciones completamente distintas del mismo fenómeno.

En absoluto, tenemos cuatro formas de entender una misma intuición. Pero no son equivalentes. De entre todas ellas, una es correcta y las demás están equivocadas. El entendimiento, entendido como la facultad de interpretar las sensaciones que nos llevan, puede separarse a efectos teóricos (sin que ello pretenda ser una afirmación sobre cómo opera realmente nuestro cerebro) en la parte intuitiva, que es la que lleva a interpretar sensaciones como intuiciones (y ahí es raro que haya discrepancias entre seres humanos distintos, salvo que uno esté medio sordo, otro sea ciego, etc.) y el entendimiento propiamente dicho, que es el que trata de interpretar nuestras intuiciones teniendo en consideración nuestro conocimiento sobre el mundo.

Dado que cada cual concibe el mundo a su manera, no es raro que cada cual interprete las intuiciones que percibe a su manera. Entre tales interpretaciones, las habrá descaradamente irracionales, como quien oye un crujido por la noche y lo interpreta como que un fantasma le está visitando, las habrá racionales (en propósito) pero falsas, como la de tu cuñado que predice que es su amigo Paco el que ha llamado al timbre, si al final va y no era Paco, sino el cartero, y luego estará la interpretación racionalmente correcta, que en el caso del timbre será la que cualquier ser racional acepte una vez se haya abierto la puerta y se haya visto quién llamaba realmente.

El secreto de todo el asunto parece estar pues en la "interpretación automática" que hace nuestra mente de nuestras percepciones.

Automática no es buena palabra. Cualquier intuición empírica puede estar equivocada, pero eso no es aplicable a las intuiciones puras, las que no tienen una base exterior, pues es absurdo que yo crea estar imaginándome un triángulo y, por alguna razón, se pueda decir que estaba equivocado, que el triángulo que yo creía estar imaginándome era un cuadrado. Yo puedo ver un objeto cuadrado y, por un error al interpretar la perspectiva, creer que es triangular, pero si me lo estoy imaginando yo, ¿qué sentido tiene decir que puedo estar equivocado?

¿Los conceptos intuitivos, en tu opinión, aparecen en nuestra mente como consecuencia del proceso de abstracción ó crees que son innatos, que ya están ahí cuando nacemos?

Pues lo poco que sé de psicología me hace conjeturar que no hay ningún conocimiento innato, pero eso es irrelevante. Si mañana un psicólogo presentara un argumento científicamente sólido según el cual es irrefutable que existen conocimientos innatos, pues me parecería muy bien, aunque lo veo poco probable.

Con independencia de lo interesante que pueda ser la psicología como ciencia, digo que es irrelevante porque la fundamentación de la matemática no puede depender de la psicología y, en particular, no puede depender de cuál ha sido el proceso biológico o histórico que ha generado mi conciencia. La posibilidad de hablar a priori, por ejemplo, de números naturales se fundamenta en que hoy reconozco en mí la capacidad de concebirlos, no meramente como conceptos formales sin un contenido concreto, sino justo al revés. Y podré transmitir mis conocimientos matemáticos a cualquier ser consciente que en un momento dado disponga de esa misma capacidad, para que cuando yo tenga que apelar a su intuición, dicha facultad de intuir esté presente en él para que pueda comprenderme. El saber cómo y cuando adquirió esa capacidad es irrelevante. Es como si a la hora de usar una calculadora, sin cuestionarme que es una calculadora en perfecto estado de funcionamiento, me planteara cómo, donde y por quién ha sido fabricada. Eso no importa.

Por otro lado, a lo sumo podrían ser innatas (que lo dudo mucho) las características que sigue mi cerebro para interpretar mis sensaciones y concebirlas estructuradamente como intuiciones, pero los conceptos intuitivos, es decir, los conceptos (objetos de pensamiento) con contenido intuitivo, son obviamente aprendidos. Yo no nací sabiendo que existían poliedros regulares de doce caras. Cuando vi mi primera imagen de uno, aprendí el concepto de dodecaedro regular. Antes lo desconocía por completo. A lo sumo podría ser innata (que lo dudo mucho) mi capacidad para intuir dodecaedros regulares (de la que carecería si tuviera una intuición espacial plana, por ejemplo), pero el concepto de dodecaedro regular es obviamente adquirido.

Otra cosa cuestionable es si la palabra "abstracción" es la adecuada para describir la forma en que adquirimos, no ya algunos conceptos intuitivos, sino los criterios básicos para interpretar nuestras intuiciones. Si descifras un mensaje en clave a base de ensayos y errores y terminas descubriendo el código ¿llamarías abstracción al proceso que te ha llevado a conocer el código? No sé si sería afortunado el nombre. (Aunque puedes llamar como quieras a cualquier cosa, por supuesto.)

[Carlos Ivorra]

Discrepo de esto:

Personalmente, creo que en un debate que se pregunta dónde podemos fundar la matemática, elucidar qué es exactamente la intuición y de donde nos ha venido, es vital. Pienso esto proque en el fondo creo que la matemática debe (y solo puede) fundarse en la intuición.

Y de la relevancia de esto:

¿Cuan contingente o universal es esa intuición y cuan contingentes o universales los sistemas formales que se puede construir desde allí?

Respecto a lo primero, imagina que Dios te hubiera creado ayer tal cual eres con todos tus recuerdos y conocimientos y, de algún modo, llegaras a saberlo. Podrías dudar de si tus padres existen realmente o si son un recuerdo ficticio, pero no dejaría de ser igualmente cierto que puedes ver tres rectas perpendiculares dos a dos y que te es absolutamente imposible concebir cuatro en vez de tres. La fundamentación de la matemática en la intuición depende de tu conciencia de lo que puedes y lo que no puedes representarte intuitivamente, y eso no depende de cómo has adquirido o cómo se ha moldeado tu capacidad de intuir. Esto último es psicología (interesante, pero irrelevante a la hora de valorar tus capacidades actuales). No necesitamos basarnos en ningún conocimiento tuyo que pudiera ser falso (como la existencia de tus padres), sino en tu grado de conocimiento actual de qué eres capaz de intuir con tu facultad de intuición tal cual es hoy.

Por eso mismo digo que discrepo de la relevancia de lo segundo. Si por contingencia de la intuición quieres decir que otros seres conscientes podrían tener una intuición distinta o que tú mismo podrías haber acabado con una intuición distinta, eso es irrelevante. Si tu intuición no fuera euclídea, simplemente no podrías entender un libro de geometría euclídea que se apoyara en la intuición. La geometría euclídea sería para ti intuitivamente falsa, ni más ni menos como lo es hoy por hoy para ti la geometría euclídea de cuatro dimensiones. ¿Y qué? Lo único que importa es poseer una intuición suficientemente rica como para que sirva de fundamento a la matemática formal.

[Carlos Ivorra]

Aquí hay una cuestión de fundamentos, creo que ajena a la lógica interna (si la tiene) de ZFC.

Yo afirmo que ZFC es inconsistente.
No hay más prueba de inconsistencia, clásicamente, que probar un aserto y su negación, en el seno de la teoría.

Cierto

Si ZFC es inconsistente, tu refutación de que es un conjunto de partes, no tiene por qué ser cierta.
Tú tiras con la polvora de ZFC, pero, ¿es lícito, si la consistencia de ZFC es el sujeto a juicio?

Yo no creo que la afirmación " no es un conjunto de partes" sea cierta o falsa. Sólo he pretendido afirmar que es un teorema de ZFC. Si quieres probar que ZFC es contradictorio, o bien no te vas a apoyar en tu afirmación de que es un conjunto de partes, en cuyo caso lo que estamos discutiendo es irrelevante, o bien te vas a basar en ello, en cuyo caso tendrás que demostrarlo en ZFC.

Supongamos que es el mega aserto que se construye con la conjunción de todos los axiomas oficiales (los que llevan la V al principio -y en principio-) y teoremas ciertos de ZFC.
¿Qué ocurre si es el teorema que reza "b y no b"? Entonces tenemos . ¿No?

Ítem más: ¿Y si, abundando, es tu demostración y su negación?

No te sigo muy bien, pero parece que estás diciendo que si ZFC es contradictorio se puede demostrar en él cualquier cosa. Vale. ¿Y qué?

Entiendo que hay que actuar clásicamente, y poner unos axiomas al principio, los llamados axiomas de ZFC, y poner el teorema de Cantor después y considerarlo una derivación posterior, para poder refutarlo.
Si no actuamos así, no creo que se pueda refutar nada en ninguna teoría.

Vale. Pero si quieres refutar el teorema de Cantor en ZFC y pretendes apoyarte en que es un conjunto de partes, primero tendrás que demostrar esto en ZFC, pues de lo contrario tu "refutación" no estará en ZFC y no habrás logrado tu objetivo, que era encontrar una contradicción en ZFC.

Percibo ZFC como el blindaje del contrato de un alto ejecutivo: ZFC y sistemas afines son el contrato, y el alto ejecutivo sus partidarios.
Alguna justicia habrá en el contrato, pero porque lo desarrolló un bufete.

Para decir que dudas de ZFC, pareces tener más fe que yo en él. Para mí, no existe, lo cual no tiene nada que ver con que en ZFC se demuestra que no es biyectable con .

[Jabato]

Entiendo, creo, todo lo que me has dicho hasta ahora salvo un párrafo que cito bajo estas líneas:

Otra cosa cuestionable es si la palabra "abstracción" es la adecuada para describir la forma en que adquirimos, no ya algunos conceptos intuitivos, sino los criterios básicos para interpretar nuestras intuiciones. Si descifras un mensaje en clave a base de ensayos y errores y terminas descubriendo el código ¿llamarías abstracción al proceso que te ha llevado a conocer el código? No sé si sería afortunado el nombre. (Aunque puedes llamar como quieras a cualquier cosa, por supuesto.)

Parece que el proceso por el cual alguien podría descubrir el código cifrado de un mensaje mediante el proceso de prueba y error no sería una abstracción, de acuerdo en eso, pero en mi forma de verlo tampoco sería una intuición, sino que sería más bien un proceso más ó menos racional basado en las probabilidades ó en la estadística si quieres (no sería una intuición propiamente dicha) ó incluso en la experiencia. Entonces si evitamos los ejemplos de este tipo las intuiciones que denominas puras obedecerían a las distintas formas de interpretar los conceptos que han sido previamente adquiridos mediante el proceso de la abstracción. ¿O esto tampoco sería correcto?

Es decir, de la percepción de muchos objetos cuadrados nuestra mente es capaz de abstraer el concepto de "cuadrado" y es la interpretación espacio-temporal de este concepto lo que nos lleva al concepto intuitivo de "cuadrado", es decir una vez interpretado por nuestra intuición es cuando somos capaces de recibir una imagen mental de tal objeto:

ó incluso sería más correcto esta otra:

ya que también los datos que recibimos de las percepciones siempre son interpretados por nuestra intuición.

Es como si nuestra intuición estuviera siempre ahí, revisando todo lo que entra ó sale de nuestra mente para darle el formato, la interpretación adecuada. ¿Voy más ó menos por buen camino para entender la cosa?

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Parece que el proceso por el cual alguien podría descubrir el código cifrado de un mensaje mediante el proceso de prueba y error no sería una abstracción, de acuerdo en eso, pero en mi forma de verlo tampoco sería una intuición,

En efecto. Sería el proceso biológico que lleva a nuestra mente a "configurarse" como de hecho se configura.

sino que sería más bien un proceso más ó menos racional basado en las probabilidades ó en la estadística si quieres (no sería una intuición propiamente dicha) ó incluso en la experiencia. Entonces si evitamos los ejemplos de este tipo las intuiciones que denominas puras obedecerían a las distintas formas de interpretar los conceptos que han sido previamente adquiridos mediante el proceso de la abstracción. ¿O esto tampoco sería correcto?

Estamos diciendo lo mismo. Yo decía que no me parecía adecuado "abstracción"

para describir la forma en que adquirimos, no ya algunos conceptos intuitivos, sino los criterios básicos para interpretar nuestras intuiciones,

pero ciertamente tú hablabas de conceptos intuitivos, y mi matización no venía al caso, pues no se refería a conceptos intuitivos.

Es decir, de la percepción de muchos objetos cuadrados nuestra mente es capaz de abstraer el concepto de "cuadrado" y es la interpretación espacio-temporal de este concepto lo que nos lleva al concepto intuitivo de "cuadrado", es decir una vez interpretado por nuestra intuición es cuando somos capaces de recibir una imagen mental de tal objeto:

ó incluso sería más correcto esta otra:

ya que también los datos que recibimos de las percepciones siempre son interpretados por nuestra intuición.

Es como si nuestra intuición estuviera siempre ahí, revisando todo lo que entra ó sale de nuestra mente para darle el formato, la interpretación adecuada. ¿Voy más ó menos por buen camino para entender la cosa?

Creo que sí.

[Jabato]

¡Epa!, a cabezón no me gana nadie, pero es que en este negocio lo que no se consiga de esa forma no se consigue de ninguna otra.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

No es lo mismo la intuición ejerciendo una función de sensor (vigilante, certificador),
que la intuición ejerciendo una función imaginativa (pensar números naturales, puntos de una recta),
y también distinta a la intuición ejerciendo una función creativa (generando nuevas cadenas de signos, o algún procedimiento recursivo).

Yo "veo" esas tres distinciones, y las distingo porque "intuyo"   que la función de sensor es menos exigente que las otras dos.

Si sólo permitiéramos una función de "sensor" para la intuición, el resto de la matemática podría existir de todos modos.

Imagino por ejemplo una computadora generando automáticamente todas las proposiciones posibles de una teoría matemática, junto con sus demostraciones de si son verdaderas o falsas.
O sea, una máquina que va generando todos los cálculos "sin intuición alguna", sólo un proceso maquinal.

El mero acto de certificar cada paso como correcto, es suficiente (no digo que sea "necesario", estoy tratando de eliminar la intuición completamente) para generar la matemática y sus demostraciones,
debido a que los aspectos creativos, recurrencias, y demás, estarían contemplados en los cálculos.

______________________

El último paso sería eliminar justamente la función de "sensor", y así hacer una matemática sin intuición.

[Jabato]

Así pues podríamos ver nuestra intuición como una especie de "interprete sin control" que acomoda todas nuestras percepciones e incluso los conceptos que abstraemos a nuestra visión general del mundo. El entendimiento sería pues una fase posterior. Lo que no acabo de entender es porque te negaste en rotundo a aceptar mi idea de la famila de cadenas alegando que yo no podía tener una intuición de tal cosa. Creo que quizás sería posible aceptar tal concepto como intuitivo si lo consideramos como una clasificación de las cadenas de dos elementos. El concepto de clase es intuitivo y eso creo que no puede negarse porque el hombre lleva clasificando los objetos del mundo (les pone nombre si lo prefieres) desde que apareció en él, y el concepto de familia como el de cada una de las clases posibles debería poder serlo también, aunque claro, quizás entramos en un terreno algo resbaladizo por el hecho de que nuestra intuición no nos suministra una "imagen" de tal objeto. Pero ... ¿es que puede negarse acaso que el concepto de clase sea intuitivo? Digamos, por definirlo de alguna forma, que una clase sería una colección de objetos que comparten una misma propiedad. Si, ya sé que no es lo mismo hablar de una "colección de objetos" que de "todos los objetos", pero ... ¿es que acaso a nuestra intuición eso le preocupa lo más mínimo? Extrapolar de "una colección" de objetos a "todos" los objetos que comparten una misma propiedad no es algo que pueda parar a nuestra intuición. De la misma forma que somos capaces de intuir los conceptos de infinito espacial y temporal partiendo únicamente de cantidades finitas de espacio y tiempo, que son las únicas que nos suministra nuestra percepción.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Incluyo aquí un comentario al último mensaje de argentinator. Yo creo que la intuición de la que nos habla Carlos Ivorra actúa independientemente de nuestra voluntad, por eso la califiqué de "interprete sin control", porque actúa de forma ajena a nuestra voluntad. No debemos pues confundir actos voluntarios como los de la creatividad ó la imaginación con la intuición porque, al menos en mi opinión, son cosas distintas. Digamos que la intuición sería una actividad inconsciente de nuestra mente y esas otras de las que hablas son actividades que podemos controlar de forma voluntaria, somos conscientes de como y cuando las realizamos y además podemos ejercerlas a voluntad.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Imagino por ejemplo una computadora generando automáticamente todas las proposiciones posibles de una teoría matemática, junto con sus demostraciones de si son verdaderas o falsas.
O sea, una máquina que va generando todos los cálculos "sin intuición alguna", sólo un proceso maquinal.

Pero es que eso ya existe, al menos en teoría. Por supuesto que puedes programar un ordenador para que genere sistemáticamente todos los teoremas de ZFC, uno destrás de otro, con sus demostraciones correspondientes. Pero, aun suponiendo que eso pudiera hacerse de forma práctica (que no es el caso, porque nos moriríamos de viejos antes de ver así probado algo interesante), ¿qué valor podría tener eso para nadie si excluyes la intuición?

Imagina que pongo encima de tu mesa un programa de ordenador que demuestra teoremas eficientemente. ¿Qué harías con él? Lo primero que tendrías que hacer es comprobar que no te estoy tomando el pelo, que, efectivamente, el programa hace lo que yo te aseguro que hace. Y la comprobación que tendrías que hacer para concluir que puedes fiarte de mi programa es el equivalente a aceptar el contenido de una fundamentación de la matemática como la que ves en los libros que no te gustan más el esfuerzo de comprobar que todo eso está plasmado en mi programa.

Más concretamente: por una parte tendrías que comprobar que mi programa se limita a usar los axiomas y reglas de inferencia adecuados, y que el procedimiento de enumeración que usa efectivamente asegura que, cualquier demostración posible, aparecerá en un tiempo finito. Para ello tendrías la necesidad de manejar intuitivamente números naturales y biyecciones intuitivas entre conjuntos de sucesiones finitas de números naturales con números naturales, que para ser definidas necesitan de la aritmética de los números naturales, y del orden, etc., y comprobar que mi programa se vale de ellas adecuadamente para no dejarse ningún caso.

Por otro lado, seguirías teniendo la necesidad de justificar que esos axiomas y esas reglas de inferencia que mi programa utiliza son razonables, en el sentido que pueda decirse que lo que obtiene mi programa son realmente codificaciones de todas las demostraciones que un matemático aceptaría como tales.

Y en tercer lugar, aun así estarías dejando de lado los resultados que no son necesarios para fundamentar la matemática, en el sentido de determinar una definición razonable de "demostración matemática formal", pero que aportan información valiosísima sobre la capacidad del razonamiento matemático, como los teoremas de incompletitud, las técnicas para demostrar que cosas como la hipótesis del continuo son indemostrables, etc. ¿En qué podría ayudarte un ordenador escupiendo teoremas a la hora de entender por qué la hipótesis del continuo no se puede demostrar?

[Carlos Ivorra]

Incluyo aquí un comentario al último mensaje de argentinator. Yo creo que la intuición de la que nos habla Carlos Ivorra actúa independientemente de nuestra voluntad, por eso la califiqué de "interprete sin control", porque actúa de forma ajena a nuestra voluntad. No debemos pues confundir actos voluntarios como los de la creatividad ó la imaginación con la intuición porque, al menos en mi opinión, son cosas distintas. Digamos que la intuición sería una actividad inconsciente de nuestra mente y esas otras de las que hablas son actividades que podemos controlar de forma voluntaria, somos conscientes de como y cuando las realizamos y además podemos ejercerlas a voluntad.

Efectivamente, no podemos decidir qué podemos y qué no podemos intuir, y si tenemos delante un triángulo, no podemos decidir que queremos verlo cuadrado. Pero también es muy importante que sí somos conscientes de que hay ciertas cosas que es absolutamente impensable que puedan ser intuidas, y eso es fundamental, porque da lugar a afirmaciones generales sobre cualquier intuición posible. Es ahí donde puede encontrarse la posibilidad de una justificación intuitiva de la matemática.

(Observemos que, del mismo modo que hay afirmaciones intuitivamente evidentes y otras que, siendo intuitivamente ciertas, requieren un razonamiento para llegar a ellas, como que hay infinitos números primos, también hay afirmaciones sobre cosas que es imposible intuir que no son intuitivamente evidentes, como que no es posible intuir un triángulo que no cumpla el teorema de Pitágoras.)

[Carlos Ivorra]

Lo que no acabo de entender es porque te negaste en rotundo a aceptar mi idea de la famila de cadenas alegando que yo no podía tener una intuición de tal cosa. Creo que quizás sería posible aceptar tal concepto como intuitivo si lo consideramos como una clasificación de las cadenas de dos elementos.

Si entendemos como concepto intuitivo un concepto con un contenido intuitivo, es decir, al que la intuición le pueda proporcionar un significado, no se puede discutir sobre si un concepto es o no intuitivo. Podríamos discutir sobre ello con un habitante del planeta Melmak, que pudiera tener una intuición distinta a la nuestra, pero no entre nosotros. O te lo puedes representar intuitivamente, o no puedes. Y creo que es obvio que no puedes decir "estoy viendo todas y cada una de las cadenas de dos signos".

Ahora bien, podrías replicarme con razón que yo tampoco puedo decir "estoy viendo todos los números naturales", por lo que tampoco debería decir que el conjunto de los números naturales tiene un contenido intuitivo, y en sentido estricto así es, Brouwer tiene razón, en principio.

Pero ahí es donde interviene el hecho en el que no dejaré de insistir: la intuición me permite hacer afirmaciones universales sobre lo que puedo intuir. Y así, cuando digo, por ejemplo, que existen infinitos primos (es decir, que todo número natural tiene la propiedad de que hay un número posterior que es primo), sucede que mi intuición me da pleno sentido a esta afirmación con independencia de que conozca un argumento que la demuestre o la refute. Aunque no sepa demostrar que hay infinitos primos, sé que eso significa que hay un número primo mayor que cero, y que hay un número primo mayor que uno, y que hay un número primo mayor que dos, etc., y lo esencial es que la intuición me determina perfectamente qué significa ese etc., gracias a que puedo afirmar a priori que siempre puedo imaginar un número posterior a uno dado y que sé perfectamente lo que significa que un número dado sea o no primo.

Lo esencial es que esto vale para la propiedad de que haya infinitos primos, y también para la propiedad de que haya infinitos pares de primos gemelos, sé lo que significa esto, tengo un significado intuitivo para esto, aunque no sepa si esto es verdad o mentira.

Al pasar a cadenas de signos, todo asciende un nivel:

Los conceptos de "cero", "uno", "dos", etc. son conceptos con contenido intuitivo, en el sentido de que cada uno de ellos tiene un contenido intuitivo concreto, mientras que el concepto de "número natural" es un concepto intuitivo en el sentido de que es aplicable a determinados conceptos intuitivos (concretamente, a los conceptos de "cero", "uno", etc.), pero no tiene un contenido intuitivo en sí mismo porque no puedo decir "estoy intuyendo un número natural genérico". Pese a ello, es un concepto intuitivo porque puedo hablar de números naturales genéricos gracias a la capacidad de mi intuición de proporcioanarme afirmaciones generales sobre lo que puedo intuir.

Ahora con cadenas:

Una cadena finita de signos, como xyxxxy, tiene contenido intuitivo. Puedo decir: estoy considerando (intuyendo) esta cadena en concreto.

Una cadena infinita, concreta como xyxyyxyyyxyyyy... no tiene contenido intuitivo propiamente dicho, porque no puedo intuirla toda ella, pero es un concepto intuitivo porque mi intuición me determina el criterio que la construye y me permite hacer afirmaciones generales, como que, para cada número natural n, la cadena contiene n signos y consecutivos, pero no n signos x consecutivos, si n>1.

El concepto de cadena de dos signos arbitraria está un nivel por encima, es un concepto aplicable, no a conceptos con contenido intuitivo (conceptos que pueda intuir), sino a conceptos determinados en el sentido de que tienen una definición con contenido intuitivo. Ciertamente, puedes argüir, con razón, que la intuición te legitima a  definir y enunciar hechos sobre cadenas arbitrarias, en el sentido de que se cumplirán para cualquier cadena concreta que pueda considerar intuitivamente bien definida.

Por ejemplo, si me dices que, dadas dos cadenas de signos, defines su intercalación como la cadena que resulta de tomar el primer signo de la primera, luego el primero de la segunda, luego el segundo de la primera, luego el segundo de la segunda, etc. Estás dando una definición intuitivamente aceptable para cadenas arbitrarias, pues no hay duda de que si tengo dos cadenas intuitivamente bien definidas, esa definición me da una tercera cadena bien definida.

Ahora bien, lo que ya no puedes decir a este nivel es que la intuición te proporcione un criterio de verdad sobre afirmaciones que involucren la totalidad de las cadenas de signos. Si una propiedad sobre números naturales está bien definida (como que exista un par de primos gemelos posterior) mi intuición me da un significado preciso a que sea verdadera o que sea falsa. No sé si será verdadera o falsa, pero sé que es intuitivamente verdadera o es intuitivamente falsa.

Sin embargo, aunque puedas definir conceptos intuitivos aplicables a cadenas arbitrarias, la intuición no te proporciona un significado intuitivo a una afirmación del tipo "toda cadena de signos cumple tal cosa".

En el caso de los primos, yo sé que la existencia de infinitos primos gemelos significa "hay una pareja mayor que cero, y otra mayor que uno, y otra mayor que dos...", pero ¿qué significa intuitivamente una afirmación sobre la totalidad de las cadenas? Es cierto que podrás demostrar propiedades del estilo de "toda cadena de signos xy cumple esto o lo otro", pero no tienes ningún respaldo intuitivo para decir que toda afirmación intuitivamente bien definida para una cadena genérica tiene que ser intuitivamente cierta para todas las cadenas o intuitivamente falsa.

Si te pones a trabajar con cadenas de signos arbitrarias pierdes el apoyo de la intuición para lo que realmente es más necesario: para garantizar la consistencia de lo que dices, para asegurar que todo lo que dices tiene un sentido que lo hace verdadero o falso independientemente de los razonamientos que puedas hacer para justificar que lo que dices es verdad. En ese contexto sólo puedes aferrarte a que tu facultad de razonar (no de intuir) no te llevará a contradicciones.

Pero es que, precisamente, lo que obliga a ser tan meticuloso al fundamentar la matemática es que está constatado que la razón, cuando se la deja vagar sin una guía clara, es contradictoria. Enlazo con lo que dices a continuación:

El concepto de clase es intuitivo y eso creo que no puede negarse porque el hombre lleva clasificando los objetos del mundo (les pone nombre si lo prefieres) desde que apareció en él, y el concepto de familia como el de cada una de las clases posibles debería poder serlo también, aunque claro, quizás entramos en un terreno algo resbaladizo por el hecho de que nuestra intuición no nos suministra una "imagen" de tal objeto. Pero ... ¿es que puede negarse acaso que el concepto de clase sea intuitivo? Digamos, por definirlo de alguna forma, que una clase sería una colección de objetos que comparten una misma propiedad. Si, ya sé que no es lo mismo hablar de una "colección de objetos" que de "todos los objetos", pero ... ¿es que acaso a nuestra intuición eso le preocupa lo más mínimo? Extrapolar de "una colección" de objetos a "todos" los objetos que comparten una misma propiedad no es algo que pueda parar a nuestra intuición. De la misma forma que somos capaces de intuir los conceptos de infinito espacial y temporal partiendo únicamente de cantidades finitas de espacio y tiempo, que son las únicas que nos suministra nuestra percepción.

Nuestra intuición se para mucho antes de esa extrapolación. De hecho, nuestra intuición deja de proporcionarnos contenidos intuitivos en cuanto pasas a hablar de números naturales genéricos o de una sucesión infinita concreta. Ahí nuestra intuición sigue aportando fundamento gracias a que no sólo nos proporciona imágenes concretas, sino que también nos proporciona criterios generales sobre qué intuiciones podemos construir.

Pero cuando pasas al nivel al que estás pasando, nuestra intuición ya no nos proporciona reglas generales. No hay un equivalente para cadenas a lo de "si vale para cero, y para uno, y para dos, etc. entonces vale para todos los números naturales". En suma, nuestra intuición deja de garantizar la consistencia.

La prueba la tienes en tu propio ejemplo: la noción de "clase" es intuitiva en el sentido de que si tienes unos objetos intuitivamente bien definidos, la intuición no te proporciona una intuición de la clase de todos ellos, pero sí te permite justificar tus afirmaciones sobre dicha clase, pero eso no te legitima a hablar en general de clases como si la intuición te hubiera firmado un cheque en blanco, porque con esa patente de corso podrías perfectamente hablar de la clase de todas las clases que no son elementos de sí mismas, y ahí tienes la prueba flagrante de que un concepto aparentemente tan "intuitivo" te lleva a una contradicción.

Eso no pone en riesgo la metamatemática porque, si te paras a pensar qué clase de contenido intuitivo tiene "la totalidad de las clases", verás que tu intuición al respecto se ha quedado atrás hace mucho, pero también la has dejado atrás al hablar de la totalidad de las cadenas, ya que la intuición no te proporciona un criterio de verdad para afirmaciones generales sobre cadenas.

Tú has insistido en tu momento en tu convicción de que puedes hablar consistentemente de cadenas, y comparto tu convicción, pero la comparto porque sé que puedes hablar de tales cadenas en ZFC y estoy seguro de que no pretendes decir nada sobre ellas que no pueda decirse en ZFC y no creo que ZFC sea contradictorio, pero ésa es la única fuente de tal convicción, que sabemos (o mejor "parece ser") que las contradicciones de la razón descontrolada están conjuradas en ZFC, pero ahí es donde queremos llegar, a construir un recinto de razonamiento libre de contradicciones. Mientras no lo hayamos construido, mientras tengamos que trabajar intuitivamente, no puedes ponerte a razonar confiando gratuitamente en la consistencia de tus razonamientos, porque eso es lo que está en tela de juicio, y la forma de llegar a una matemática formal sin moverse por terrenos pantanosos es no abandonar nunca el criterio de verdad que nos proporciona la intuición mientras hablemos únicamente de conceptos con contenido intuitivo, o bien conceptos intuitivos "de segundo orden" para los que la intuición nos proporciona igualmente un criterio de verdad.

Afortunadamente, la fundamentación de la matemática no requiere ir más allá.

[Jabato]

¡Buff!. Pues qué quieres que te diga, no digo que no tengas razón, pero me parece que tus argumentos están un poco cogidos con pinzas, así de entrada y en principio no los comparto, aunque ya digo que a ciertos niveles me pierdo, no soy un especialista en el tema y hasta el momento solo trato de ampliar mis conocimientos, de entender el porqué de ciertas cosas,  pero no me cuadra lo que dices aunque la verdad es que no sé muy bien decir el porqué.

Entiendo lo que dices al respecto de andar con pies de plomo, para no perder la intuición de los conceptos que manejamos, ya que al no estar arropados por ZFC u otra teoría formal equivalente se supone que estamos en la selva, perdidos en un mundo lleno de monstruos (las paradojas y las contradicciones) que podrían devorarnos, de manera que la intuición es el único arma que nos queda para defendernos, pero aún así ... no sé.

Efectivamente, no podemos decidir qué podemos y qué no podemos intuir, y si tenemos delante un triángulo, no podemos decidir que queremos verlo cuadrado. Pero también es muy importante que sí somos conscientes de que hay ciertas cosas que es absolutamente impensable que puedan ser intuidas, y eso es fundamental, porque da lugar a afirmaciones generales sobre cualquier intuición posible. Es ahí donde puede encontrarse la posibilidad de una justificación intuitiva de la matemática.

(Observemos que, del mismo modo que hay afirmaciones intuitivamente evidentes y otras que, siendo intuitivamente ciertas, requieren un razonamiento para llegar a ellas, como que hay infinitos números primos, también hay afirmaciones sobre cosas que es imposible intuir que no son intuitivamente evidentes, como que no es posible intuir un triángulo que no cumpla el teorema de Pitágoras.)

Otra cosilla, das a entender aquí, aunque no sé si lo he entendido correctamente, que si fuéramos capaces de establecer que conceptos pueden o no pueden ser intuidos de forma general, es decir dar el criterio que hace que podamos intuir unos conceptos y otros no tendríamos aquí la clave para fundamentar intuitivamente la matemática. ¿Es esa interpretación correcta?

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Y en tercer lugar, aun así estarías dejando de lado los resultados que no son necesarios para fundamentar la matemática, en el sentido de determinar una definición razonable de "demostración matemática formal", pero que aportan información valiosísima sobre la capacidad del razonamiento matemático, como los teoremas de incompletitud, las técnicas para demostrar que cosas como la hipótesis del continuo son indemostrables, etc. ¿En qué podría ayudarte un ordenador escupiendo teoremas a la hora de entender por qué la hipótesis del continuo no se puede demostrar?

No se trata de si puede ayudarme o no, o de si me da "información" (humana, claro) o no.

Esos son aspectos "cualitativos" o "especulativos", o si querés "pedagógicos" de la matemática.
En las cuestiones de especulación y pedagogía, es válido usar la intuición sin barreras, así como cualquier otro recurso para lograr comprensión o entendemiento de las cosas.

Pero eso no tiene que ver con lo que es "científicamente verdadero".

Si nos salimos por un rato de la matemática, y nos vamos a las ciencias fácticas,
pongamos por ejemplo la atmósfera de Saturno.
A Saturno no le importa si para mí es "intuitivo" o "manejable" o "comprensible" lo que le pasa a su atmósfera.
Lo que hay ahí son "hechos", se obtienen datos fríos numéricos, y después, si uno quiere,
hace una interpretación "metafísica" de ellos, alguna construcción poética o lo que fuere que le permita imaginar mejor lo que pasa ahí.

Pienso que la matemática es igual, y no importa nada si nos queda cómoda o no,
si sirve a nuestros caprichos románticos o no.

Tenés razón en lo que estás diciendo: no he podido eliminar el aspecto de "certificación" de la intuición, que me obligaría a revisar una a una todas las pruebas mecánicas de la computadora, y que además sería muy tedioso,
y lo peor es que sería "muy difícil" (aunque no imposible) tratar de entender todo lo que eso significa.

Pero primero me interesa establecer qué es lo científicamente correcto, y después ver si es lindo o feo, o si es fácil o difícil.
No me importa el grado dificultad, lo que me importa es eliminar toda fuente de subjetividad.

Asi como la atmósfera de Saturno no depende de cómo funcione mi intuición,
lo mismo tiene que ocurrir con la matemática, o al menos con la mayor parte de ella.

Ahora bien. Pienso que la computadora también puede escupir mecánicamente razonamientos acerca de la metamatemática, porque se supone que en ella se hacen supuestos simples sobre "recurrencias sobre cadenas finitas y sus propiedades".

Aquellas cosas que se aceptan "intuitivamente" son en realidad "axiomas" que uno asume para la metamatemática.
Se pueden mecanizar esos axiomas en una máquina.

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Es cierto que "revisar con la intuición" todo eso, paso a paso, y certificar que está bien, es un gran problema.
Pero en todo caso pienso que hay que apuntar a elimina ese problema con algún otro recurso, ver si parte de ello puede también mecanizarse.

No es que esté fascinado por las máquinas, sino que los resultados producidos sistemáticamente por máquinas son algo que aparece sobre un papel, escrito como un documento legal....
Pero sobretodo, es algo empíricamente comprobable, contrastable.

Cualquiera puede constatar (con su intuición todavía, lamentablemente) en forma científicamente independiente si esos procesos mecánicos han dado resultados análogos o no.

Imagino, aunque sin haberlo pensado en detalle aún,
que este proceso de verificación también se puede mecanizar en gran parte.
El uso de la intuición se reduciría a un mínimo, si uno pusiera el cuidado suficiente.

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Se pierde todo el aspecto cualitativo y pedagógico...
Pero en realidad no se pierde.
Uno puede hacer las cosas de dos formas: una, procurar sostener el rigor mediante cálculo estrictamente maquinal, y dos, mantener en forma paralela una versión "nice" para "dummies" jejeje de los resultados fríos y duros deducidos maquinalmente.

El libro Principia Mathematica de Russell parece que apunta más o menos en este sentido.
Un día le dí una ojeada y se veía bastante incomprensible, como escupido por una máquina.

Una cosa es el rigor, y otra cosa es lo "poético en torno a la matemática".
Se pueden hacer las dos cosas.
Claro que esto obligar a un mayor trabajo.

Pero al final me termino quejando de lo mismo que en el asunto de los 4 colores.
A veces parece que hay matemáticos que prefieren lo que les "resulta más cómodo" en vez de preocuparse por el mayor rigor científico.
La matemática no es sólo para los matemáticos, eso es algo que no hay que olvidar.
Del mismo modo que no hay que pensar sólo en los resultados que se conocen en el presente y que nos tienen fascinados.

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P.D.: Otra vez tengo que disculparme por no seguir el debate en todos los detalles tal como viene, y que me empecino en meter las ideas que a mí me interesan. Pero la "intuición" (que es tan maravillosa) me muestra que más o menos encaja en el nudo de varios temas que se están hablando.