Uf. A ver por dónde empezamos. Quizá por lo más fácil:
Y decir que el sonido es intuición (empírica)...
¿Qué es una intuición empírica? Eso no tiene ningún sentido.
Pero bueno, todos nos equivocamos.
Hay un botón que sirve para "editar mensaje"...
Sé que ya has expresado tu opinión al respecto y no te va a gustar mi respuesta, pero me temo que al decir "intuición empírica" estoy siguiendo estrictamente la terminología kantiana. Si lees la
Crítica de la razón pura verás cómo aparece muchas veces la distinción entre intuiciones puras y empíricas. Insisto en que cuando hablo de "intuición" me estoy refiriendo exactamente a lo que Kant llama intuición. Kant era un maestro en dar el nombre más adecuado a cada cosa. Eso no significa que acepte las conclusiones a las que llega Kant cuando razona sobre los conceptos que tan bien define (bueno, "define" no es la palabra, pues son conceptos indefinibles en el sentido usual del término. Más bien los analiza hasta delimitarlos con precisión).
Por lo tanto, decir que "no tiene ningún sentido", me parece una afirmación muy atrevida. De hecho, es trivialmente falsa, pues precisamente estaba explicando que los sonidos (no como concepto físico, sino como percepciones), las imágenes que "vemos", los sabores, los dolores son ("por definición") intuiciones en el sentido kantiano, que es el mismo que estoy empleando yo. Cuando yo hablo de intuiciones me refiero a eso y no a otra cosa. Decir que no tiene sentido decir que el sonido es una intuición empírica es como decir que no tiene sentido decir que una mesa es un mueble sobre la base de una definición de "mueble" distinta de la que se está empleando al decir esa frase.
El problema de toda la discusión es que tú dudas de la capacidad de la intuición para fundamentar la matemática porque tienes un concepto de intuición inadecuado. Cuando yo afirmo que la intuición sí es capaz de fundamentar la matemática, no me refiero a la intuición como tú la entiendes, sino a lo que yo estoy llamando intuición. Con esa actitud estás desvirtuando el debate. Me explico:
Tenemos la intuición como tú la entiendes y la intuición como yo la entiendo. Ante todo, observemos que eso no supone ninguna ambigüedad en mi concepto de intuición ni en el tuyo (por lo menos en el mío, del tuyo no respondo). La situación es la misma que si tú decides llamar "seres humanos a los blancos de raza aria" y yo decido llamar seres humanos a todos los "homo sapiens sapiens". Es un problema de lenguaje, no de que haya duda de qué es ser de raza aria o qué es ser "homo sapiens sapiens".
Puesto que tenemos dos definiciones alternativas de intuición, las tratamos en pie de igualdad. Empezamos por la tuya:
Con la definición de intuición de argentinator:
Argentinator afirma que no es posible fundar en ella la matemática formal sin caer en círculos viciosos o ambigüedades inaceptables. Donald le da la razón. Asunto zanjado.
Con la definición de intuición de donald:
Donald afirma que sí que es posible fundar en ella la matemática formal.
Argentinator insiste en que esa definición no es la suya (?)
No es eso lo que procede en buena lógica. Una vez hemos quedado de acuerdo en que con tu idea de lo que es la intuición no es posible fundamentar la matemática, lo que procede no es que sigas reivindicando tu idea, sino que analicemos si, entendiendo por intuición lo que yo entiendo como tal, es posible o no fundamentar la matemática.
Aclaro que, aunque he hablado varias veces de "definición de intuición", es sólo una forma de hablar. Definir la intuición sería como definir el "tiempo". Los físicos formalizan el tiempo, pero no lo definen, porque eso es imposible.
Pasemos ahora a Cristian_C:
Dices que las intuiciones en que se funda la matemática no proceden de ningún fenómeno externo y solo sabemos que existen porque tenemos la capacidad de generarlas.
En ese sentido, debo decir que nuestra capacidad de generar esas intuiciones en que se funda la matemática no son innatas sino adquiridas.
En alguna edad temprana, ni tu ni yo teníamos la capacidad de reconocer que la cantidad de objetos de un conjunto es independiente del orden en que los contemos (ya hablé de esto pero no tuve eco).
El proceso de adquisición de esos conocimientos a los que llamas “intuitivos puros” es paulatino e involucra indefectiblemente el interjuego del sujeto con objetos y situaciones en todo fácticas. El modo como esto ocurre ha sido detalladamente estudiado desde Piaget en adelante y no puede obviarse. Por eso sostengo que esas intuiciones que mencionas tienen una génesis y esta procede del plano empírico y de una tendencia hacia la adaptación de nuestras estructuras mentales de representación a la realidad, que sí es innata.
En concreto, opino que no existen intuiciones “puras”, como dices; intuiciones que no procedan de ningún fenómeno externo. Pero de todos modos estoy atento a que menciones una.
Te doy la razón en todo cuanto dices, excepto en tu afirmación de que lo que dices contradice a algo que yo haya dicho. (Y si técnicamente pudiera decirse que es así, sería que me he explicado mal.)
De hecho, lo que estás diciendo lo resume Kant justo al principio de la
Crítica de la razón pura:
No se puede dudar que todos nuestros conocimientos comienzan con la experiencia, porque, en efecto, ¿cómo habría de ejercitarse la facultad de conocer, si no fuera por los objetos que, excitando nuestros sentidos de una parte, producen por sí mismos representaciones, y de otra, impulsan nuestra inteligencia a compararlas entre sí, enlazarlas o separarlas, y de esta suerte componer la materia informe de las impresiones sensibles para formar ese conocimiento de las cosas que se llama experiencia? En el tiempo, pues, ninguno de nuestros conocimientos precede a la experiencia, y todos comienzan en ella.
Pero si es verdad que todos nuestros conocimientos comienzan con la experiencia, todos, sin embargo, no proceden de ella, pues bien podría suceder que nuestro conocimiento empírico fuera una composición de lo que recibimos por las impresiones y de lo que aplicamos por nuestra propia facultad de conocer...
Ojo: no cito a Kant para apoyarme en su autoridad, sino para tratar de convenceros de que no afirmo nada especialmente original, insólito y novedoso, sino que estoy sosteniendo una posición bastante clásica y que a bastante gente le ha parecido razonable durante mucho tiempo, incluso en la actualidad.
En suma: a priori no tiene nada que ver con innato. Coincido contigo en que la forma en que concebimos nuestras experiencias es adquirida y está condicionada por las experiencias que tenemos y que hay un proceso de génesis que puedes explorar estudiando niños y constatando que hay ideas geométricas de las que carecen en un principio (como la de volumen, por recordar un ejemplo que ponías en otro post) y que poco a poco se van adquiriendo. Pero eso es una cosa, y otra cosa muy distinta es si todos los conocimientos que adquirimos a través de la experiencia están justificados por ella, en el sentido que que otras experiencias podrían desmentirlos, o si, por el contrario, a través de la experiencia llegamos a obtener "conocimientos" que no pueden ser refutados por experiencia alguna, y pongo "conocimientos" entre comillas porque esa cualidad hace que no sean auténticos conocimientos, es decir, datos sobre la realidad física.
Por ejemplo, considera las afirmaciones "no pueden existir libélulas de cuatro metros de longitud" o "no pueden existir cuatro rectas perpendiculares dos a dos".
Nadie cuestiona que si le preguntas a un niño pequeño cualquiera de las dos afirmaciones, no sepa qué responder, y que necesite un cierto grado de madurez, no ya para saber la respuesta, sino para entender la pregunta. Sin embargo, las dos afirmaciones son de naturaleza muy distinta. La primera creo que es cierta (y me refiero a "no pueden existir", no a "no existen") por ciertas consideraciones clásicas sobre los efectos de cambio de escala en un animal sin cambio de forma. Ahora bien, dichas consideraciones se basan en el estudio de la experiencia, e incluso podría ocurrir que, por algún motivo, los cálculos que llevan a descartar la existencia de libélulas de cuatro metros de longitud estén equivocados y un día pudiéramos encontrarnos realmente con una libélula gigante.
Esto es lo fundamental sobre la primera afirmación: la experiencia nos enseña que no hay libélulas de cuatro metros, pero, en principio, una experiencia podría mostrarnos una libélula de cuatro metros que invalidara esa afirmación. A lo mejor, para que eso sucediera, tendrían que cambiar las leyes de la física, no lo sé, pero podría pasar y podríamos encontrarnos con tal libélula, lo que nos obligaría a cambiar parcialmente nuestro concepto del mundo.
Muy distinto es el caso de la segunda. No te discuto en absoluto que se requiere un proceso gradual de adquisición de conocimientos con todas las características que quieras detallar. Di todo lo que quieras al respecto y te daré la razón en todo. Pero la cuestión es: ¿es concebible que exista una experiencia que nos pueda mostrar cuatro líneas perpendiculares dos a dos? Y confío en que estés de acuerdo conmigo en que la respuesta es negativa, sin que ello contradiga absolutamente nada de lo que has dicho. Ésa es la diferencia entre una afirmación pura a priori y una afirmación a posteriori. Nada tiene que ver con conocimientos innatos.
La experiencia, por un proceso empírico, estampa en nuestras mentes la geometría tridimensional euclídea, pero de tal forma que la misma experiencia que nos estampa esa geometría no es capaz de contradecirla. Y la prueba más flagrante de que eso es así es que, al fin y al cabo, los físicos han llegado a la conclusión de que la geometría tridimensional euclídea no es la adecuada para describir el espacio físico. Una intuición realmente acorde con la realidad física debería hacernos ver como líneas rectas las trayectorias de los rayos de luz, pero si pudiéramos ver desde la perspectiva adecuada las trayectorias de un rayo de luz que pasa junto a una estrella masiva, no veríamos una línea recta, sino una línea curva. Estaríamos viendo una geodésica del espacio-tiempo pero que, a nuestra intuición, se presenta necesariamente como una línea curva, porque nuestra intuición pura (geométrica, generada por la experiencia) no se deja amoldar a la experiencia, sino que amolda a ella toda experiencia posible, razón por la cual no tiene validez física, pero al mismo tiempo, como fuente coherente de afirmaciones universales (como la del ejemplo que he puesto) es perfecta para fundamentar la matemática.
Podría añadir algunas cosas más para acabar de dejar claro que no hay contradicción entre lo que decimos, pero vienen al caso para contestar a argentinator, por lo que las pongo un poco más abajo:
Sin embargo, el sentido común y la experiencia nos dicen que nadie nació intuyendo puntos, rectas, ni números naturales, ni ninguna intuición matemática de las más básicas.
Esas intuiciones han sido inculcadas de padres a hijos, o en la escuela.
Por supuesto que en algún momento de la humanidad han surgido, pero fue gradual.
Totalmente cierto, como acabo de explicar. Como es habitual, no contradices a nada que yo haya afirmado, sino que contradices lo que yo estaría afirmando si mis palabras tuvieran que interpretarse con el significado que tú pretendes darle, que no es el que yo les doy (sentido en el cual yo sería el primero en darte la razón).
Y la prueba de que estas cosas no son "intuiciones puras" que están en toda mente humana, ni que surgen en forma natural, es que hay humanos en la actualidad que carecen de ellas.
Yo no he afirmado que surjan de forma natural ni que estén en toda mente humana. Afirmo que están en la mente de cualquier ser humano en condiciones de leer un libro que pretenda fundamentar la matemática. El ejemplo que pones con el propósito de contradecirme es esencialmente un ejemplo que he puesto yo mismo para explicar mi punto de vista. Yo fui el primero en admitir que podría existir un extraterrestre (y me da igual extraterrestre que miembro de una cultura primitiva) que tuviera una intuición completamente distinta a la nuestra, de modo que lo que para nosotros es intuitivo para él sólo puede ser entendido como una teoría formal, mientras que lo que para él es intuitivo para nosotros sólo tendría sentido como una teoría formal.
Me parece poco probable que un ser humano pudiera tener una intuición alternativa a la nuestra. El ejemplo que tú propones es el de una intuición más pobre. Eso claro que es posible. ¿Y eso qué prueba?
En el mundo hay mucha gente que no conoce la teoría de la relatividad, y de entre ellos, hay algunos que no conseguirían entenderla ni aunque se propusieran estudiarla dedicando a ello todo su tiempo, probablemente porque no han recibido la educación necesaria y no han desarrollado suficientemente su capacidad intelectual. Sabes perfectamente que hay adultos a los que es muy difícil, si no imposible, lograr que sean capaces de manipular correctamente una expresión algebraica sin cometer errores cada dos por tres. Esas personas no entenderían nunca la teoría de la relatividad.
Ahora bien ¿dice algo en contra de la objetividad de la teoría de la relatividad el hecho de que haya un ser humano que no puede entenderla? Yo creo que no.
En tu ejemplo: tomemos un miembro de esa tribu que sólo sabe contar hasta tres. Una de dos: o se le podría educar para que aprenda a contar y más cosas, y llegara estar en condiciones de entender un libro de metamatemática, o no. Pero si se diera el segundo caso, el hecho de que un ser humano no tenga una intuición lo suficientemente desarrollada, o educada o como quieras llamarlo, para entender un libro de metamatemática, tiene el mismo valor probatorio que el hecho de que un loro no pueda entender un libro de metamatemática. La intuición de un loro es indiscutiblemente más pobre que la nuestra. ¿Y qué?
Si tú quisieras aprender lógica matemática, yo podría enseñarte, y lo único que habría en juego sería mi intuición y la tuya. Yo no podría transmitirte mi intuición. Si tú fueras un miembro de esa tribu primitiva, ni me plantearía enseñarte matemáticas, pero como sé perfectamente que tú te manejas perfectamente con la misma intuición con la que me manejo yo (sin que ello suponga la afirmación que me atribuyes de que todo ser con el código genético humano puede hacerlo), tenemos la posibilidad de entendernos, salvo que te parapetes en tu escepticismo.
Por ejemplo, el principio de todo sería que yo te diría: Un lenguaje formal tiene infinitas variables, a las que podemos llamar
y, como tú no eres un miembro de una tribu primitiva, en ese miniuniverso formado sólo por ti y por mí, no hay ninguna razón seria para que tú digas que no me entiendes. Entiendes perfectamente cuáles son las variables de un lenguaje formal y nunca, absolutamente nunca, llegarás razonando por tu cuenta sobre esto que te acabo de decir a una conclusión contradictoria con otra a la que pudiera llegar yo. ¿Por qué? Porque estamos hablando sobre cosas concretas, cosas que no son sólo palabras, pensamientos, razonamientos formales, sino cosas con un contenido concreto que está en tu mente, en la mía, y no en la de los miembros de esa tribu primitiva, ni tampoco en la de los loros.
Por cierto, que ya me gustaría verte aquí la misma seguridad con la que defendías en otro hilo las demostraciones por ordenador. Estoy de acuerdo con todo lo que decías allí, pero deberías reconocer que juzgar si un ordenador está obteniendo realmente una prueba de un teorema en ZFC no puede verse como un teorema de ZFC. Y allí daba gusto ver como afirmabas que, aunque sea un proceso complejo, es perfectamente verificable por un ser humano de modo que (salvo la mínima probabilidad de error que siempre está ahí) ese complejo análisis nos da la seguridad de que la prueba es correcta.
Me parece irónico que yo te empiece ZFC enumerando unas variables y tú me pongas toda una andanada de peros sobre qué estoy diciendo, pero en otro hilo estás dispuesto a trabajar fuera de ZFC con números naturales, programas de ordenador, lenguajes de programación, y todo lo que se tercie (en lo que te doy toda la razón) mostrando una total seguridad y convicción y poniendo de vuelta y media (con razón) a todos los que ponen objeciones a priori.
