¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

[Carlos Ivorra]

Bueno, por cadena infinita debemos considerar aquella para la que conocemos la ley que rige su formación y de la que podemos por lo tanto conocer tantos elementos como queramos.

Siento no estar de acuerdo en tu segundo matiz puesto que yo siempre puedo determinar si una cadena dada pertenece a la familia ó no ya que la ley que la construye solo puede establecer que el simbolo que sigue a uno ya conocido, que solo puede ser o , sea o bien o bien y por lo tanto eso no debería plantear objeciones al respecto. No puedo hacerme una imagen de todas las cadenas pero si puedo discernir si una cadena pertenece a la familia o no. Y en cualquier caso no se como va a influir eso para impedirme construir el conjunto de los reales, en este caso la familia real.

Creo que hay un principio en el que podríamos estar de acuerdo, y es que si algo puede hacerse metamatemáticamente, entonces también puede hacerse formalmente, es decir, también puede formalizarse en ZFC. Digo esto porque lo que planteas es muy delicado, así que sería ilustrativo tratarlo primero en ZFC y, si concluyéramos que ahí tu idea tiene sentido, entonces podríamos plantearnos si es posible sostenerla igualmente sin ZFC.

El problema que veo está en estas dos afirmaciones:

Bueno, por cadena infinita debemos considerar aquella para la que conocemos la ley que rige su formación y de la que podemos por lo tanto conocer tantos elementos como queramos.

Y en cualquier caso no se como va a influir eso para impedirme construir el conjunto de los reales, en este caso la familia real.

El problema es que una "ley que rige la formación de una cadena" es una definición en términos de un lenguaje. Eso ya de por sí es delicado, pues si no precisamos adecuadamente qué entendemos por "definible" podemos caer en paradojas, como la paradoja de Berry. Y si precisas la noción de "definible", tendrás que acabar hablando de sucesiones definibles en un lenguaje finito o, a lo sumo, numerable. Precisamente porque esto es delicado es por lo que propongo tratarlo primero en ZFC. Y el problema es que, definas como definas "definible", mientras lo hagas como "definible en un lenguaje numerable" (y considerar lenguajes no numerables tiene sentido en ZFC, pero nos cerraría completamente las puertas a una posterior adaptación del argumento para sostenerlo metamatemáticamente) sucede que hay a lo sumo tantos objetos definibles como posibles definiciones. En definitiva, que a lo sumo hay una cantidad numerable de sucesiones definibles. Luego no puedes pretender que todo número real venga determinado por una sucesión de decimales definible, en ningún sentido razonable que puedas darle a la palabra "definible".

Insisto en que todo esto es muy delicado, y por ello sólo sé dar sentido a mis propias palabras entendiendo que estamos hablando de qué puede hacerse y qué no puede hacerse en ZFC. Hablar metamatemáticamente de esto me parecería hundirse en arenas movedizas. Ya me darás tú tu opinión.

Lo unico que yo trato aquí es de justificar, fuera de la matemática, incluso fuera de la lógica, el uso ordenado de ciertos sistemas de numeración, si lo prefieres omito hablar de los reales y hablo de los números seriados, me da igual.

¿Números seriados? No sé a qué te refieres.

Hablar de la hipótesis del continuo en este debate parece que no tiene sentido.

El problema es que no creo que uno pueda seleccionar tan fácilmente de qué hay que hablar y de qué no. Me explico. Todo el follón de la fundamentación de la matemática surge del hecho de que si no se pone cuidado en lo que se dice cuando se habla de conjuntos generales aparecen paradojas. Pero no parece serio "resolver" las paradojas así: vamos a seguir trabajando como trabajaban los matemáticos del siglo XIX salvo que, como, por ejemplo, hablar del "conjunto de todos los conjuntos" da lugar a paradojas, pues no hablamos de él y ya está. Si "el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos" también da paradojas, pues no lo nombramos y listos. De hecho, esta "receta" serviría a un gran porcentaje de matemáticos, que en su trabajo cotidiano no sienten ninguna necesidad de hablar de "conjuntos" tan raros.

Para evitar las contradicciones sin recurrir al "truco" de no mencionarlas, es necesario (o, por lo menos, la mejor opción que yo veo es) establecer el alcance del discurso metamatemático, no sintácticamente, que es imposible, sino semánticamente: hay que dejar claro que sabemos de qué estamos hablando. La hipótesis del continuo te la puse como ejemplo, no para que discutiéramos sobre ella, sino para que vieras que el admitir la posibilidad de hablar metamatemáticamente, no ya de sucesiones arbitrarias de tus dos signos (que ahora tratas de restringir a sucesiones "definibles", lo cual trae sus propios problemas), sino incluso de conjuntos arbitrarios de sucesiones arbitrarias, hace que tenga sentido plantearse si esos objetos de los que pretendes hablar metamatemáticamente cumplen o no la hipótesis del continuo, lo cual pone de manifiesto que en realidad no sabemos de qué estamos hablando al hablar de tales objetos.

A ver si así se entiende más claramente: la única posibilidad que tenemos de fundar afirmaciones en ausencia de una teoría formal es que podamos decir "esto se cumple porque veo que se cumple" (por ejemplo, hay infinitos números naturales porque veo que siempre soy capaz de generar uno nuevo a partir de cualquiera de ellos). Pero si hablamos de algo que realmente no estamos viendo (como sucesiones infinitas arbitrarias de signos), ¿qué esperanza tenemos de poder decir algo de ellas con seguridad? Yo no veo ninguna.

Solo trato de mostrar que es posible hacerlo, usando conceptos intuitivos, no formales, y tampoco contestas a mi pregunta de si esto puede hacerse, ¿porqué no se estudian unas bases adecuadas para, no digo formalizar, sino ordenar de una forma sistemática, de manera que todos sepamos a que atenernos, los conceptos que se usan en metalógica?

No acostumbro a dejar preguntas sin contestar (creo que eso lo habrás podido comprobar) pero había tanto que matizar antes de tu última pregunta que consideré que había que empezar por el principio antes de llegar ahí. Pero tal y como lo planteas ahora, no en relación con tu propuesta, que da mucho que hablar, sino en general, es que sí puede hacerse y es lo más fácil del mundo. Lo único que sucede es que si coges un libro de lógica que pretenda fundamentar metamatemáticamente la matemática formal, dará por conocidas ciertas cosas sin entrar en detalles simplemente porque son cosas que todo lector conoce y lo último que desea un autor es aburrir a sus lectores.

Es todo muchísimo más fácil de lo que parece al leer este hilo. ¿Qué problema hay en hacerlo según este esbozo?:

Vamos a usar (metamatemáticamente) los números naturales, que son 0, 1, 2, 3  [y ahora intercalas aquí una aburrida y trivial explicación de cómo se determina n+1 dado n, y, ya puestos, razonas que cada nuevo objeto que generes por la regla que darás será necesariamente distinto de los anteriores]

Explicas que un conjunto tiene cero elementos cuando no tiene ninguno y, en caso contrario, si puedes asignarle el 1 a uno de sus elementos, el 2 a otro, el 3 a otro y, al cabo de un tiempo, llegas a asignarle un número n a otro y ves que ya no quedan más, entonces el conjunto es finito y tiene n elementos.

Razonas si quieres que este proceso de "contar" no va a depender del orden en que dispongas los elementos del conjunto que quieras contar... y así puedes ir aburriendo a un lector hasta que esté en condiciones de coger el libro de lógica y, cada vez que su autor diga tal cosa, tú le puedas decir "esto se basa en la observación aburrida número 152", y así con todas.

Atenernos a la intuición si quieres, pero de forma ordenada, metódica y sistemática, y no dejar a la imaginación de cada lector averiguar de que carayo está hablando el lógico de turno. Es cierto que los matemáticos han tardado varios miles de años en conseguirlo, si es que lo han conseguido, pero yo creo que hoy en día hay suficiente información y herramientas para hacerlo sin problemas. Solo habría que conseguir poner de acuerdo a unos cuantos filósofos de la ciencia, aunque no sé si eso podría ser un objetivo inalcanzable, hoy por hoy.

¿Qué filósofos de la ciencia ni que nada? A ésos mejor ni los nombres, que podrían responder a la invocación. Dime simplemente si acaso no te vez capaz de explicar con total precision algo que tú sabes tan bien, como es generar la sucesión de los números naturales, y explicar qué es contar y qué es sumar, etc. A mí me da mucha pereza, pero no me creo que tú mismo no seas capaz de explicar perfectamente qué es contar, sumar, restar, multiplicar, etc. y determinar las propiedades básicas de estos conceptos, y aplicarlas principalmente a la manipulación de cadenas de signos (es decir, a contar signos de cadenas de signos, a yuxtaponer cadenas y comprender que la longitud de una yuxtaposición es la suma de las longitudes, etc.) No hace falta un filósofo de la ciencia, tú sirves para ello, incluso un maestro de escuela mediocre sirve para ello.

El único requisito para no tener problemas es que te olvides, por una parte, de ZFC y sus axiomas, y por otra de Brouwer y otros parientes.

[Jabato]

Creo que sí, que podríamos estar de acuerdo, pero en este caso da la casualidad de que no es por ZFC por donde yo deseo entrar. Mi hipótesis de trabajo es que no hemos aceptado todavía ninguna teoría ni estamos trabajando en un sistema lógico. Solo estoy diciéndote que cosas puedo y no puedo hacer, y en base a esas potencias de mi mente funciono. Recuerdas:

1ª.- En una primera regla debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamare ...).

2ª.- En una segunda regla afirmaremos que somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

3ª.- A la colección de todas las cadenas correspondiente a una determinada ley la denominamos secuencia.

4ª.- A la colección de todas la cadenas posibles que podamos formar con esos dos elementos le llamaremos familia

No debes cuestionar que yo puedo hacer esas cosas porque no cabe duda que puedo hacerlas, ¿ó acaso tienes alguna duda?

Saludos, Jabato.

[Garubi]

Si tal orden consiste en una permutación de un ciclo, en ese caso no me veo en la obligación de declarar un primero, pues todos y cada uno de los elementos puede ser considerados un primero.

No entiendo nada. Un orden es una forma de ordenar los elementos de un conjunto, valga la perogrullada. No tiene sentido decir que, respecto a un orden, todos los elementos pueden ser considerados como el primero. Entonces no hay tal orden.

¿Están ordenados los números en la esfera de un reloj?
¿Cual ha de ser el primero para que lo estén?

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

¿Están ordenados los números en la esfera de un reloj?

De acuerdo con el concepto de "orden" usual en matemáticas, no están ordenados. Si quieres decir que lo están, tendrás que definir un concepto de "orden" respecto del cual así sea, pero no será el usual.

¿Cual ha de ser el primero para que lo estén?

Siempre de acuerdo con el concepto usual de "orden" en matemáticas, puedes ordenarlos como quieras, por ejemplo así:

3<6<1<10<12<2<7<4<9<5<11<8

Con respecto a esta ordenación, el primero es el 3. Naturalmente, puedes definir otras en las que el primero sea el que tú quieras, pero, una vez has fijado una ordenación, hay uno y sólo uno que es el primero.

[Carlos Ivorra]

4ª.- A la colección de todas la cadenas posibles que podamos formar con esos dos elementos le llamaremos familia [/i]

No debes cuestionar que yo puedo hacer esas cosas porque no cabe duda que puedo hacerlas, ¿ó acaso tienes alguna duda?

Pues, como trataba de explicarte, tengo una duda muy seria únicamente con la palabra que te he puesto en negrita. Dudo que tengas una representación intuitiva de todas las cadenas posibles de dos elementos, en virtud de la cual puedas hacer afirmaciones en ausencia de un sistema axiomático. En particular, dudo de que tu cuarta "regla" sea verdadera. El quid de la cuestión es que aquí no vale lo de "es mi axioma, luego tienes que aceptarlo". Puedes partir de donde quieras, a condición de que tu punto de partida tenga sentido intuitivamente.

Trataré de explicar mejor mi objeción. Estamos de acuerdo en que podemos considerar intuitivamente ciertas cadenas infinitas de signos, por ejemplo,

xyxxyxyxxyxyxxy...

Y, supongo que tú pretendes argumentar así:

Nuestra intuición nos muestra (luego nos permite hablar de) cadenas infinitas de signos

LUEGO

Podemos hablar intuitivamente de la totalidad de las cadenas infinitas de signos (o, imponiendo restricciones, de la totalidad de las cadenas finitas o infinitas de dos signos concretos x, y).

Acepto la premisa, pero no la conclusión. ¿Por qué?

Bueno, si el razonamiento fuera válido, también debería serlo este otro:

Podemos hablar intuitivamente de colecciones de objetos (esto es tan verdadero como tu premisa), por ejemplo, la colección de los números naturales, la colección de las cadenas finitas de signos x, y, etc.

LUEGO

podemos hablar intuitivamente de la totalidad de las colecciones de objetos, es decir, de la colección de todas las colecciones de objetos o, imponiendo restricciones, de la colección de todas las colecciones de objetos que no se tienen a ellas mismas por elementos.

Ahora bien, tú sabes perfectamente que "la colección de todas las colecciones de objetos que no son elementos de sí mismas" es un concepto contradictorio. ¿Significa eso que la intuición es contradictoria? ¡no! Significa que, al considerar semejante "colección" nos hemos salido completamente de los contenidos que nuestra intuición nos muestra. No tenemos intuición alguna de la colección de todas las colecciones de objetos que no son elementos de sí mismas, sino que esa descripción sólo son palabras vacías, palabras sin contenido intuitivo alguno.

Ahora bien, no podemos decir que "la colección de todas las colecciones de objetos que no son elementos de sí mismas no tiene contenido intuitivo" (cosa que no tenemos más remedio que aceptar, pues es contradictoria) y a la vez decir que "la colección de todas las colecciones de objetos" sí que tiene contenido intuitivo porque de ella no obtenemos directamente una contradicción (aunque, si uno rasca mucho, podría acabar encontrándola). Debemos reconocer que, por el mismo motivo que reconocemos que al "pensar" en la colección de todas las colecciones de objetos que no se pertencen a sí mismas no encontramos ningún contenido intuitivo concreto que corresponda a esas palabras, lo mismo sucede con "la colección de todas las colecciones de objetos".

¿Y qué sucede con tu colección de todas las sucesiones de dos signos? A priori, no parece llevar a ninguna contradicción, pero ¿podemos decir que su caso es diferente de los otros? ¿Tienes realmente una imagen intuitiva de la colección de todas las sucesiones de dos signos? Yo creo que no, pero, como mínimo, lo pongo en duda y no puedo aceptar tu regla 4. La clave es que el hecho de que indudablemente podemos representarnos intuitivamente algunas sucesiones de signos, no prueba que podamos representarnos intuitivamente la totalidad de las mismas, porque también podemos representarnos intuitivamente algunas colecciones de objetos y no en cambio la totalidad de las mismas.

Ésta es una de las características más desconcertantes de la intuición para alguien que se empeñe en aplicar los patrones de la matemática formal fuera de contexto: en ZFC, si defines X, puedes decir "para todo objeto que cumpla X", mientras que intuitivamente no está claro que, porque conozcas algunos casos de X bien determinados, tengas una representación de la totalidad de los X. Por eso la metamatemática no se puede axiomatizar, porque el proceso de axiomatización, con la lógica usual, impide definir sin permitir cuantificar (= usar cuantificadores, para todo, existe) sobre lo definido.

Eso no impide que podamos hacer metamatemáticamente afirmaciones generales, siempre y cuando se puedan entender como esquemas de razonamiento aplicables a cada caso concreto donde proceda aplicarlos. Por ejemplo, en otro hilo expliqué en qué sentido podemos decir que todo conjunto no vacío de números naturales tiene mínimo elemento.

Con los subconjuntos de los naturales sucede lo mismo que con tus sucesiones: no tenemos (o no creo que tengamos) ningún contenido intuitivo de la totalidad de los subconjuntos de naturales, a pesar de que nuestra intuición nos permite representarnos muchos casos concretos. Ahora bien, podemos razonar que siempre que tengamos un conjunto de naturales bien definido y no vacío, tendrá sentido metamatemático considerar su mínimo elemento, pero eso ha de entenderse como un esquema que se podrá aplicar en cada caso previa comprobación de que realmente el conjunto al que se lo vamos a aplicar es un conjunto bien definido por una expresión castellana a la que podamos atribuir un contenido intuitivo concreto, y no a un "conjunto arbitrario" que no sabemos lo que es. La diferencia es sutil, pero crucial para no abandonar en ningún momento el escenario en el que todos los objetos considerados están dados por la intuición y tienen, por consiguiente, propiedades objetivas independientes de nuestra capacidas de razonar sobre ellos o de si llegamos o no a contradicciones al considerarlos.

En suma: una metamatemática seria y rigurosa exige que no se deje de hablar de algo sólo porque lleva a contradicción si se intenta, sino que cuando no admitimos hablar de algo ha de ser porque no tenemos una representación intuitiva de ese algo. Si podemos hacer eso coherentemente y así no llegamos a contradicciones, entonces lo estamos haciendo bien, mientras que si no llegar a contradicciones fuera meramente no mencionarlas, no estaríamos haciendo nada serio. Al mencionarme esa "totalidad de sucesiones" te has adentrado en el agua hasta un punto al que yo no me atrevo a llegar porque no veo que ahí mis pies toquen realmente suelo. Entre no atreverse a mojarse, quedarse a dos palmos de la orilla (como los intuicionistas, constructivistas y demás familia) y llegar hasta donde tú pretendes llegar, hay un término medio que, a mi juicio, es mucho más sensato. Yo no puedo poner la mano en el fuego y sostener que tu regla 4 es verdadera.

[Jabato]

Entonces Donald me dejas asombrado. De verdad crees que no puedo ponerle un nombre a la colección de todas las cadenas que se pueden formar con los símbolos e ó bien que aunque sí sea capaz de ponerle nombre no seré capaz de conseguir que ese nombre sea familia . Me dejas de piedra porque hace ya algunos mensajes que lo hice.

¡¡¡¿ De verdad crees que no soy capaz ?!!!

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Ya veo... las intuiciones de Donald son todas válidas (vaya uno a saber por qué) y las de Jabato no.

Cuando yo me quejé de las "intuiciones", Donald dijo algo como esto:

"La intuición de número natural puede usarse porque: (1) todos intuimos lo mismo y (2) no me has mostrado que haya contradicciones al usar esas intuiciones".

Razonando de la misma manera, las intuiciones de Jabato pareciera que cumplen la condición (1), y también la condición (2).
Bajo esos criterios, ya está, la "intuición" de Jabato es viable, porque él "puede" intuirla, y no hay problemas a la vista.

Es una "totalidad" que no presenta contradicciones o paradojas.
Y si no, que alguien exhiba una.

En cuanto a si es posible o no admitir la "intuición de la totalidad de los elementos de una colección",
resulta que Cantor podía intuir sin problemas ese tipo de cosas.

Y yo también puedo.

Así que, pareciera que acá Donald sólo se permite pensar al modo de Brouwer (infinito potencial) y no el "infinito real" (Cantor).

O sea que está poniendo reglas "arbitrarias" (las que a él le gustan) en lo "aceptablemente intuitivo en metamatemática", y lo más gracioso es que las va poniendo AD HOC.

No hay manera que yo pueda adivinar con qué humor se va a despertar Donald, y decida aceptar algo como validamente intuitivo o no.

Si es tan difícil delimitar y ponerse de acuerdo sobre lo que es intuitivamente aceptable o no... ¿no será tiempo de reconocer que hay un problema grave de fundamentación?

_______________


De todas maneras, cuando se hacen demostraciones metamatemáticas, no queda más remedio que razonar sobre ciertas "totalidades" de fórmulas.

¿Por qué algunas totalidades son admisibles y otras no?

[Jabato]

¡Ajá! argentinator, entendiste perfectamente a donde quería llegar. Veremos a ver si ahora Donald es capaz de contestar y qué es lo que contesta.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

De todas formas yo tengo mi punto de vista, mi opinión ya formada, sobre estas cuestiones, y no sé si coincidirá con alguna otra ó será peculiar. Propuse el juego precisamente para concretar las diferencias que se muestran en cuanto a todo esto, ya que el debate, al menos para mi, ha adolecido de ser bastante generalista hasta el momento y yo desde luego prefiero analizar puntos concretos que ideas "filosóficas", me siento más cómodo. Quizás sea deformación profesional.

En primer lugar lo que debo decir, y ello es consecuencia de debates antiguos en este mismo foro, que es imposible razonar la existencia del infinito en cualquiera de sus formas, ni tampoco es posible percibirlo. Así que vaya por delante el hecho ineludible de que cualquier teoría formal que genere los conceptos del infinito numerable y del infinito continuo (al menos estos dos) deberá hacerlo de forma axiomática. En TC el axioma de infinitud y el de partes son las bases en las que se apoyan dichos conceptos. Están sutilmente camuflados, pero están, y nadie puede negar que dichos conceptos son los más intuitivos que imaginarse pueda porque no pueden existir entes reales con dichas propiedades. Ni el infinito numerable ni el infinito continuo, ni por supuesto otros de mayor cardinalidad, existen en nuestro universo, ó hasta el momento nadie los ha visto que se sepa. Por lo que cualquier teoría que los contemple debe intuirlos, por la sencilla razón de que no pueden ni ser percibidos ni ser demostrados.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Pues justamente el que una lista de afirmaciones figuren como axiomas de la TC lo que significa es que están ahí tras una ardua búsqueda de aquellas propiedades esenciales que se desean pero que no se pueden demostrar.

El que haya un "Axioma del infinito" nos está dando a entender el "resultado final" de una elucubración filosófica.
O sea, ¿por qué poner un tal axioma, si lo infinito estuviera claro de antemano?

Donde hay un "axioma" es que hubo gente "intentando probarlo", de un modo u otro, hasta que dijeron: "basta, esto no se puede hacer de ningún modo, y lo mejor es poner un axioma".

Pero ocurre que esas discusiones bajo las aguas, la parte filosófica, o el debate interno, no es algo que figure en los libros.
Uno se da cuenta por experiencia personal, pero la verdadera "acción" queda escondida al lector.

[Jabato]

Es por lo tanto absolutamente cierto, incuestionable, (no en el sentido lógico, es decir no en el seno de una teoría axiomática, sino en el sentido filosófico, epistemológico si queréis, de la palabra) que es imposible a la hora de fundamentar la matemática eludir los conceptos intuitivos, algo que los matemáticos reconocen ya desde hace algún tiempo. Ahora bien también es cierto que al pretender fundamentar la base actual de la matemática, la TC, en la lógica y ésta a su vez en otra teoría de menor nivel (la metalógica) lo menos que debiera exigirse es el mismo ó incluso mayor rigor que el que actualmente se tiene con la TC, es lo menos que debería exigirse y es en esa parte del razonamiento en la que yo te doy la razón, argentinator, y por lo tanto es precisamente en esa parte del razonamiento en la que no comparto el punto de Donald.

Digamos pues, para expresar de forma clara y resumida mi punto de vista, que es perfectamente lícito (y desde luego muy recomendable) exigir a cualquier teoría que pretenda ser base ó fundamento de las ciencias deductivas, cuando menos el mismo rigor que hoy por hoy nos ofrecen dichas ciencias. ¡Que menos!

Saludos, Jabato.

[Garubi]

¿Están ordenados los números en la esfera de un reloj?

De acuerdo con el concepto de "orden" usual en matemáticas, no están ordenados. Si quieres decir que lo están, tendrás que definir un concepto de "orden" respecto del cual así sea, pero no será el usual.

¿Cual ha de ser el primero para que lo estén?

Siempre de acuerdo con el concepto usual de "orden" en matemáticas, puedes ordenarlos como quieras, por ejemplo así:

3<6<1<10<12<2<7<4<9<5<11<8

Con respecto a esta ordenación, el primero es el 3. Naturalmente, puedes definir otras en las que el primero sea el que tú quieras, pero, una vez has fijado una ordenación, hay uno y sólo uno que es el primero.

03  06  01  10  12  02  07  04  09  05  11  08
01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12

01 03    
02 06    
04 10 05 12 08
07
09
11   

Considera tu orden como el resultado de una función de selección de "puntos" de un "espacio numérico" de nombre .
Descubres que no es una función, sino 6. Ninguna de ellas selecciona todos los puntos. Esto último lo hace una permutación de un ciclo. En ella prevalece una cosa: La cardinalidad de la estructura: 12.

Ahora sea el reloj del planeta Kong, con un período de rotación de 8 horas, y el orden:

8<7<5<6<2<1<4<3

He aquí el resultado de una función de selección para el reloj de 8 horas, que garantiza que su cardinal es el de (de 8 horas). ¿Qué pasa si hay una de estas para cualquier conjunto de partes mayor que 3?

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Entonces Donald me dejas asombrado. De verdad crees que no puedo ponerle un nombre a la colección de todas las cadenas que se pueden formar con los símbolos e ó bien que aunque sí sea capaz de ponerle nombre no seré capaz de conseguir que ese nombre sea familia . Me dejas de piedra porque hace ya algunos mensajes que lo hice.

¡¡¡¿ De verdad crees que no soy capaz ?!!!

Saludos, Jabato.

Cualquiera puede decir cualquier cosa. Otro asunto es que lo que diga signifique realmente algo. Igual que puedes llamar a la familia de todas las cadenas formadas con e también puedes llamar Ñ al conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, o llamar Q al conjunto de todos los números naturales definibles con menos de quince palabras (o las que sean), pero eso no garantiza que Ñ o Q sean nada más que palabras sin un significado objetivo. De hecho, en esos dos ejemplos se puede probar que no son más que palabras sin sentido, porque son palabras contradictorias, luego no pueden hacer referencia a nada. Ahora bien, el recíproco no es cierto, que unas palabras no resulten contradictorias no implica que necesariamente nombren a algo en concreto. (Otra cosa es una colección de sentencias de primer orden no contradictorias, pero unas palabras en castellano no contradictorias no garantizan nada. Si digo "esta oración es verdadera" no me contradigo, pero lo que digo son palabras sin sentido.)

[Jabato]

¿Porqué no te ciñes a las reglas del juego?, ¿que pasa que si te sales del guión ya estás perdido? Estamos fuera de la lógica, trabajando solo con conceptos derivados de mi propia intuición y los conjuntos no existen, todavía no, porque no están en mi mente. No sabemos lo que son, solo sabemos construir cadenas de símbolos y agruparlas en secuencias y en familias. Ese es el juego, cíñete a él por favor, no me saques aquí las paradojas de la TC que ya me las conozco y además no vienen a cuento.

Entonces crees que solo con esas cuatro afirmaciones no podría construirse un sistema suficiente para desarrollar una teoría llamemosla ... meta (por no especificar más)? Dicha teoría debería ser capaz al menos de contener algunos sistemas básicos de numeración para poder contar objetos y caracterizar (distinguir) entre al menos objetos finitos, numerables y continuos e incluso quizás medir estos últimos. ¿Crees que con esas cuatro premisas no podría hacerse eso? Creo que esa sería una base muy interesante para realizar algunas cuentas elementales en metalógica y desde luego mucho más rigurosa que la muestra. Aunque no te estoy diciendo que esa sea la mejor solución, hay muchas otras, solo sería necesario encontrar la más adecuada a las necesidades actuales e irla desarrollando en base a las necesidades futuras, pero con un poco más de rigor, que es quizás lo que falte hoy en día.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Ya veo... las intuiciones de Donald son todas válidas (vaya uno a saber por qué) y las de Jabato no.

Cuando yo me quejé de las "intuiciones", Donald dijo algo como esto:

"La intuición de número natural puede usarse porque: (1) todos intuimos lo mismo y (2) no me has mostrado que haya contradicciones al usar esas intuiciones".

Razonando de la misma manera, las intuiciones de Jabato pareciera que cumplen la condición (1), y también la condición (2).
Bajo esos criterios, ya está, la "intuición" de Jabato es viable, porque él "puede" intuirla, y no hay problemas a la vista.

Es una "totalidad" que no presenta contradicciones o paradojas.
Y si no, que alguien exhiba una.

En cuanto a si es posible o no admitir la "intuición de la totalidad de los elementos de una colección",
resulta que Cantor podía intuir sin problemas ese tipo de cosas.

Y yo también puedo.

Tú también puedes en un sentido deformado de la palabra "intuición". Para ti "intuición" es sinónimo de hablar chapuceramente, y, claro puedes hablar chapuceramente de la totalidad que dice Jabato, pero es que "intuir", en el sentido propio de la palabra no tiene nada que ver con eso.

Tú puedes decir que tienes (propiamente) una intuición de un concepto, cuando para ti no es un mero concepto, no son meras palabras con las que puedes razonar mejor o peor, sino que esas palabras tienen un significado. Jabato podría haber propuesto como axiomas algunos axiomas propios de la geometría de cuatro dimensiones (por ejemplo, axiomas sobre planos que incluyan que dos planos distintos pueden cortarse únicamente en un punto), pero por mucho que no se deduzca ninguna contradicción de esos axiomas, lo cierto es que esos axiomas están vacíos de toda intuición, porque nadie puede imaginarse dos planos que se corten en un punto, luego la única forma de razonar sobre ellos es axiomáticamente y ahí sí tendrías tú razón si vieras una demostración "con palabras" de un teorema de geometría de cuatro dimensiones y dijeras que eso no tiene nada de intuitivo, sino que es una demostración formal "disfrazada". Cuando me decías eso de mi prueba de los paréntesis, yo te decía que no, que podrías traducirla a una demostración formal, pero que también tenía perfecto sentido considerarla como una demostración informal, basada en la intuición y no en un sistema deductivo, pero con una demostración sobre geometría de cuatro dimensiones, por muy coherente que sea, o la concibes como una demostración formal, o carece de sentido, porque carece de contenido intuitivo.

Cuando yo te hablaba de los números naturales, te decía lo que te decía dando por hecho de que partíamos de que todos reconocemos que tenemos una intuición, es decir, una representación objetiva, de lo que son los números naturales, y que cuando hablamos de sumarlos y multiplicarlos estamos hablando de algo que sabemos representarnos intuitivamente, como juntar puntitos o formar rectángulos de puntitos, mientras que no tenemos ninguna representación de esa totalidad de sucesiones de las que Jabato pretende hablar. Ni las tengo yo, ni la tienes tú ni la tenía Cantor. Por supuesto, siempre puedes decir que sí la tienes, por decir algo, a sabiendas de que yo no podré refutártelo, pero, a poco que reflexiones, te darás cuenta de que hablas sólo por llevarme la contraria, porque tú puedes concebir la totalidad de las sucesiones de las que habla Jabato igual que puedes concebir la totalidad de las rectas de un espacio de cuatro dimensiones, a saber, como un concepto formal con el que puedes razonar si aceptas algunos puntos de partida como axiomas sobre los que tu intuición no tiene nada que decir, salvo a lo sumo que resultan de una generalización por analogía de otros conceptos intuitivos sobre geometría tridimensional.

Yo no soy platonista, pero creo que un platonista como Gödel, si quisiera contradecirme, no lo haría radicalmente, sino que diría algo así como que tenemos una intuición parcial de esa clase de totalidades, y esa parcialidad es un obstáculo suficiente como para que no podamos razonar intuitivamente sobre esa clase de objetos, y nos veamos obligados a estudiarlos a través de axiomas, pero a efectos de lo que aquí discutimos, creo que no hay ninguna diferencia práctica (sólo filosófica) entre decir que nuestra intuición de tales colecciones es parcial o imperfecta (como supongo que diría Gödel, o tal vez Cantor) o decir (como digo yo) que no existe tal intuición.

Así que, pareciera que acá Donald sólo se permite pensar al modo de Brouwer (infinito potencial) y no el "infinito real" (Cantor).

No. Brouwer era más restrictivo que yo, porque yo afirmo que sí tenemos una representación intuitiva de cualquier colección numerable (ojo, no de la totalidad de colecciones numerables, que eso no existe) bien definida, en el sentido de que podamos establecer con pleno sentido cuál es el objeto enésimo de la colección, aunque no seamos capaces de calcularlo en la práctica.

Yo no veo ningún inconveniente en los infinitos reales, siempre y cuando tenga un criterio claro para detrminar qué significa formar parte de ese infinito real, y qué quiere decir que una afirmación sea verdadera para todo elemento de ese infinito real, o qué quiere decir que uno de los objetos de ese infinito real tenga una determinada propiedad.

El problema de las cadenas de Jabato no es que sean un infinito real, sino que yo no sé qué significa que una afirmación sea verdadera para todas las cadenas de las que pretende hablar. No entiendo "para todo" en ese contexto, mientras que sí que entiendo qué significa "para todo número natural", "para todo número primo", "para toda fórmula de un lenguaje formal", etc.

O sea que está poniendo reglas "arbitrarias" (las que a él le gustan) en lo "aceptablemente intuitivo en metamatemática", y lo más gracioso es que las va poniendo AD HOC.

Es gracioso: si no doy reglas, lo malo es que no doy reglas, pero si las doy, entonces lo malo es que las doy. El quid de la cuestión es que no son arbitrarias en absoluto. Bueno, se podría considerar que es arbitrario el límite hasta el que cada cual está dispuesto a llegar (de modo que es arbitrario que yo vaya más allá de Brouwer pero no me atreva a ir tan lejos como Jabato), pero las reglas en sí no son arbitrarias. He tratado de explicarlas, pero rara vez atendéis a mis argumentos. Por lo menos, rara vez os referís a ellos.

Voy a tratar por enésima vez de explicar la naturalidad de esas "reglas":

1) La fundamentación de una matemática formal no puede basarse en una teoría formal sin caer en un círculo vicioso. Una teoría formal supone fijar unas reglas de razonamiento, y para que éstas no sean arbitrarias, es necesario diseñarlas, estudiarlas y juzgarlas, lo cual no puede hacerse en base a otras reglas arbitrarias, pues entonces no hacemos nada.

2) Por lo tanto, la fundamentación de la matemática (la metamatemática) no puede ser formal, sino que tiene que ser una teoría con contenido. Pero no con contenido físico, pues todo lo que tenga que ver con signos, cadenas de signos, contar longitudes, etc. no es empírico, no es refutable por la experiencia.

3) Por lo tanto, la fundamentación de la matemática debe descansar en la intuición, es decir, en la capacidad que tenemos de representarios objetos a priori (es decir, no dependientes del mundo físico, como cuando vemos un gato o una mesa), tanto geométricos (puntos, rectas, planos, triángulos, paralelas, perpendiculares, etc.) como aritméticos (números naturales, sucesiones finitas e infinitas, etc.)

4) Ahora bien, para que realmente podamos fundamentar afirmaciones que no se basen en axiomas arbitrarios, es necesario que tales afirmaciones tengan un sentido bien definido en términos intuitivos, hace falta que se les pueda dar un contenido concreto que las haga verdaderas o falsas, con independencia de que sepamos argumentar que son verdaderas o falsas. En particular, si hacemos afirmaciones que contienen un "para todo", hemos de saber dar un sentido intuitivo a ese "para todo", cosa que sé hacer si digo, por ejemplo, que "toda fórmula de un lenguaje formal sin variables libres es verdadera o falsa en un modelo". Al margen de cómo pueda demostrarlo, eso significa que es cierto para la primera fórmula, y para la segunda, y para la tercera, y así sucesivamente con todas las fórmulas de una enumeración explícita que sé construir.

5) En cambio, ni tú, ni Jabato, ni Cantor podéis precisar qué queréis decir cuando afirmáis que toda sucesión de signos xy cumple una afirmación. No tenéis ninguna representación intuitiva de esa totalidad. Podéis decir que la tenéis igual que podéis decir que os habla la Virgen María, pero, a poco que reflexionéis, verés que si creéis realmente lo que decís es simplemente porque os creéis capaces de hablar y razonar sobre tal familia de sucesiones, igual que os podéis creer capaces de razonar informalmente (en vuestro sentido de chapuceramente) sobre un cubo de cuatro dimensiones, basándoos en analogías, pero vosotros sabéis perfectamente que ni sois capaces de representaros intuitivamente un cubo de cuatro dimensiones, ni tampoco de representaros la totalidad de las sucesiones de signos x y.

6) Pensad que los argumentos intuitivos no son convincentes porque uno transmita sus intuiciones a otros, sino porque unos y otros intuyen lo mismo. Si yo te presento un argumento intuitivo, no es mi intuición la que te lo ha de justificar, sino la tuya. Si yo te digo que tu intuición de los números naturales te permite asegurar sin lugar a dudas que la suma de números naturales es conmutativa y tu te obstinas en negarlo, no habrá nada que pueda hacer yo para sacarte de tu obstinación, pero dudo mucho que, con la misma sinceridad con la que te invito yo a ti a reconocer que sabes que la suma de números naturales es conmutativa, tú puedas pedirme a mí que "confiese" que sí que soy capaz de imaginarme, de representarme la totalidad de sucesiones xy en el mismo sentido en que puedo representarme la sucesión de los números naturales o el conjunto de los números pares o la totalidad de las fórmulas de un lenguaje formal.

Así pues: ¿qué hay de arbitrario en exigir que toda afirmación metamatemática y todo concepto metamatamético que pretenda ser dado por aceptable deba tener un contenido intuitivo pleno, no como un cubo de cuatro dimensiones, sino como un triángulo equilátero o la sucesión de los números naturales?

Si se puede cuestionar este criterio, a lo sumo será hacia abajo, es decir, para limitarlo aún más al estilo de Brouwer, por ejemplo, pero no hacia arriba, como ahora pretendéis hacerlo, para admitir un concepto del que no veréis hablar en ningún libro serio en el que se pretenda fundamentar la matemática formal desde una metamatemática informal. Vosotros, con tal de llevar la contraria, igual os da tirar hacia el escepticismo que tirar hacia el todo vale.

No hay manera que yo pueda adivinar con qué humor se va a despertar Donald, y decida aceptar algo como validamente intuitivo o no.

Eso es algo que hace tiempo que me sorprende. Creo que me esfuerzo por dejar claro mi punto de vista e ilustrarlo como mejor sé, pero constantemente me encuentro con réplicas que demuestran que no sois capaces de predecir mi respuesta. Si yo discutiera con Hitler sobre si es bueno o no matar judíos, no compartiría su opinión, evidentemente, pero estoy seguro de que en muchas ocasiones, al cabo de algunos primeros intercambios de ideas, sería capaz de predecir con qué argumentos me iba a replicar, sin que ello significara en absoluto que estuviera de acuerdo con él.

Una cosa es que no compartas mi punto de vista, pero me sorprende que aún no hayas llegado a dominarlo. No es tan difícil. Por ejemplo, me sorprende esta pregunta:

De todas maneras, cuando se hacen demostraciones metamatemáticas, no queda más remedio que razonar sobre ciertas "totalidades" de fórmulas.

¿Por qué algunas totalidades son admisibles y otras no?

¿De verdad no puedes anticipar mi respuesta, si no me he cansado de repetirla una y otra vez? Vuelvo a responder:

Yo sé lo que significa una afirmación sobre la totalidad de las fórmulas de un lenguaje formal, porque puedo numerarlas con un criterio explícito, de modo que sé determinar cuál es la primera fórmula, y cuál la segunda y cuál la tercera, etc. De modo que, por ejemplo, si digo que toda fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos que no posea conectores lógicos ni cuantificadores es de la forma o bien , lo que estoy afirmando es que esto es cierto para la primera, y para la segunda, y para la tercera, y que por mucho que ascienda en la sucesión nunca encontraré una fórmula en las condiciones indicadas que no sea de la forma indicada. Eso es "lo que significa", y otra cosa distinta es qué argumento me convence de que es así. No sé hacer nada parecido con la totalidad de la que pretende hablar Jabato. Ahí está la diferencia.

Si es tan difícil delimitar y ponerse de acuerdo sobre lo que es intuitivamente aceptable o no... ¿no será tiempo de reconocer que hay un problema grave de fundamentación?

Es que no es difícil. Otra cosa es que uno quiera poner la frontera más cerca o más lejos de la orilla. Pero una vez uno fija hasta dónde está dispuesto a llegar,  ya no hay dificultad. Si yo fuera a escribir un libro de metamatemática diría: "yo acepto razonar con colecciones numerables de objetos que pueda considerar bien definidas en el sentido de que no haya duda sobre lo que significa formar parte de ellas y cuantificar sobre ellas, es decir, que esté bien claro lo que significa que algo sea un elemento, que todos sus elementos cumplen algo o que existe un elemento que cumple algo". Lo crucial es que definir un concepto, como definir lo que es "ser un conjunto de números naturales", "ser una sucesión infinita de signos", etc., no garantiza que esté bien definida la totalidad de los objetos que cumplen ese concepto, no porque no me guste, sino porque nadie puede decir (en todos los casos, como por ejemplo en el de las sucesiones de Jabato) que tenga realmente una representación intuitiva de dicha totalidad.

[Carlos Ivorra]

Uf, no doy abasto. Me salto un mensaje de Jabato que se puede juntar con otro posterior y sigo con argentinator.

Pues justamente el que una lista de afirmaciones figuren como axiomas de la TC lo que significa es que están ahí tras una ardua búsqueda de aquellas propiedades esenciales que se desean pero que no se pueden demostrar.

El que haya un "Axioma del infinito" nos está dando a entender el "resultado final" de una elucubración filosófica.
O sea, ¿por qué poner un tal axioma, si lo infinito estuviera claro de antemano?

Donde hay un "axioma" es que hubo gente "intentando probarlo", de un modo u otro, hasta que dijeron: "basta, esto no se puede hacer de ningún modo, y lo mejor es poner un axioma".

Pero ocurre que esas discusiones bajo las aguas, la parte filosófica, o el debate interno, no es algo que figure en los libros.
Uno se da cuenta por experiencia personal, pero la verdadera "acción" queda escondida al lector.

Me parece que ésta es una concepción totalmente ingenua y deformada (siempre a mi juicio, por supuesto) del papel de las teorías axiomáticas.

La finalidad de la teoría axiomática de conjuntos es extender el alcance de la intuición, para razonar sobre objetos que nuestra intuición no concibe (como diría yo) o no alcanza a representarse con claridad suficiente como para razonar metamatemáticamente (como probablemente diría Gödel). Por ello, algunos de sus axiomas simplemente introducen en la teoría propiedades que obviamente tienen los conjuntos de los que podemos hablar intuitivamente, como el axioma del conjunto vacío, el axioma del par o el axioma de infinitud, y otros axiomas introducen propiedades que la intuición no puede justificar, pues escapan a su capacidad de representación, como el axioma del conjunto de partes o el axioma de elección.

Que el axioma de infinitud no pueda demostrarse a partir de los otros axiomas es una trivialidad sin ningún sentido profundo: sólo significa que si nos quedamos únicamente con los conjuntos hereditariamente finitos (conjuntos finitos, con elementos que son conjuntos finitos, con elementos que a su vez son conjuntos finitos, etc.) obtenemos unos objetos que cumplen todos los demás axiomas de la teoría de conjuntos menos el axioma de infinitud. El axioma de infinitud no se puede demostrar a partir de los otros axiomas porque esos otros axiomas se cumplen tanto si hay conjuntos infinitos, como si no los hay. (Sin embargo, ahora estoy estudiando la teoría NFU, y ahí resulta que el axioma de infinitud se puede demostrar, porque hay un axioma de formación de conjuntos lo suficientemente potente como para construir conjuntos infinitos, que no sea así en ZFC es una curiosidad de ZFC, y no algo esencial y profundo).

[Carlos Ivorra]

Es por lo tanto absolutamente cierto, incuestionable, (no en el sentido lógico, es decir no en el seno de una teoría axiomática, sino en el sentido filosófico, epistemológico si queréis, de la palabra) que es imposible a la hora de fundamentar la matemática eludir los conceptos intuitivos, algo que los matemáticos reconocen ya desde hace algún tiempo.

Hasta ahí vamos bien.

Ahora bien también es cierto que al pretender fundamentar la base actual de la matemática, la TC, en la lógica y ésta a su vez en otra teoría de menor nivel (la metalógica) lo menos que debiera exigirse es el mismo ó incluso mayor rigor que el que actualmente se tiene con la TC, es lo menos que debería exigirse y es en esa parte del razonamiento en la que yo te doy la razón, argentinator, y por lo tanto es precisamente en esa parte del razonamiento en la que no comparto el punto de Donald.

Ya vamos mal. Dado que cuesta tanto que se entienda mi punto de vista, pondré una metáfora:

Imaginad a un hombre que se ha educado en la más estricta pobreza, lo que le ha obligado a adoptar una serie de normas drásticas de supervivencia, de ahorro, de moderación, de cuidar cada gasto, de llevar una escrupulosa contabilidad, y se enorgullece de lo bien que ha sabido administrarse para sobrevivir dignamente. Hasta ahí todo perfecto. Imaginemos que ha vivido siempre rodeado de gente tan pobre como él, pero llega un día que se encuentra con alguien que tiene el suficiente dinero como para comer de vez en cuando en un restaurante, para dejarse encendidas las luces de una habitación aunque salga un momento, etc. Y su reacción es reprocharle que no siga sus utilísimas normas de ahorro, a pesar de que no las necesita. ¿Por qué tiene que preocuparse alguien que, sin ser millonario, puede pagar un recibo de la luz razonable y apagar la luz cada vez que sale de una habitación a la que va a entrar al cabo de cinco minutos? Enorgullecerse de saberse administrar en la pobreza es sano, exigir tal administración cuando no es necesaria es de locos.

Pues, aunque os vaya a escandalizar lo que digo, el razonamiento formal es "el hermano pobre" del razonamiento intuitivo. Comparemos la "calidad de vida" de alguien que puede permitirse el lujo de razonar intuitivamente, por ejemplo, un matemático que estudia geometría tridimensional euclídea, frente a alguien sometido a la pobreza de tener que razonar "formalmente", por ejemplo, un matemático que estudia geometría cuatridimensional euclídea. ¿Quién es el rico y quién el pobre?

El primero razona siguiendo escrupulosamente las reglas de la lógica y además sabe dar un significado concreto a sus afirmaciones, sabe de qué está hablando: de los puntos, las rectas, los planos, los ángulos, los triángulos que puede ver y dibujar. El segundo razona siguiendo escrupulosamente las reglas de la lógica, pero no sabe de qué está hablando, sus palabras sólo son palabras, lógicamente organizadas, pero no puede representarse sus objetos de estudio más que como pálidas analogías respecto a objetos tridimensionales.

Esa falta de recursos le obliga a administrar cuidadosamente sus argumentos: debe especificar unos axiomas y unas reglas de razonamiento y ceñirse a ellos, porque no tiene nada más, mientras que el hermano rico no necesita axiomatizar su teoría (puede hacerlo, pero no lo necesita). Los matemáticos han estado estudiando intuitivamente la geometría desde Euclides hasta Hilbert (porque la axiomática de Euclides es una farsa, como todo el mundo sabe), y la axiomatización de Hilbert, o cualquiera posterior, que las hay más sencillas, son una curiosidad lógica de interés lógico, pero que no aportan nada al conocimiento de la geometría tridimensional euclídea propiamente dicha.

La teoría de conjuntos es uno de esos "hermanos pobres". No puede permitirse el lujo de apoyarse en la intuición (sea porque no existe una intuición de "conjunto en general", como opino yo, sea porque es insuficiente, como opinaría Gödel, pero la diferencia es filosófica e irrelevante en la práctica), así que no tiene más remedio que basarse en unos axiomas, hacer unas construcciones minuciosas hasta el tedio de los números naturales, enteros, racionales, reales, etc., todo porque no puede confiar en ninguna intuición que avale las afirmaciones que pueda hacer sobre algunos de esos objetos (los números reales, por ejemplo), lo que le obliga a pararse a detallar todo, tanto para los objetos "no intuitivos" como para los intuitivos, pues no puede relacionar la intuición de los primeros con el razonamiento sobre los segundos, que requiere procedimientos estrictamente formales.

Pero al reclamar para la metamatemática ese nivel de rigor, no estáis reivindicando la dignidad de los pobres (lo cual es indiscutible, la teoría de conjuntos es rigurosa, muy interesante y fascinante), sino que estáis presumiendo de pobres, estáis convirtiendo la necesidad en virtud, y eso es absurdo. La teoría de conjuntos necesita el rigor que se le exige a causa de su carencia fundamental: que no puede apoyarse en la intuición.

La metamatemática también tiene que ser rigurosa, no pretendo afirmar lo contrario, pero sí que afirmo que una buena administración de un rico no tiene por qué adoptar los mismos principios que una buena administración de un pobre. El rigor de la metamatemática no es un rigor sintáctico, sino semántico, no se trata de obrar según unas normas, sino de que todo lo que se diga tenga sentido.

¿Cómo se van a parecer los criterios de rigor que hay que exigir a la metamatemática a los que hay que exigir a la teoría de conjuntos si la teoría de conjuntos es una teoría formal diseñada para que el significado de las palabras sea irrelevante, mientras que en la metamatemática el significado de las palabras es lo esencial?

Así como en la teoría de conjuntos uno tiene que tener cuidado de cosas como no tratar como un conjunto lo que es una clase propia y similares, pero no de si tal definición significa algo o no significa nada, en la metamatemática uno tiene que tener cuidado de no salirse de la intuición al cuantificar sobre un concepto del que la intuición no proporciona más que instancias particulares, pero no una representación de la totalidad. Este tipo de precauciones son totalmente ajenas al rigor formal de la teoría de conjuntos, y por eso no entendéis nada de lo que os trato de decir, porque vuestro concepto de rigor es el rigor del pobre que ha identificado con "ley de vida" lo que en realidad es "ley de carestía", y no es capaz de comprender que a un rico no le preocupe cuánto gasta, sino más bien que no le roben lo que tiene. Un pobre no entiende de gastos en alarmas antirrobo, y un rico no entiende de ahorro de luz. Las normas de conducta no tienen nada que ver unas con otras.

Si de verdad queréis entender la metamatemática, haced de auténticos Tarzanes, olvidáos de vuestras normas de rigor adaptadas al razonamiento formal, y no tratéis de exigir ingenuamente las mismas normas para la matemática intuitiva, sino que debéis plantearos qué normas hacen falta realmente en ese contexto totalmente distinto.

Digamos pues, para expresar de forma clara y resumida mi punto de vista, que es perfectamente lícito (y desde luego muy recomendable) exigir a cualquier teoría que pretenda ser base ó fundamento de las ciencias deductivas, cuando menos el mismo rigor que hoy por hoy nos ofrecen dichas ciencias. ¡Que menos!

Eso es absurdo, porque la teoría que pretende ser base de las ciencias deductivas no pretende ser una ciencia deductiva. La metamatemática es mucho más parecida a la biología que a la matemática formal. Cuando un biólogo estudia un gato, no plantea unos "axiomas de gato", ni unas "reglas de razonamiento de gato", sino que obtiene información sobre los gatos observando los gatos, por dentro y por fuera, sin axiomas. Y luego, en todo caso, puede organizar lógicamente la información obtenida, pero tiene el mismo sentido pedir  una axiomatización de la metamatemática como pedir una axiomatización de la biología. Los números naturales se parecen a los gatos en cuanto que son algo "observable", si bien los gatos son objetos empíricos, mientras que los números naturales son intuiciones a priori, pero esa diferencia tendrá su importancia epistemológica, pero apenas es relevante a la hora de plantearse cuál es el mejor método para estudiar objetivamente a los gatos y cuál es el mejor método para estudiar objetivamente a los números naturales. En uno y otro caso, lo importante es que todo cuanto se diga tenga sentido y sea verdad, cuando intepretamos la palabra "gato" como gato y la palabra "número natural" como número natural. En teoría de conjuntos, lo importante es que todo lo que pueda razonarse se pueda razonar sin pararse a precisar qué significa la palabra "conjunto". ¿Cómo van a tener métodos similares teorías tan dispares?

[Carlos Ivorra]

¿Porqué no te ciñes a las reglas del juego?,

Porque "fijar arbitrariamente las reglas del juego" es algo que puede hacerse en la matemática formal: tú da los axiomas que quieras y el juego es ver qué se deduce de ellos, pero esa clase de juegos carece de sentido si pretendes razonar metamatemáticamente. En tal caso, "las reglas de juego arbitrarias" son solo palabras, y las palabras sin un respaldo intuitivo no son reglas de juego válidas. Tú pretendes desenvolverte con las "reglas de la pobreza" en un entorno donde no hay pobreza, es como si pretendieras defenderte de los ladrones ahorrando dinero, porque es lo único que sabes hacer. Es un disparate.

¿que pasa que si te sales del guión ya estás perdido?

Pasa que si me propones razonar intuitivamente y me hablas de conceptos sin contenido intuitivo no hay nada que decir.

Estamos fuera de la lógica, trabajando solo con conceptos derivados de mi propia intuición y los conjuntos no existen, todavía no, porque no están en mi mente. No sabemos lo que son, solo sabemos construir cadenas de símbolos y agruparlas en secuencias y en familias. Ese es el juego, cíñete a él por favor, no me saques aquí las paradojas de la TC que ya me las conozco y además no vienen a cuento.

Nuevamente actitudes "de pobre". Cuando desarrollas una teoría axiomática, sólo sabes lo que has demostrado hasta el momento, y tu economía no te permite el lujo de hablar de nada que todavía no ha aparecido en el discurso. Metamatemáticamente, esa restricción es admisible como autoimposición, como la del avaro que puede gastar y prefiere la miseria, pero no es verdad: los conjuntos sí existen, existen tanto como tus cadenas de signos, pero no como tus totalidades de cadenas de signos. La regla fundamental es que las reglas han de significar algo, y tú no cumples esa regla o, por lo menos, no está claro que la cumplas. Yo creo que no.

Y las paradojas sí que vienen a cuento. En teoría de conjuntos no hay (que se sepa) paradojas, porque la metamatemática se ha preocupado de expulsarlas del razonamiento formal, pero para ello, la metamatemática tiene que razonar sin esa garantía de que no hay paradojas, al contrario, el rigor metamatemático consiste en apoyarse en la intuición para evitar paradojas, y ello conlleva una serie de precauciones que son las que determinan las reglas de juego metamatemático, unas precauciones que son ajenas a los pobres habituados a la matemática formal, porque las paradojas son como los ladrones para los pobres, que no se ven afectador por ellos, pero los ricos sí que tienen que prevenrirse de los ladrones, y no a base de ahorro.

Las paradojas vienen a cuento porque son un peligro a evitar y tu modo de proceder "que busca el ahorro y la economía" es temerario, porque se aleja irreflexivamente del terreno seguro de la intuición. Yo te prevengo de que hay ladrones y tú me contestas que no les tienes miedo, que no te hable de ellos, porque tú mismo has elegido un papel de rico pero sigues pensando como un pobre.

Entonces crees que solo con esas cuatro afirmaciones no podría construirse un sistema suficiente para desarrollar una teoría llamemosla ... meta (por no especificar más)?

No, no lo creo, porque no entiendo esa teoría. No entiendo qué significa hacer afirmaciones sobre "la totalidad de tus cadenas infinitas". Y una teoría que no se entiende no es una teoría aceptable, porque sin intuición y sin lenguaje formal, no tenemos nada a lo que agarrarnos.

Dicha teoría debería ser capaz al menos de contener algunos sistemas básicos de numeración para poder contar objetos y caracterizar (distinguir) entre al menos objetos finitos, numerables y continuos e incluso quizás medir estos últimos. ¿Crees que con esas cuatro premisas no podría hacerse eso? Creo que esa sería una base muy interesante para realizar algunas cuentas elementales en metalógica y desde luego mucho más rigurosa que la muestra.

No, si en realidad yo no te cuestiono la muestra que has dado, sino lo que se ve venir detrás de ella. Yo podría entender afirmaciones sobre "todas las sucesiones de signos xy" como esquemas de razonamientos sobre una cualquiera de ellas, pero tus propósitos apuntan a emplear esa "totalidad" carente de contenido intuitivo en un sentido fuerte inaceptable, no porque no me guste a mí, o porque hoy me haya levantado de tal humor, como dice argentinator, sino porque, si tú mismo descartas la matemática formal como base de tu juego y al mismo tiempo haces afirmaciones sin un contenido intuitivo pleno, no concibo qué sentido puede darse a tus palabras: ni son formales, ni tienen un contenido. ¿Qué son entonces?

Aunque no te estoy diciendo que esa sea la mejor solución, hay muchas otras, solo sería necesario encontrar la más adecuada a las necesidades actuales e irla desarrollando en base a las necesidades futuras, pero con un poco más de rigor, que es quizás lo que falte hoy en día.

Lo que os falta si queréis actuar como ricos, es no actuar como snobs (nuevos ricos que no saben comportarse como ricos). Huelga decir que la comparación con "ricos y pobres" pretende poner de manifiesto sutilezas lógicas en la diferencia entre nuestras posturas, y empleo snob siguiendo la alegoría, pero, por favor, entended los términos como totalmente asépticos y carentes de ningún valor peyorativo.

[Carlos Ivorra]

He aquí el resultado de una función de selección para el reloj de 8 horas, que garantiza que su cardinal es el de (de 8 horas). ¿Qué pasa si hay una de estas para cualquier conjunto de partes mayor que 3?

Por aquí algunos me acusan de "hacerme el tonto". Nada más lejos de mi intención. Siempre procuro leer bien lo que escriben otros, entenderlo y replicarlo de buena fe. Pero no sé qué decirte. Cuando yo digo "relación de orden", quiero decir "relación reflexiva, antisimétrica y transitiva", y cada uno de estos conceptos tiene a su vez una definición rigurosa que puedes encontrar en mil sitios. Yo no puedo responderte si no me das una definición rigurosa de qué significa "una de estas". Sinceramente, no sé qué estás argumentando. No puedo decir si tienes razón o no porque no sé qué dices. Lo siento.

[Jabato]

Yo no he fijado regla alguna del razonamiento, ni he establecido un sistema formal, ni un lenguaje, ni axiomas, solo he establecido las cosas que puedo hacer con mi mente en base a ciertas intuiciones, a ciertas percepciones intuitivas que soy capaz de identificar. Saber si con ellas voy a llegar a algún tipo de contradicción es algo que aún estaría por ver. Yo solo digo que con esos conceptos puedo "a priori" establecer unas reglas que me permitirían realizar comparaciones entre cadenas para poder discernir sus carácterísticas fundamentales y sacar algunas conclusiones, y por supuesto todo basado en la intuición, nada más.

Pues chico, si te parece que las cuatro premisas que expuse para iniciar el juego carecen de sentido intuitivo, es que realmente no sabes lo que es la intuición. A ver, ¿que es para tí un concepto intuitivo y que es la intuición?

¿Una cadena infinita no es para ti un concepto intuitivo? ¿una secuencia infinita no es para ti un concepto intuitivo? ¿Una familia infinita de cadenas no es para ti un concepto intuitivo?

Pues estamos apañados.

Saludos, Jabato.