¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

[Carlos Ivorra]

Yo no he fijado regla alguna del razonamiento, ni he establecido un sistema formal, ni un lenguaje, ni axiomas,

Soy consciente de ello y nunca he afirmado lo contrario. Lo que te digo es que pretendes trabajar intuitivamente respetando unos criterios de rigor que son adecuados para trabajar formalmente (sintácticamente), cuando tendrías que adoptar el rigor imprescindible para trabajar intuitivamente (semánticamente), y no estás guardando el rigor debido (sí el no debido).

solo he establecido las cosas que puedo hacer con mi mente en base a ciertas intuiciones, a ciertas percepciones intuitivas que soy capaz de identificar.

Eso es lo que pretendes, pero no estás siendo riguroso. Tu planteamiento no lo aceptaría ningún lógico. No encontrarás ningún libro que pretenda hacer metamatemática y al mismo tiempo pretenda razonar intuitivamente sobre números reales. ¿Por qué? Por lo que estoy tratando de explicarte, aunque no me entiendas.

Saber si con ellas voy a llegar a algún tipo de contradicción es algo que aún estaría por ver.

No creo que haya ninguna contradicción en tus conceptos, pero la razón por la que sospecho que es así es porque tus conceptos se pueden formalizar en ZFC y no creo que ZFC sea contradictorio. El problema es que no puedes amparar la consistencia de tus postulados en su posible formalización, sino que debería basarse únicamente en que tengan un contenido intuitivo claro, pero eso es lo que no está claro, y en ese sentido te digo que no estás siendo riguroso.

Yo solo digo que con esos conceptos puedo "a priori" establecer unas reglas que me permitirían realizar comparaciones entre cadenas para poder discernir sus carácterísticas fundamentales y sacar algunas conclusiones, y por supuesto todo basado en la intuición, nada más.

Si sólo dijeras eso, no te objetaría nada.

Pues chico, si te parece que las cuatro premisas que expuse para iniciar el juego carecen de sentido intuitivo, es que realmente no sabes lo que es la intuición. A ver, ¿que es para tí un concepto intuitivo y que es la intuición?

La intuición es una facultad de representación, que me permite atribuir un contenido a priori a ciertos conceptos, como sucede cuando te representas el concepto de cubo, o el concepto de "tres" (imaginando tres puntos, o contando mentalmente "uno, dos, tres").  Eres tú quien confunde la intuición con el pensamiento. Pareces confundir intuición con "contenido mental". En tu mente caben muchas más cosas que en tu intuición. Puedes pensar y razonar sobre un cubo de cuatro dimensiones, contar informalmente sus vértices y aristas, pero no puedes imaginártelo, no puedes representártelo, no puedes intuirlo.

¿Una cadena infinita no es para ti un concepto intuitivo? ¿una secuencia infinita no es para ti un concepto intuitivo? ¿Una familia infinita de cadenas no es para ti un concepto intuitivo? Pues estamos apañados.

MI respuesta a las tres preguntas es afirmativa. Incluyo la última: puedo representarme intuitivamente algunas familias infinitas de cadenas infinitas, como la familia de todas las cadenas finalmente constantes. Afirmo que dicha familia tiene un contenido intuitivo porque puedo atribuirle un significado a cualquier afirmación sobre todas ellas, o a cualquier afirmación que exprese la existencia de una de ellas con alguna propiedad en particular (bien definida), pero no me parece riguroso que pretendas pasar como concepto intuitivo la totalidad de las sucesiones infinitas de signos xy.

Pero veo que no me entiendes (que es distinto a que no compartas mi opinión), pues me haces tres preguntas dando por hecho que te voy a responder que no a alguna de ellas, cuando mi respuesta es que sí a las tres.

[Garubi]

Creo que estáis mareando mucho la perdiz.
Sin una biyección entre el set de signos/símbolos/lo que se quiera, del lenguaje y los objetos a que hace referencia el lenguaje, sean conceptuales o materiales, es evidente que no habría caminos para el pensamiento, ni intuitivo ni formal.

Una vez declarada la existencia, de nuevo de cualquier objeto, ya sea conceptual -como la de un conjunto, de números, por ejemplo- , ya sea material -como la de un conjunto de sofás-cama-, por ejemplo, estamos declarando implícitamente la existencia de un enunciado atómico (de existencia) para cada elemento del modelo.

El modelo es aquello para lo cual se declara la existencia. Es aquello de lo cual se dice que existe, término a término. Debe verificarse por tanto para cada término la existencia de un enunciado atómico verdadero por definición, que afirme su existencia. Aquello de lo que se predica que no pertence al modelo, no existe en el modelo.

Ehh... y punto pelota. Lo demás, es onanismo prefrontal.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Sin una biyección entre el set de signos/símbolos/lo que se quiera, del lenguaje y los objetos a que hace referencia el lenguaje, sean conceptuales o materiales, es evidente que no habría caminos para el pensamiento, ni intuitivo ni formal.

Ahí es cierto la mitad de lo que dices. La mitad falsa es que precisamente el lenguaje formal está diseñado con el propósito de poder razonar sin necesidad de asignar ningún significado concreto a los signos del lenguaje, de tal modo que el razonamiento se guía exclusivamente por reglas sintácticas. El rigor consiste entonces en seguir escrupulosamente esas reglas formales. Otra cosa es que se puede demostrar que toda teoría axiomática consistente admite un modelo, es decir, que, aunque no sea necesario, es posible asignar una interpretación a cada signo del modelo para que los axiomas y los teoremas sean verdaderos.

La mitad cierta (y esto es lo que trato de hacer entender a mis contertulios) es que, si prescindimos del lenguaje formal (es decir, de la posibilidad de razonar formalmente, atendiendo a criterios sintácticos sobre objetos desconocidos) "no hay caminos para el pensamiento", como tú dices, a menos que seamos rigurosos semánticamente, es decir, que nos aseguremos de dar un significado preciso a cada afirmación que hagamos, y ese significado se puede encontrar, o bien en el mundo físico, que es lo que sucede cuando hablamos de gatos, o bien en la intuición, que es lo que sucede cuando hablamos metamatemáticamente de números, signos, etc. Pero ciertamente, al hacer (meta)matemáticas renunciando al lenguaje formal, es crucial asegurarse de que no se nos cuela ningún concepto que suene razonable a alguien acostumbrado a razonar formalmente a pesar de ser intuitivamente dudoso, que es la falta de rigor análoga de quien pretende razonar formalmente y cuela una implicación intuitivamente cierta, pero formalmente injustificada.

[Jabato]

Pero es que en cualquier caso no estamos hablando de eso, hablamos de conceptos claros (aunque sean intuitivos) y de rigor, que es el único reproche que yo he hecho hasta el momento (aunque a mi se me han hecho otros además de ese), pero es que se evita hablar de ese asunto por alguna razón que desconozco. Por supuesto Garubi que tiene que existir un lenguaje, una sintaxis, y unas reglas que permitan realizar la inferencia, porque sino estamos vendidos, pero mi reproche es que no existe exposición clara de cuales son los conceptos de los que se parte, y por lo tanto que no hay garantías de que todo el mundo hable el mismo lenguaje y lo utilice de la misma forma, ni desde luego que los conceptos más elementales sean los mismos para todos. No puede uno hablar de números naturales, ordinales, cardinales, etc, sin decir de donde salen esos conceptos porque esos conceptos son matemáticamente muy sofisticados y se deducen de una teoría axiomática inmersa en la lógica, y argumentando solo que responden a la intuición. Hay que establecer primero una exposición ordenada de los conceptos que van a manejarse y después utilizarlos en la forma que se espera.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Yo no he fijado regla alguna del razonamiento, ni he establecido un sistema formal, ni un lenguaje, ni axiomas,

Soy consciente de ello y nunca he afirmado lo contrario. Lo que te digo es que pretendes trabajar intuitivamente respetando unos criterios de rigor que son adecuados para trabajar formalmente (sintácticamente), cuando tendrías que adoptar el rigor imprescindible para trabajar intuitivamente (semánticamente), y no estás guardando el rigor debido (sí el no debido).

Puedes explicarme a que te refieres por "... el rigor imprescindible para trabajar intuitivamente (semánticamente),...". Te aseguro que yo solo conozco un tipo de rigor pero jamás he oído hablar de rigor semántico y del rigor formal, ó al menos no tengo claro a que te refieres con eso, aclara la idea por favor. Cual es la diferencia para ti entre rigor semántico y rigor formal.

Proceder de forma rigurosa en un razonamiento sería, explicado de forma llana, limitarse a utilizar solo conceptos que hayan sido debidamente explicados previamente y no realizar tareas para las que no se haya reconocido antes la capacidad de hacerlas. Tanto semánticamente como formalmente. Y ese es el sentido en el que estoy utilizando la palabra rigor. Vamos a ver si yo, sin más preámbulo, me lanzara a establecer propiedades de las cadenas de símbolos infinitas alguien podría acusarme de falta de rigor porque no he explicado que objetos son esos, como se construyen y como se reconocen, pero si yo explico de forma previa como construirlas y como reconocerlas nadie podrá acusarme de falta de rigor por ese motivo.

solo he establecido las cosas que puedo hacer con mi mente en base a ciertas intuiciones, a ciertas percepciones intuitivas que soy capaz de identificar.

Eso es lo que pretendes, pero no estás siendo riguroso. Tu planteamiento no lo aceptaría ningún lógico. No encontrarás ningún libro que pretenda hacer metamatemática y al mismo tiempo pretenda razonar intuitivamente sobre números reales. ¿Por qué? Por lo que estoy tratando de explicarte, aunque no me entiendas.

Vuelves a acusarme de falta de rigor pero solo dices que no soy riguroso aunque no dices porqué. Repetición bis del argumento anterior.

Saber si con ellas voy a llegar a algún tipo de contradicción es algo que aún estaría por ver.

No creo que haya ninguna contradicción en tus conceptos, pero la razón por la que sospecho que es así es porque tus conceptos se pueden formalizar en ZFC y no creo que ZFC sea contradictorio. El problema es que no puedes amparar la consistencia de tus postulados en su posible formalización, sino que debería basarse únicamente en que tengan un contenido intuitivo claro, pero eso es lo que no está claro, y en ese sentido te digo que no estás siendo riguroso.

Vaya, vuelves a acusarme de falta de rigor, aunque ahora dices porque, porque mis premisas carecen de sentido intuitivo claro.
Será para tí, porque para mi es muy claro. Imagino que estás haciendo referencia al sentido intuitivo de la 4ª premisa, que es la que parece que cuestionas. Dices que no es clara, pero no dices porque. ¿Puedes explicar porqué no es claro el sentido intuitivo de la 4ª premisa? Te diré que para mi las familia a la que hago referencia en ese punto se asemeja a los puntos de un segmento. Te parece poco sentido intuitivo ese ó quieres otra analogía más gráfica. Te la puedo dar si quieres.

Yo solo digo que con esos conceptos puedo "a priori" establecer unas reglas que me permitirían realizar comparaciones entre cadenas para poder discernir sus carácterísticas fundamentales y sacar algunas conclusiones, y por supuesto todo basado en la intuición, nada más.

Si sólo dijeras eso, no te objetaría nada.

¿Es que he dicho otra cosa?

Pues chico, si te parece que las cuatro premisas que expuse para iniciar el juego carecen de sentido intuitivo, es que realmente no sabes lo que es la intuición. A ver, ¿que es para tí un concepto intuitivo y que es la intuición?

La intuición es una facultad de representación, que me permite atribuir un contenido a priori a ciertos conceptos, como sucede cuando te representas el concepto de cubo, o el concepto de "tres" (imaginando tres puntos, o contando mentalmente "uno, dos, tres").  Eres tú quien confunde la intuición con el pensamiento. Pareces confundir intuición con "contenido mental". En tu mente caben muchas más cosas que en tu intuición. Puedes pensar y razonar sobre un cubo de cuatro dimensiones, contar informalmente sus vértices y aristas, pero no puedes imaginártelo, no puedes representártelo, no puedes intuirlo.

Falso, tengo una imagen geométrica y perfectamente definida de dicha familia, y ya te hice notar antes cual era. ¿Recuerdas lo del segmento de recta?

¿Una cadena infinita no es para ti un concepto intuitivo? ¿una secuencia infinita no es para ti un concepto intuitivo? ¿Una familia infinita de cadenas no es para ti un concepto intuitivo? Pues estamos apañados.

MI respuesta a las tres preguntas es afirmativa. Incluyo la última: puedo representarme intuitivamente algunas familias infinitas de cadenas infinitas, como la familia de todas las cadenas finalmente constantes. Afirmo que dicha familia tiene un contenido intuitivo porque puedo atribuirle un significado a cualquier afirmación sobre todas ellas, o a cualquier afirmación que exprese la existencia de una de ellas con alguna propiedad en particular (bien definida), pero no me parece riguroso que pretendas pasar como concepto intuitivo la totalidad de las sucesiones infinitas de signos xy.

Ya he contestado a eso antes.

Pero veo que no me entiendes (que es distinto a que no compartas mi opinión), pues me haces tres preguntas dando por hecho que te voy a responder que no a alguna de ellas, cuando mi respuesta es que sí a las tres.

Estoy tratando de entender tus razonamientos, para lo cual debo esclarecer tu opinion sobre mis aportes. Hasta el momento tus argumentos no se sostienen porque solo haces que exponerlos pero no justificarlos y incluso algunos de ellos son verdaderas falacias, como el que hace alusión al contenido intuitivo de la 4ª premisa. Y lo llamo falacia porque tú sabes bien que ese argumento es mentiroso, engañoso.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Puedes explicarme a que te refieres por "... el rigor imprescindible para trabajar intuitivamente (semánticamente),...". Te aseguro que yo solo conozco un tipo de rigor pero jamás he oído hablar de rigor semántico y del rigor formal, ó al menos no tengo claro a que te refieres con eso, aclara la idea por favor. Cual es la diferencia para ti entre rigor semántico y rigor formal.

El rigor sintáctico es el rigor que ha de tener quien trabaja en el marco de una teoría axiomática: en teoría consiste en usar únicamente fórmulas sintácticamente correctas y formar con ellas demostraciones correctas, en el sentido de que cada afirmación sea un axioma de la teoría o una consecuencia de fórmulas anteriores por una regla de inferencia de la teoría.

En la práctica consiste en hacer razonamientos en castellano o cualquier otra lengua natural (los que verás en cualquier libro de matemáticas) que puedan formalizarse de acuerdo con el criterio anterior.

Por el contrario, el rigor semántico consiste en cuidar que toda afirmación que se haga tenga un significado bien definido, algo que no preocupa en ningún momento al matemático que trabaja en ZFC, que no es capaz de explicar el significado de ninguno de los conceptos que maneja, ya que cualquiera de ellos está definido a partir de los conceptos básicos de "conjunto" y "pertenencia", a los que no puede atribuir ningún significado concreto (y sin perjuicio de que algunos de los conceptos que maneja (pero no todos) sean susceptibles de ser interpretados intuitivamente, algo que resulta irrelevante al trabajar formalmente).

Proceder de forma rigurosa en un razonamiento sería, explicado de forma llana, limitarse a utilizar solo conceptos que hayan sido debidamente explicados previamente y no realizar tareas para las que no se haya reconocido antes la capacidad de hacerlas. Tanto semánticamente como formalmente. Y ese es el sentido en el que estoy utilizando la palabra rigor.

Nada de eso. Si dices que "todo buscio es finiscio" y que "el pofuscio de todo finiscio también es finiscio", puedes deducir con todo rigor (formal) que "el pofuscio del pofuscio de todo buscio es finiscio", pero lo que dices tiene rigor (semántico) cero, a menos que especifiques qué significan las palabras "buscio", "pofuscio" y "finiscio" de forma que tus "axiomas" resulten verdaderos.

Vuelves a acusarme de falta de rigor pero solo dices que no soy riguroso aunque no dices porqué. Repetición bis del argumento anterior.

Te lo he dicho varias veces. La primera fue esta:

Pues, como trataba de explicarte, tengo una duda muy seria únicamente con la palabra que te he puesto en negrita. Dudo que tengas una representación intuitiva de todas las cadenas posibles de dos elementos, en virtud de la cual puedas hacer afirmaciones en ausencia de un sistema axiomático. En particular, dudo de que tu cuarta "regla" sea verdadera. El quid de la cuestión es que aquí no vale lo de "es mi axioma, luego tienes que aceptarlo". Puedes partir de donde quieras, a condición de que tu punto de partida tenga sentido intuitivamente.

Trataré de explicar mejor mi objeción....

Puedes releer la continuación y, si algo no te ha quedado claro, pregunta.

Vaya, vuelves a acusarme de falta de rigor, aunque ahora dices porque, porque mis premisas carecen de sentido intuitivo claro.
Será para tí, porque para mi es muy claro. Imagino que estás haciendo referencia al sentido intuitivo de la 4ª premisa, que es la que parece que cuestionas. Dices que no es clara, pero no dices porque. ¿Puedes explicar porqué no es claro el sentido intuitivo de la 4ª premisa?

Te lo he explicado en el pasaje mío que acabo de citar, que a su vez he tratado de explicar con más detalle en mensajes posteriores. Otro pasaje que puedes releer es éste (y lo que hay antes y después):

¿Y qué sucede con tu colección de todas las sucesiones de dos signos? A priori, no parece llevar a ninguna contradicción, pero ¿podemos decir que su caso es diferente de los otros? ¿Tienes realmente una imagen intuitiva de la colección de todas las sucesiones de dos signos? Yo creo que no, pero, como mínimo, lo pongo en duda y no puedo aceptar tu regla 4. La clave es que el hecho de que indudablemente podemos representarnos intuitivamente algunas sucesiones de signos, no prueba que podamos representarnos intuitivamente la totalidad de las mismas, porque también podemos representarnos intuitivamente algunas colecciones de objetos y no en cambio la totalidad de las mismas.

Ahora por primera vez me das una réplica:

Te diré que para mi las familia a la que hago referencia en ese punto se asemeja a los puntos de un segmento. Te parece poco sentido intuitivo ese ó quieres otra analogía más gráfica. Te la puedo dar si quieres.

Y te respondo: eso no me parece intuitivo en absoluto. La teoría de conjuntos formaliza todos los conceptos como conjuntos, pero eso no es más que un convenio. Por ejemplo, "oficialmente", el número natural es el conjunto , o el número real puede pensarse como un conjunto de números racionales, o como un conjunto de sucesiones de números racionales, etc., pero eso son sólo convenios que no tienen nada de intuitivo (OJO: no interpretes esto como si estuviera diciendo que me parece artificial definir así los números reales, que tendéis a usar "intuitivo" en tantos sentidos dispares, que da miedo usar la palabra. Esas construcciones son naturales, razonables, sensatas, inteligentes, todo lo que quieras, pero no intuitivas, porque nada en la intuición de número lleva a concluir que un número es eso), si miras un punto en una recta, no verás, no intuirás, clases de equivalencia de sucesiones, ni nada parecido.

En particular, al tratar la geometría en el seno de ZFC, los puntos, las rectas, los planos, los segmentos, son "oficialmente" conjuntos de puntos, pero eso no tiene nada de intuitivo. Lo que te muestra la intuición son puntos, rectas, segmentos, etc. como determinadas figuras, de modo que en cada recta, plano, esfera, etc. puedes señalar puntos, pero no tienes ninguna intuición de la totalidad de los puntos de un segmento, o de una esfera, etc. Así, tu intuición, (que, a menos que hayas nacido en el planeta Melmak y te lo tengas callado, no creo que sea diferente de la mía) no te representa los segmentos, o los planos, o las esferas como conjuntos de puntos, ni mucho menos como sucesiones de signos xy. No hay nada intuitivo en esa asociación (bueno, algo de intuitivo sí hay, pues sé identificar un punto de la recta como el asociado al número , o al número , o a cualquiera que pueda determinarse por una construcción geométrica (no necesariamente realizable con regla y compas, que es una mera restricción "romántica"), pero no tú ni yo podemos decir que vemos en la recta el punto asociado a , ni ningún punto que, para situarlo en la recta en una geometría axiomática, requiera hacer referencia al axioma de continuidad en toda su generalidad (aunque algunos casos particulares del axioma de continuidad sí tengan contenido intuitivo, pero sería largo entrar aquí en detalles. Diré únicamente que el axioma de continuidad tiene en geometría un papel similar al que en ZFC tienen axiomas como el axioma de partes: extiende formalmente nuestra capacidad de razonamiento geométrico más allá de lo que nos permite nuestra intuición).

Yo solo digo que con esos conceptos puedo "a priori" establecer unas reglas que me permitirían realizar comparaciones entre cadenas para poder discernir sus carácterísticas fundamentales y sacar algunas conclusiones, y por supuesto todo basado en la intuición, nada más.

Si sólo dijeras eso, no te objetaría nada.

¿Es que he dicho otra cosa?

Claro, no te objeto que puedas comparar cadenas concretas, sino que puedas hablar en tus comparaciones de la totalidad de las cadenas como si dicha totalidad fuera un objeto del que tienes una representación intuitiva. Si no captas la sutileza no puedes entender nada de lo que te estoy diciendo. Pero la sutileza es esencial, porque marca una posible frontera para la metamatemática, una frontera más generosa que la de Brouwer y mucho más generosa que la de argentinator, pero que no es ni más ni menos que la que necesitas aceptar si quieres leer, por ejemplo, la tesis de Gödel sobre el teorema de completitud y concluir que no es un sinsentido.

La intuición es una facultad de representación, que me permite atribuir un contenido a priori a ciertos conceptos, como sucede cuando te representas el concepto de cubo, o el concepto de "tres" (imaginando tres puntos, o contando mentalmente "uno, dos, tres").  Eres tú quien confunde la intuición con el pensamiento. Pareces confundir intuición con "contenido mental". En tu mente caben muchas más cosas que en tu intuición. Puedes pensar y razonar sobre un cubo de cuatro dimensiones, contar informalmente sus vértices y aristas, pero no puedes imaginártelo, no puedes representártelo, no puedes intuirlo.

Falso, tengo una imagen geométrica y perfectamente definida de dicha familia, y ya te hice notar antes cual era.

Y ha sido un buen intento, pero, como ya te he explicado, tengo que dudar de que realmente tengas esa intuición. Tú no puedes ver un segmento y decir que estás viendo un conjunto infinito de puntos que se puede poner en correspondencia con tus sucesiones de signos xy. Todo eso lo afirmas porque conoces una teoría formal llamada ZFC en la que eso se puede demostrar, y observa que la demostración tiene dos partes, una que tiene que ver con la relación entre los números reales y sus expresiones decimales y otra con el axioma de continuidad en la geometría euclídea, que te permite identificar los puntos de una recta con números reales. El axioma de continuidad no tiene contenido intuitivo pleno, sino que es una extensión formal de algunos casos particulares intuitivamente verdaderos. Confundes intuición con razonamiento formal a partir de axiomas arbtrarios, y son cosas muy distintas.

MI respuesta a las tres preguntas es afirmativa. Incluyo la última: puedo representarme intuitivamente algunas familias infinitas de cadenas infinitas, como la familia de todas las cadenas finalmente constantes. Afirmo que dicha familia tiene un contenido intuitivo porque puedo atribuirle un significado a cualquier afirmación sobre todas ellas, o a cualquier afirmación que exprese la existencia de una de ellas con alguna propiedad en particular (bien definida), pero no me parece riguroso que pretendas pasar como concepto intuitivo la totalidad de las sucesiones infinitas de signos xy.

Ya he contestado a eso antes.

Cierto, y yo te he replicado.

Estoy tratando de entender tus razonamientos, para lo cual debo esclarecer tu opinion sobre mis aportes.

Muy sensato.

Hasta el momento tus argumentos no se sostienen porque solo haces que exponerlos pero no justificarlos

Eso no es cierto. Te he citado pasajes míos donde creo que están más que justificadas las cosas que dices que no justifico.

y incluso algunos de ellos son verdaderas falacias, como el que hace alusión al contenido intuitivo de la 4ª premisa. Y lo llamo falacia porque tú sabes bien que ese argumento es mentiroso, engañoso.

Pues me temo que esa "falacia" es, desde mi punto de vista, un hecho crucial que hay que tener presente indefectiblemente si uno quiere ser semánticamente riguroso: el tener un conocimiento intuitivo de instancias concretas de un concepto no implica en general que el concepto de la totalidad de dichas instancias tenga un concepto intuitivo. Es algo que no tiene un equivalente cuando uno busca el rigor sintáctico, por lo que resulta extraño a quienes pretenden adentrarse en la metamatemática sin estar dispuestos a "cambiar de chip", y no es extraño que traten de falaz a quien trate de explicárselo, pero allá tú: quien cree entender la metamatemática, es que entiende eso o es que carece de un fino (y sano) espíritu crítico como el de argentinator (que sólo deja de ser sano al negarse a entender cosas como ésta, pero que en sí mismo es sano).

Lo que me choca es que realmente puedas creer que empleo a propósito argumentos que no me creo. ¿Qué sentido tendría entonces que estuviera dándote la réplica? Ahora mismo, antes de ver tu post, estaba estudiando cómo se construyen modelos de ZFC dentro de la teoría NFU. ¿Crees que me resulta más interesante contestarte a ti que estudiar eso? Pues no, me parece más interesante estudiar NFU. Propuse este debate a argentinator porque noté su pasión por las matemáticas y me supo mal ver que se le atragantaba la metamatemática, y pensé que podría ayudarlo a darse cuenta de que esa confabulación mundial de todos los expertos en lógica para silenciar los agujeros de la fundamentación de la matemática no existe, que todo está en orden, y que el problema es que el (como tú) ve problemas donde no los hay y cree (aunque esto va más por ti) que no hay problemas donde sí los hay. No parece estar funcionando, pero, mientras me pidáis explicaciones, trataré de dároslas, pero por la remota esperanza de que al final podríais entender lo que pasa y así se os abrirían muchas puertas (mejor dicho, muchos libros interesantes que ahora no podéis entender, no por falta de capacidad, sino por sobra de prejuicios).

¿Qué iba a ganar tratando de engañaros? Yo aquí no tengo nada que ganar, solo tiempo que perder (si es que al final no consigo haceros ver cómo es el mundo real de la intuición, fuera del paraíso de las matemáticas).

Pero lo que más me sorprende: ¿qué haces tú discutiendo con alguien que crees que obra de mala fe y aporta argumentos que no le convencen? Si yo pensara que tú me llevas la contraria por contradecirme y que no crees realmente lo que dices, ya hace tiempo que habría dejado de discutir contigo, porque consideraría que me estás tomando el pelo, y no acostumbro a regalar mi tiempo a alguien que pretende tomarme el pelo. Eres libre de pensar lo que quieras, pero si realmente piensas que obro de mala fe y sigues discutiendo conmigo... creo que deberías reconectar algunas neuronas y/o buscar algún pasatiempo más entretenido, constructivo y provechoso.

[Jabato]

Puedes explicarme a que te refieres por "... el rigor imprescindible para trabajar intuitivamente (semánticamente),...". Te aseguro que yo solo conozco un tipo de rigor pero jamás he oído hablar de rigor semántico y del rigor formal, ó al menos no tengo claro a que te refieres con eso, aclara la idea por favor. Cual es la diferencia para ti entre rigor semántico y rigor formal.

El rigor sintáctico es el rigor que ha de tener quien trabaja en el marco de una teoría axiomática: en teoría consiste en usar únicamente fórmulas sintácticamente correctas y formar con ellas demostraciones correctas, en el sentido de que cada afirmación sea un axioma de la teoría o una consecuencia de fórmulas anteriores por una regla de inferencia de la teoría.

En la práctica consiste en hacer razonamientos en castellano o cualquier otra lengua natural (los que verás en cualquier libro de matemáticas) que puedan formalizarse de acuerdo con el criterio anterior.

Por el contrario, el rigor semántico consiste en cuidar que toda afirmación que se haga tenga un significado bien definido, algo que no preocupa en ningún momento al matemático que trabaja en ZFC, que no es capaz de explicar el significado de ninguno de los conceptos que maneja, ya que cualquiera de ellos está definido a partir de los conceptos básicos de "conjunto" y "pertenencia", a los que no puede atribuir ningún significado concreto (y sin perjuicio de que algunos de los conceptos que maneja (pero no todos) sean susceptibles de ser interpretados intuitivamente, algo que resulta irrelevante al trabajar formalmente).

Proceder de forma rigurosa en un razonamiento sería, explicado de forma llana, limitarse a utilizar solo conceptos que hayan sido debidamente explicados previamente y no realizar tareas para las que no se haya reconocido antes la capacidad de hacerlas. Tanto semánticamente como formalmente. Y ese es el sentido en el que estoy utilizando la palabra rigor.

Nada de eso. Si dices que "todo buscio es finiscio" y que "el pofuscio de todo finiscio también es finiscio", puedes deducir con todo rigor (formal) que "el pofuscio del pofuscio de todo buscio es finiscio", pero lo que dices tiene rigor (semántico) cero, a menos que especifiques qué significan las palabras "buscio", "pofuscio" y "finiscio" de forma que tus "axiomas" resulten verdaderos.

¿Y cual de los dos te parece que he violado?, ¿a cual de los dos he faltado? Porque yo creo que mis palabras han sido hasta el momento claras, y los conceptos utilizados han sido explicados también con claridad y todavía no he realizado ninguna inferencia para que se me pueda acusar de falta de rigor formal. Así que no veo la falta de rigor por ninguna parte.

1ª.- En una primera regla debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamaré ... ).

2ª.- En una segunda regla afirmaremos que somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

3ª.- A la colección de todas las cadenas correspondiente a una determinada ley la denominamos secuencia.

4ª.- A la colección de todas la cadenas posibles que podamos formar con esos dos elementos le llamaremos familia

Te empeñas por otro lado en mantener que el concepto de familia de cadenas no es un concepto intuitivo porque no tengo una imagen mental de tal cosa, y no estoy de acuerdo en absoluto con esa apreciación. Creo que deberíamos debatir un poco más que es lo que entendemos por intuición y que es lo que entendemos por concepto intuitivo, porque si estás de acuerdo en que el concepto de infinito, en cualquiera de sus formas, es un concepto intuitivo, ya me explicaras cual es la imagen mental que tienes tu de tal cosa. A ver explícame como te imaginas el infinito, que imagen mental tienes de ese concepto. Y si por otro lado el infinito no fuera un concepto intuitivo entonces ... ¿como es posible que aceptes como conceptos intuitivos los conceptos de cadena infinita y de secuencia? No te estas contradiciendo. Piensa que el intuicionismo no reconoce el infinito en ninguna de sus formas y rechaza de plano cualquier concepto que presente dicha característica. De cualquier manera aquí no hablamos de intuicionismo, sino de conceptos intuitivos, que no es lo mismo. Para mí un concepto intuitivo, ya lo expliqué en un mensaje anterior, es un concepto que no puede ser ni percibido ni demostrado, el infinito cae por lo tanto de plano entre los conceptos intuitivos y la familia de todas las cadenas que pueden formarse con los elementos e por supuesto que también.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

¿Y cual de los dos te parece que he violado?, ¿a cual de los dos he faltado? Porque yo creo que mis palabras han sido hasta el momento claras, y los conceptos utilizados han sido explicados también con claridad y todavía no he realizado ninguna inferencia para que se me pueda acusar de falta de rigor formal. Así que no veo la falta de rigor por ninguna parte.

...

Te empeñas por otro lado en mantener que el concepto de familia de cadenas no es un concepto intuitivo...

No, por otro lado no, por el mismo lado. La respuesta a tu pregunta es lo que dices después como si fuera otra cosa. Te digo que tu planteamiento no es semánticamente correcto precisamente porque pretendes presentar la totalidad de las sucesiones de signos xy como un concepto con significado intuitivo, y no te puedo reconocer tal cosa. Un razonamiento intuitivo no puede basarse en la intuición del que habla, sino en la del que escucha. Si entendemos "argumento" en su sentido clásico de "discurso racional que pretende convencer sin engaños", para convencer a alguien con argumentos intuitivos tienes que apelar a verdades que quien te escucha reconozca como intuitivas (aunque también tú las debes reconocer como tales, porque si no estarías afirmando algo que no te convence a ti mismo), y sucede que yo no puedo reconocer un contenido intuitivo en tu concepto de totalidad de sucesiones, y aquí es fundamental que me aceptes que no te llevo la contrara por frustrar tu argumento o por salirme con la mía a cualquier precio, sino que sinceramente creo que ni mi intuición me proporciona un contenido intuitivo a tu concepto, ni la tuya tampoco, aunque creas sinceramente lo contrario porque confundes intuición con pensamiento.

Te empeñas por otro lado en mantener que el concepto de familia de cadenas no es un concepto intuitivo porque no tengo una imagen mental de tal cosa, y no estoy de acuerdo en absoluto con esa apreciación. Creo que deberíamos debatir un poco más que es lo que entendemos por intuición y que es lo que entendemos por concepto intuitivo, porque si estás de acuerdo en que el concepto de infinito, en cualquiera de sus formas, es un concepto intuitivo, ya me explicaras cual es la imagen mental que tienes tu de tal cosa. A ver explícame como te imaginas el infinito, que imagen mental tienes de ese concepto. Y si por otro lado el infinito no fuera un concepto intuitivo entonces ... ¿como es posible que aceptes como conceptos intuitivos los conceptos de cadena infinita y de secuencia? No te estas contradiciendo.

Supongo que falta un par de interrogaciones en la última frase.

No, no estoy de acuerdo en que el concepto de infinito en cualquiera de sus formas es un concepto intuitivo. No tengo intuición alguna del concepto formal de . En particular, no tengo imagen mental alguna de "el infinito", más que nada porque "infinito" es un adjetivo y sustantivar un adjetivo anteponiéndole un artículo es un formalismo del castellano (y de muchas otras lenguas) que sirve para alterar la lógica superficial de las frases, como cuando digo "lo bueno es caro", cuyo significado real esconde una cuantificación: "todas las cosas buenas son caras". Y aquí volvemos al principio de siempre que, como te dije es fundamental, aunque tú lo llames falacia (voy a destacarlo):

El hecho de que la intuición nos proporcione instancias concretas de un concepto no implica que nos proporcione un contenido al concepto de la totalidad de las instancias de ese concepto

Así, por ejemplo, pasar del concepto intuitivo de "infinito" en el sentido de que la intuición nos proporciona instancias concretas de conjuntos infinitos, como el conjunto de los números naturales, el conjunto de las sucesiones finitas de signos xy, etc., pasar de ahí, digo, al concepto de "el infinito", que pretende representar "la totalidad de los conjuntos infinitos", igual que "lo bueno" pretende representar "la totalidad de las cosas buenas" en la frase que te he puesto antes como ejemplo, es una falta de rigor semántico. Mi argumento es siempre el mismo. Compara:

A) Mi intuición me permite representarme y, reconocer como tales, sucesiones infinitas de signos xy, pero
B) No tengo ninguna representación intuitiva de la totalidad de las sucesiones infinitas de signos xy.

A') Mi intuición me permite representarme y reconocer conjuntos infinitos, pero
B') No tengo ninguna representación intuitiva de "el infinito" o la totalidad de conjuntos infinitos.

Piensa que el intuicionismo no reconoce el infinito en ninguna de sus formas y rechaza de plano cualquier concepto que presente dicha característica. De cualquier manera aquí no hablamos de intuicionismo, sino de conceptos intuitivos, que no es lo mismo.

Los intuicionistas son más restrictivos en cuanto al grado de confianza que depositan en la intuición, pero, como bien dices, no es de lo que hablamos aquí. Mi opinión (comentario marginal) es que si Brouwer no hubiera defendido sus tesis en un momento en que los matemáticos estaban desconcertados sobre la fundamentación de la matemática, sino que las hubiera presentado hoy en día, a lo máximo a lo que habría llegado es a montarse una página web visitada por un par de centenares de frikis o, como máximo, a recibir las alabanzas de otros tantos filósofos, pero nada más.

Rescato una frase tuya que antes ha quedado perdida entre otras:

Creo que deberíamos debatir un poco más que es lo que entendemos por intuición y que es lo que entendemos por concepto intuitivo.

Gran verdad. Obviamente, cada cual es libre de llamar "intuición" a lo que quiera, pero, obviamente también, cuando yo afirmo que "la intuición permite fundamentar satisfactoriamente y con todo rigor la matemática formal", no puedes entender esta afirmación interpretando "intuición" como lo que tú prefieras llamar "intuición", sino como lo que yo estoy entendiendo ahí por "intuición", que es algo mucho más restrictivo que lo que argentinator entiende por intuición (pues para él es cualquier argumento chapucero) y también más restrictivo que lo que tú pareces entender por intuición (que no pareces ir tan lejos como él pero confundes "conceptos que puedes intuir" con "conceptos en los que puedes pensar y sobre los que te sientes capaz de razonar formalmente".

Para mí un concepto intuitivo, ya lo expliqué en un mensaje anterior, es un concepto que no puede ser ni percibido ni demostrado,  el infinito cae por lo tanto de plano entre los conceptos intuitivos y la familia de todas las cadenas que pueden formarse con los elementos e por supuesto que también.

Esa "definición" es puramente negativa, y es muy difícil que una definición negativa pueda caracterizar realmente algo. Según esa "definición", el infinito, tus cadenas de signos xy, Dios, los fantasmas y la influencia sobre tu destino de la posición en que estaba Marte el día que naciste, son todos conceptos intuitivos, luego tu afirmación de que conocemos intuitivamente la totalidad de las cadenas de signos xy tiene la misma fuerza de convicción que si afirmaras que podemos intuir a Dios o la verdad de la astrología.

La intuición es una facultad de representación que no puede ser definida por la misma razón que no puedes definirle a un ciego lo que es ver el color rojo, pero lo que tú estás haciendo es decirme que ves el color ultravioleta porque sabes que existe un "color" ultravioleta. Confundes lo que ves con lo que sabes. Es como si yo sé que algo ha ocurrido y no recuerdo bien si lo sé porque lo he visto o porque me lo han contado.

Te propongo que olvides por el momento tus sucesiones, que son más complicadas, y pensemos en algo más sencillo para empezar:

La geometría tridimensional euclídea es una geometría que puede presentarse axiomáticamente, exactamente igual que la geometría cuatridimensional euclídea. Vistas como teorias axiomáticas formales, son indistinguibles, pero tú sabes muy bien que hay una diferencia entre ellas, y es que la primera la podemos intuir, y la segunda no. Intuir, en este contexto (ya generalizaremos) significa que no necesitamos decir "hablamos de puntos, rectas y planos sin saber lo que son pero aceptando que cumplen estos axiomas", sino que si alguien te explica qué queremos decir por punto, recta y plano (y más cosas, pues la geometría tiene más conceptos fundamentales, como congruencia de segmentos, la relación "estar entre", etc.), si te dicen qué significa intuitivamente cada uno de esos conceptos, ya no necesitas axiomas, pues los axiomas de la geometría tridimensional euclídea son unas pocas afirmaciones intuitivamente evidentes de entre una infinidad de otras afirmaciones intuitivamente evidentes.

Esto hace que, una vez dispuestos a apoyarnos en nuestra intuición, el concepto de "axioma" se vuelve vacío, casi ridículo, pues es ridículo gastar varias páginas en demostrar algo intuitivamente evidente a partir de unos axiomas intuitivamente evidentes. Eso sí, no hay que olvidar que a partir de afirmaciones intuitivamente evidentes se puede demostrar otras afirmaciones geométricas que no son intuitivamente evidentes, pero sí intuitivamente verdaderas, porque se deducen lógicamente de afirmaciones intuitivamente evidentes.

Los elementos de Euclides no son formalmente rigurosos, pues Euclides usa muchos hechos que no se deducen formalmente de sus axiomas, pero son semánticamente rigurosos, porque cualquier afirmación que hace en un momento dado que no se deduzca de nada anterior es intuitivamente verdadera. Los elementos de Euclides son perfectos, no tienen ningún fallo, pues en sus argumentos combinan afirmaciones intuitivamente evidentes (sean axiomas o afirmaciones nuevas) con argumentos lógicamente correctos, luego tienes la garantía de que todos sus teoremas son intuitivamente verdaderos.

Sin embargo, no podemos desarrollar una geometría cuatridimensional euclídea al estilo de Euclides, porque, como ahí nuestra intuición no nos proporciona un contenido al concepto de "hiperplano", o plano de tres dimensiones, lo único que podemos hacer es aceptar unos axiomas y cuidar de no decir nunca nada que no sea un axioma o un teorema.

Fíjate que la diferencia entre ambas geometrías no es intrínseca a ellas mismas. Podría haber un extraterrestre que dijera no ser capaz de dar una interpretación intuitiva a nuestros conceptos geométricos, mientras que si él axiomatiza su geometría intuitiva como nosotros sabemos axiomatizar la nuestra, podríamos encontrarnos con que su geometría intuitiva es lo que nosotros llamamos "geometría de Lobachevski", que no tiene (para nosotros) nada de intuitiva. Que nuestra intuición sea la que es depende de que nuestra mente es como es.

En resumen, y con el propósito de precisar lo que entiendo por "intuición" y sin meternos de momento en cuestiones infinitas (te anticipo, para que no vayas perdido, que mi intención a medio plazo es abordar tu argumento de que podemos ver a los segmentos como conjuntos de puntos):

No te puedo pedir que mejores tu definición de intuición, porque la intuición no puede definirse, al menos no operativamente, pero ¿podrías "reajustar", si es necesario, tu concepto de intuición para coincidir conmigo en que hay una diferencia fundamental entre "cubo de tres dimensiones" y "cubo de cuatro dimensiones", y que esa diferencia puede expresarse diciendo que el primer concepto tiene un significado intuitivo y el segundo no?

No sé muy bien qué querías decir cuando decías que un concepto intuitivo no puede ser percibido. Si te referías a que no es una percepción física, de acuerdo, pero si empleas "percepción" en el sentido de "tener una imagen de él", entonces eso es totalmente falso, la esencia de un concepto intuitivo es que tenemos una imagen mental muy concreta de él, a pesar de que no es la imagen que resulta de percibir algo físico. (Con el infinito habrá que matizar, pero ya llegaremos.) Yo puedo "percibir" (no en el sentido físico, sino en el sentido intuitivo) un cubo de tres dimensiones, porque puedo imaginármelo, contar mentalmente sus vértices, caras y aristas, puedo imaginármelo desde distintos ángulos y comprender que es el mismo objeto visto desde distintos ángulos, y no dos objetos sin relación, etc.

A ver si esto te sirve como primera aproximación a lo que es "intuir": intuir es percibir una imagen, pero que no es la imagen que resulta de percibir un objeto físico, sino una imagen que nuestra mente es capaz de formase a priori, siguiendo unas reglas que conocemos porque nuestro entendimiento nos permite hacer afirmaciones generales sobre qué podemos imaginar y qué no podemos imaginar. Por ejemplo, sabemos perfectamente que no podemos imaginarnos cuatro rectas perpendiculares dos a dos, mientras que sí que podemos imaginarnos tres de ellas.

No podemos demostrar que existe la intuición. Sólo puedes constatar que, en efecto, puedes construirte tales imágenes a priori, y constatar que, en efecto, puedes representarte (intuir) tres rectas paralelas dos a dos y constatar que tienes la absoluta convicción de que eres incapaz de representarte cuatro de ellas.

Hay que advertir que todo esto es parcial, porque tenemos dos tipos de intuición: la intuición espacial y la intuición temporal, y aquí sólo estoy hablando de la espacial, pero ya llegaremos. Creo que la espacial es más sencilla de entender y precisar.

¿Crees que lo dicho puede ayudar a que acabemos entendiendo qué quiero decir por "intuición", aunque sea en el caso espacial, con el que aún no hemos terminado, y a falta de abordar el caso temporal?

Lo más importante que destacaría aquí es que te aclararas con lo de que "lo intuitivo no se puede percibir". Insisto en que si te referías a percepción física es correcto, pero si no, es radicalmente falso y mientras entiendas así lo que es la intuición no nos entenderemos. Ya me dirás algo.

[Jabato]

Bueno, voy a cambiar la redacción de las propuestas del juego, a ver si de esta otra forma te convenzo, pero no porque esté de acuerdo con tus argumentos, sino por evitar seguir discutiendo este punto que creo que no nos va a conducir a nada:

1ª.- En una primera regla debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamaré ... ).

2ª.- En una segunda regla afirmaremos que somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

3ª.- A la colección de todas las cadenas correspondiente a una determinada ley la denominamos secuencia.

4ª.- Cualquier cadena que podamos formar con esos dos elementos diremos que pertenece a la familia

Porque si ésta te vale, a mi también.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Hombre, tu nueva propuesta es una "triquiñuela de abogado", dicho así, no puedo objetarte nada, pero es una ficción. Lo que sucede es que, si partes de ahí, tarde o temprano, inadvertidamente para ti, pasarás a referirte a f(x,y) en el sentido originario no intuitivo que pretendías darle, y ahí tendré que pararte y retomar la discusión que ahora quieres evitar. Esto no es más que posponer artificialmente el problema. Allá tú, pero creo que lo que realmente aportaría algo sería lo que proponías en tu post anterior: discutir qué debemos entender por "intuición" si queremos tener un concepto de intuición que pueda realmente servir como base a la fundamentación de la matemática. Mientras tu concepto de intuición sea tan amplio como parece ser, porque aceptas como intuitivos a contenidos mentales arbitrarios, estaremos en desacuerdo cada dos por tres, y llegará un punto en que los apaños como el que propones no te permitirán seguir avanzando como pretendes.

Me parece absurdo que pretendas proponerme una fundamentación intuitiva de los sistemas numéricos y a la vez pretendas eludir las grandes diferencias que hay entre nosotros respecto a qué debemos entender por "fundamentación intuitiva", pero adelante, si tienes esperanzas de llegar a algún sitio de este modo.

Añado lo que sigue, para precisar:

Acepto entonces que uses "tal cosa pertenece a " como equivalente a "tal cosa es una cadena finita o infinita formada por los signos x e y", entendiendo que, para que esto tenga sentido "tal cosa " ha de estar intuitivamente bien definida, es decir, ha de ser una cadena de signos concreta, y que no has definido (no has atribuido un significado intuitivo) a la familia , sino únicamente a la frase "tal cosa pertenece a ".

[Garubi]

...

1ª.- [En una primera regla] debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamaré ... ).

2ª.- [En una segunda regla afirmaremos que] somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

3ª.- A la colección de todas las cadenas correspondiente a una determinada ley la denominamos secuencia.

4ª.- A la colección de todas la cadenas posibles que podamos formar con esos dos elementos le llamaremos familia [/i][/color]
...

...
Puede -y debe- decirse para cualquier a y b de M: que a precede a b; y que b sucede a a;
puede -y debe- decirse, que para todos a, b y c de M: que a precede a b y a c; b precede a c y c sucede a a y a b
...
El contexto es ZFC.

...No es preciso decir nada más, si atendiendo exclusivamente a su cardinal, queremos saber si un conjunto infinito es numerable, en sentido lato.
Lo será si podemos demostrar que el conjunto -el modelo-, cumple en cualquier caso -para todo término-, estas leyes.
Cumple estas leyes si siempre que el conjunto sea dado, existe un orden en que pueden ser dados todos los elementos, a satisfacción de estas leyes.
Este orden existe siempre, si se dispone de un esquema general para la construcción de una enumeración unívoca de sus elementos, tal que conociendo el número conocemos su antecesor y su sucesor.
Si se dispone de un esquema general para la construcción de una permutación de un ciclo para cualquier conjunto dado, se dispone de una ley de numerabilidad para cualquier conjunto dado, pues podemos partir de cualquier elemento, tomarlo como primero y llegar al último de todos los elementos del conjunto dado.
Si se dispone de un esquema general para la construcción de una permutación de un ciclo para cualquier conjunto de partes dado, se dispone de una ley de numeración general para cualquier conjunto de partes.
La numerabilidad es una habilidad.
Ningún conjunto numerable es necesariamente dado numerado, atendiendo a su cardinal. Si es numérico, el orden de los números puede estar cambiado, factor que no alteraría en ningún caso la cardinalidad del conjunto. El número (de la numeración dable), en este caso, sería la etiqueta o nombre de cada indivíduo, y lo único que sabríamos a priori de cada indivíduo es que tiene una y sólo una etiqueta.
Si es un conjunto de números (ciñámonos a naturales y reales, por ahora), la numerabilidad sería la habilidad de recubrir dicho conjunto con un conjunto finito de signos dado, como herramienta de construcción de nombres/etiquetas.
¿Se agota la habilidad de construír etiquetas para números porque el número de cifras de cada número sea infinito?
No, porque el presupuesto es que el conjunto nos ha sido dado. No necesito conocer el número, sino etiquetarlo unívocamente. Etiqueto al indivíduo, no todas y cada una de sus tripas.
¿Puedo hacer esto sin repetir una secuencia ya utilizada?
Sí, si dispongo de un esquema general de recubrimiento tal que dados dos números cualesquiera del sistema, puedo determinar cual es el primero y cual el segundo, y dados tres, cual es el primero, cual es el segundo y cual es el tercero.
Si me ha sido dado, ya dispongo de esto, si dispongo de una permutación de un ciclo para cualquier conjunto de partes de , si tiene más de 3 elementos.
Los elementos de pueden tener cuantas propiedades curiosas tengan, pero sus elementos, como herramienta de numeración, dan mucho de sí.

¿Entiendes ahora, donald, sobre qué base argumento?
Se trata de la perfección de un modelo, quizás inalcanzable, pero siempre perfectible, si es que no se puede alcanzar la perfección.
Yo descarto ZFC como modelo.
Encontrarle una contradicción explícita era una deuda que adquirí a capricho -voluntariamente-, porque el teorema de Cantor -el cardinal de un conjunto es estrictamente menor que el de su conjunto de partes-, me rechinaba. Ahora creo encontrarme en condiciones de demostrar que este teorema es contradictorio -demostrando su contrario-, y así pagar mi deuda, porque dispongo de la habilidad de numerar -con una permutación explícita de un ciclo, de los elementos de , del 0 a o del 1 a , me da igual-, cualquier conjunto de partes de .

Lo hice en una respuesta anterior para 8, pero estoy en disposición de hacerlo para cualquier otra potencia de 2, dada, porque dispongo de dicho esquema de construcción de un orden, que puede empezar por cualquier miembro de teniéndose la certeza de que se termina por el último, sin atender a quienes son cada uno, sino a que son uno cada uno.
Esta es la gracia de una permutación de un ciclo.
Dame un conjunto numerado con un cardinal igual -o menor- al de cualquier sección completa de , y yo te doy un esquema de numeración inagotable, sin salir del cardinal de un conjunto numerado con tantos elementos como los que van de 0 a , o de 1 a , tal que para todo elemento de dicho recubrimiento se verifican las leyes dadas.

Mi conclusión, es que cualquier conjunto con el cardinal de una sección de infinita cualquiera, es tan numerable como cualquier conjunto con el cardinal de una sección infinita de , siendo las secciones conjuntos de partes (potencias de 2 cualesquiera).

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

¿Entiendes ahora, donald, sobre qué base argumento?
Se trata de la perfección de un modelo, quizás inalcanzable, pero siempre perfectible, si es que no se puede alcanzar la perfección.

Pues, me temo que sigo sin entendeer nada, y te aseguro que no es mi intención hacerme el tonto, pero si el resumen es esta frase sobre perfecciones, me parece muy filosófico y muy poco matemático.

Dame un conjunto numerado con un cardinal igual -o menor- al de cualquier sección completa de , y yo te doy un esquema de numeración inagotable, sin salir del cardinal de un conjunto numerado con tantos elementos como los que van de 0 a , o de 1 a , tal que para todo elemento de dicho recubrimiento se verifican las leyes dadas.

Mi conclusión, es que cualquier conjunto con el cardinal de una sección de infinita cualquiera, es tan numerable como cualquier conjunto con el cardinal de una sección infinita de , siendo las secciones conjuntos de partes (potencias de 2 cualesquiera).

No sé muy bien a qué llamas (para mí sería la clase de todos los ordinales, pero no sé si para ti también.) Pero no hace falta que te vayas por las nubes. Yo te doy , y espero que me des una demostración válida en ZFC de que es numerable. Si me la das, habrás demostrado que ZFC es contradictorio, pero si no...

[Jabato]

Bueno, ya que planteas discutir y tratar de llegar a un acuerdo el lo que debemos considerar "concepto intuitivo", vamos a ello. Yo ya expuse mi opinión al respecto, aunque todavía espero una definición concreta del tuyo, para mi un concepto intuitivo es todo aquel que no puede ser percibido ni demostrado (en sentido positivo ó negativo). Parece que tu reproche al respecto es que eso es una definición demasiado amplia, pero no veo porqué es inaceptable.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Bueno, ya que planteas discutir y tratar de llegar a un acuerdo el lo que debemos considerar "concepto intuitivo", vamos a ello. Yo ya expuse mi opinión al respecto, aunque todavía espero una definición concreta del tuyo, para mi un concepto intuitivo es todo aquel que no puede ser percibido ni demostrado (en sentido positivo ó negativo). Parece que tu reproche al respecto es que eso es una definición demasiado amplia, pero no veo porqué es inaceptable.

Saludos, Jabato.

¿Eso es todo lo que tienes que replicar a lo que te he replicado yo? Yo me preocupo de contestar razonadamente a todo cuanto dices, pero tú te permites pasar por alto todo lo que yo digo. ¿No tienes nada que decir, por ejemplo, a esto?:

Esa "definición" es puramente negativa, y es muy difícil que una definición negativa pueda caracterizar realmente algo. Según esa "definición", el infinito, tus cadenas de signos xy, Dios, los fantasmas y la influencia sobre tu destino de la posición en que estaba Marte el día que naciste, son todos conceptos intuitivos, luego tu afirmación de que conocemos intuitivamente la totalidad de las cadenas de signos xy tiene la misma fuerza de convicción que si afirmaras que podemos intuir a Dios o la verdad de la astrología

¿No te parece problemático dar una definición de "concepto intuitivo" que sea satisfecha por el concepto de Dios? Porque Dios no puede ser percibido ni demostrado.

Me pides explicaciones (y eso que no dejo de dártelas sistemáticamente), pero si yo te pregunto a ti esto:

Lo más importante que destacaría aquí es que te aclararas con lo de que "lo intuitivo no se puede percibir". Insisto en que si te referías a percepción física es correcto, pero si no, es radicalmente falso y mientras entiendas así lo que es la intuición no nos entenderemos. Ya me dirás algo.

¿no crees que deberías aclararme a qué te refieres con "no se puede percibir"? ¿No crees que un diálogo honesto exige responder cuando te piden aclaraciones y no sólo pedirlas cuando ya se te han dado?

¿Cómo puedes decir esto:

Yo ya expuse mi opinión al respecto, aunque todavía espero una definición concreta del tuyo

sin comentar nada sobre esto?:

A ver si esto te sirve como primera aproximación a lo que es "intuir": intuir es percibir una imagen, pero que no es la imagen que resulta de percibir un objeto físico, sino una imagen que nuestra mente es capaz de formase a priori, siguiendo unas reglas que conocemos porque nuestro entendimiento nos permite hacer afirmaciones generales sobre qué podemos imaginar y qué no podemos imaginar. Por ejemplo, sabemos perfectamente que no podemos imaginarnos cuatro rectas perpendiculares dos a dos, mientras que sí que podemos imaginarnos tres de ellas.

Y éstos son unos pocos ejemplos de cómo pides explicaciones para luego no hacerles ni caso. Tu conducta no es seria. ¿De verdad crees que se puede resumir algo como "qué es la intuición" en una definición simplona como la que pretendes dar y pretendes que yo te dé otra similar? La intuición es una facultad compleja, que no puede definirse, sino analizarse, y el análisis es complejo y requiere aproximaciones sucesivas. Yo he intentado iniciar ese análisis, pero tu respuesta da la impresión de que te has leído por encima mi post, has entresacado dos líneas y has replicado aludiendo a ellas, sin preocuparte lo más mínimo por las demás.

Me pides que te explique lo que ya te he explicado, que no es lo mismo que pedirme aclaraciones sobre lo que ya te he explicado, sino que vuelves a empezar como si no hubiera dicho nada al respecto. ¿Por qué no coges el post del que te estoy sacando extractos y te decides a responderlo seriamente, como yo hago con todos tus posts, es decir, aclarando con qué estás de acuerdo y con qué no y, en el caso de no estar de acuerdo, me digas y argumentes tu punto de vista, como yo hago sistemáticamente con tus posts?

Nuestra participación en esta discusión no es simétrica: yo sostengo un punto de vista de forma coherente y argumentada, replicando concienzudamente a toda réplica. Tú te limitas a no leer y decir algo por aquí y algo por allá, respondiendo a alguna frase mía, normalmente a lo más superficial, y haciéndote el sordo a todo cuanto digo de más peso.

Así no podemos llegar a ningún sitio.

[Jabato]

Bueno, fuiste tu quien propuso este debate y me pareció adecuado establecer unas posiciones claras de partido y por eso expuse mi definición, la que he usado desde el comienzo del debate. Y la repito aquí de forma los más clara posible para que no haya dudas:

"Concepto intuitivo, en mi opinión, es todo aquel que no puede ser percibido ni demostrado"

y me parece adecuado que tu hagas lo propio, para que ambos tengamos un punto de partida claro y para que podamos llegar a un acuerdo, así que si me das tu propia definición de forma clara, tal y como yo lo hice, en lugar de poner objeciones a la mía, te lo agradecería.

NOTA: Tienes algún problema en que Dios sea un concepto establecido en una teoría metalógica, lógica ó incluso matemática, porque yo no lo tengo, aunque habría que ver si fuera posible hacer tal cosa y no llegar a contradicción, pero eso sería la segunda parte no la primera. Por ejemplo que problema tendrías en hacer esto:

1ª.- En una primera regla debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamaré ... ).

2ª.- En una segunda regla afirmaremos que somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

3ª.- A la colección de todas las cadenas correspondiente a una determinada ley la denominamos secuencia.

4ª.- Cualquier cadena que podamos formar con esos dos elementos diremos que pertenece a la familia

5ª.- Dios existe

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Pues si no tienes ningún problema en admitir como fundamento serio de la matemática algo que permite igualmente fundamentar la teología, ya te has retratado. No creo que haga falta añadir nada más para descartar tus planteamientos.

[Jabato]

El que todavía no se ha retratado has sido tú y aún lo estoy esperando.

¿Cual es tu definición de concepto intuitivo?

Saludos, Jabato.

[Jabato]

(!)   

Nota: Mientras no establezcamos una relación entre Dios y los demás objetos de la teoría, que nos permita establecer en que forma interactúa Dios con nuestro razonamiento ¿que problema hay?

Me parece que estás bastante influenciado por los prejuicios y que solo haces que repetir lo que vas leyendo por ahí, pero que si te cambian el guión pues te ves algo perdido. ¿Porque tardas tanto en dar tu definición de concepto intuitivo? ¿Es que la estás buscando ó es que no la tienes?

Jabato.

[Jabato]

Me tienes sobre ascuas, ¿recuerdas que aún estoy esperando?

Jabato.

[Jabato]

Y bien ...