¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

[Fernando Revilla]

Brouwer y Hilbert no intuían diferentes números naturales. Simplemente discrepaban en el punto hasta el cual estaban dispuestos a basar sus razonamientos en su intuición.

¿Te parece poca diferencia el que Brouwer a diferencia de Hilbert no consideraba a como entidad construida?

Esa diferencia es una diferencia teórica, no intuitiva. Quiero decir que simplemente resume, o sintetiza, una serie de restricciones que Brouwer se auto-impone a lo que se puede decir o no se puede decir sobre los números naturales, pero no significa que los números naturales en los que piensa Brouwer sean distintos de los números naturales en los que piensa Hilbert.

Si tú y yo estamos ante un puente y yo afirmo confiado que lo podemos cruzar sin que se hunda, y tú dices que no te atreves a cruzarlo porque temes que se hunda, tú y yo tenemos teorías distintas sobre el mismo puente.

No tiene sentido decir "intuyo los números naturales de Hilbert" o "intuyo los números naturales de Brouwer". ¿Los dedos de tu mano, son cinco dedos de Hilbert o cinco dedos de Brouwer? Eso no tiene sentido.

Claro, en términos finitistas, ninguna diferencia.

Pues ésa es la cuestión, que el número cinco de Brouwer es exactamente la misma cosa que el número cinco de Hilbert. Hilbert diría que la conjetura de Goldbach es verdadera o falsa, y Brouwer diría que, mientras no se demuestre o se refute, no es ni verdadera ni falsa. Con ello, Brouwer no está viendo algo distinto a lo que ve Hilbert, sino que se está negando a mirar (no acepta que se mire) donde Hilbert mira. La diferencia entre el que mira y el que no mira no es la misma diferencia que hay entre el que ve una cosa y el que ve otra distinta. La primera es subjetiva (Brouwer no ve porque renuncia a ver por principio), la segunda es objetiva, y no creo que nadie cuerdo (obviamente incluyo a los intuicionistas entre los cuerdos) haya defendido nunca algo así como "mis números naturales son distintos de los tuyos", sino más bien, "la teoría (o la filosofía) que yo construyo sobre los números naturales que tú y yo intuimos es distinta de la que tú construyes".

Si la diferencia entre ambas teorías llevara a discrepancias reales, que se pudieran presentar como objetivas (mis números cumplen esto, los tuyos cumplen lo otro) entonces podría tener razón argentinator al cuestionar que la intuición determine unos objetos a nuestro entendimiento, pero mientras las diferencias sean del tipo "yo no me atrevo y tú sí", no veo indicio alguno de la presencia de diferencias objetivas entre los objetos que la intuición presenta a uno y a otro. Fíjate que decir "mis números no cumplen el tercio excluso, y los tuyos sí que lo cumplen" no es realmente una diferencia entre mis números y los tuyos, no es una diferencia sobre lo que tú y yo vemos en los números, sino entre lo que tú y yo nos atrevemos a decir sobre los números.

Bien, las diferencias que tú mismo reflejas son (si quieres "pienso que son") de una gran relevancia. Afectan de manera rotunda a la forma de hacer matemáticas. Te recuerdo que Kronecker llamaba a Cantor charlatán, renegado y corruptor de la juventud estudiosa (describo, no opino).

[Cristian C]

No se si enriquece o no, pero creo que agrega algo de detalle a un costado del debate.

Si vaciamos el agua de un vaso bajo y ancho dentro de un vaso alto y angosto y preguntamos a un niño muy pequeño si hay más o menos agua en el vaso alto de la que había en el vaso bajo, el niño dirá que hay más agua ahora en el vaso alto. Esto es así aunque el procedimiento de trasvasar el agua lo efectuemos frente a sus propias narices. Lo que ocurre es que el niño aun no ha construido una capacidad intelectual conocida como conservación del volumen.

Lo mismo ocurre con el ejemplo de los puntitos de Donald:

imagínate una ristra de n puntitos, y luego le pones detrás otra ristra de m puntitos. ¿Tendrás los mismos puntitos si los cuentas de atrás adelante que si los cuentas de adelante hacia atrás?

Un niño muy pequeño, que posiblemente ya pueda acomodar los puntitos (o pelotitas), no podrá responder la pregunta de Donald hasta tanto no haya construido una capacidad intelectual conocida como conservación de la cantidad, uno de cuyos aspectos es, precisamente que las cantidades de objetos no dependen del orden en que los contemos.

Existen muchas experiencias de este tipo que revelan de qué modo vamos construyendo distintas capacidades intelectuales, algunas de las cuales son objeto de esta discusión.

En muchos de estos procesos de construcción, funciona una especie de principio de inducción, donde el sujeto (el  nene) se convence de la “regla” (y la adopta) luego de verificar muchas veces que ésta se cumple. No hay una forma de derivar la verdad de una regla general a partir de la verdad de un número finito de casos particulares, pero al cerebro humano, esto le importa un bledo. Sin reglas, operar la realidad se transformaría en un trámite tediosísimo. Habría que verificar caso por caso todas las cosas antes de darlas por ciertas.
La capacidad del cerebro humano de establecer reglas a partir de experiencias que demuestran que estas se cumplen en todos los casos que hemos explorado, es vital para nuestra supervivencia. Por eso el cerebro funciona así.

El intelecto, el conjunto de todas nuestras ideas y nuestra capacidad de operar con ellas, se construye así durante una serie de etapas sucesivas. En cada una de ellas se construyen estructuras mentales capaces de representar aspectos de la realidad como por ejemplo, el concepto “tres” o la conmutatividad de la unión. Pero no solo esto. Cuando el intelecto ya está lo suficientemente maduro, es capaz de concebir otras ideas que no tienen referente fáctico, como el conjunto de todos los números naturales, o el concepto geométrico de “recta”.
Tanto el concepto de número 3 como el de recta, son intuitivos, esto es, podemos concebirlos sin una formalización previa, pero el concepto de 3 es fáctico y el de recta no lo es. Tanto el concepto de recta como el de conjunto de los números naturales dan por acabados procesos infinitos, y por eso no son fácticos. Quiero decir, concretamente: no hay forma de comprobar fácticamente que entre cada par de puntos de una recta existe otro punto, porque habría que realizar una serie sin fin de comprobaciones particulares.
La idea del infinito actual es inquietante y sobrecogedora, pero no voy a hablar de ella, solo notar que es intuitiva y no fáctica. Con esto, solo pretendo sentar una diferencia entre las ideas de “concepto intuitivo” y “concepto fáctico” que se están utilizando como equivalentes en este debate cuando no lo son.
(Donald: en tu crítica a mi idea de que en su origen los conceptos matemáticos son fácticos, me pusiste un contraejemplo con la geometría de Euclides, que es intuitiva pero no fáctica.)

Varias veces argentinator ha cuestionado que su idea de los naturales puede ser distinta a la de otros. Esta es una cuestión central en epistemología.
Sucede que la adquisición de conocimientos es un proceso individual. Allí construimos ideas que son invisibles para los otros. ¿De qué manera, entonces, se establece que una idea es común a todos los sujetos y, por lo tanto, expresa una verdad independiente de ellos? Es imposible establecer esto con certeza absoluta. Pero existen muchas formas de “sintonizar” las ideas de unos individuos con las de otros de modo que podamos emitir afirmaciones razonablemente objetivas.
Lo primero es observar que la realidad que tratamos de representar con nuestro intelecto es la misma para todos, entonces es de esperar que los intelectos individuales construyan estructuras de representación análogas en algún sentido.
Lo segundo es observar que durante el propio proceso de construcción del intelecto, muchas ideas nacen ya sintonizadas, porque el aprendizaje tiene una muy fuerte componente social.
Lo tercero es observar que uno de los elementos intelectuales que se aprenden: el lenguaje, sirve como instrumento catalizador de esa sintonía de tus ideas con las mías que permite gran precisión y resolución en la certeza de que estamos hablando de lo mismo.
Pero repito que ninguno de estos procesos “asegura” que tus ideas son las mismas que las mías. De hecho, yo tendría problemas si me pidieran definir la “igualdad de ideas”.
Pero esta incertidumbre esencial, es un hecho. No tiene sentido cuestionarlo como no cuestionamos la redondez de la tierra y no tiene sentido quejarnos de su presencia como no tendría sentido protestar porque no podemos viajar hasta una arista del planeta.

Por todo esto, en respuesta a la inquietud de argentinator, todo proceso de formalización deberá basarse, en algún punto en una metateoría intuitiva, imprecisa, la cuál tiene a su vez un germen fáctico.

Paro aquí, que mañana presido mesa en los comicios.

Saludos

Ptda: argentinator, estoy casi seguro que “mario” es el mismo Mario Augusto Bunge, epistemólogo y filósofo de la ciencia. He encontrado links desde su sitio a artículos suyos aquí, en el rincón matemático que provienen de mario. Pero no se que datos tienes tu.

[feriva]

Buenos días a todos. En cuanto a esta cita que, a su vez, comenta Cristian C quiero decir algo

imagínate una ristra de n puntitos, y luego le pones detrás otra ristra de m puntitos. ¿Tendrás los mismos puntitos si los cuentas de atrás adelante que si los cuentas de adelante hacia atrás?

 Depende de si "n" está definido o si se considera teóricamente definido; si no lo está, no se puede contar ni hacia adelante ni hacia detrás, ésa es la cuestión. Y esto se puede razonar sin necesidad de recurrir al infinito, podemos suponer que nos dan el número ventitantos: "2K" donde "K" es cualquier dígito o cifra del uno al nueve. ¿Cuánto es ese número menos uno, qué número queda?, ¿cuál es la mitad de ese número?, ¿qué es un tercio de ese número?. ¿cuánto vale un cuarto de ese número?

 Para todas estas preguntas tenemos diez respuestas posibles, ese número son diez números naturales posibles; luego, si no existe la posibilidad de desvelar el valor de "K" no es "un" número natural, no es ninguno o son varios a la vez. Por tanto el problema no está en el hecho mismo del infinito sino en la indefinición. Ese número de sólo dos cifras no es natural por el mero hecho de que a mí no me da la gana deciros lo que vale "K" (y no os lo voy a decir nunca, me arrogo esa cualidad del infinito  ).

Pero ese problema no es el mayor en cuanto a decir cuáles son lo números naturales; se puede solucionar teóricamente conviniendo que todo "n", para ser un "n", ha de ser necesariamente determinable o ha de considerarse teóricamente determinable aunque esto sea imposible en la práctica. Y aún hay al menos dos problemas que requieren una convención para poder decir si es natural o no; en primer lugar, obviamente, hay que considerar todos los números positivos y, en segundo, hay que convenir que el elemento de menos valor, el mínimo (dejando a un lado el cero) es necesariamente el elemento unidad del conjunto; porque si hay uno menor que la unidad, entonces, existe un racional que no es entero y no se puede considerar un natural, por tanto.

Así que, según considere quién es el uno -y ésta es una elección arbitraria que no está decidida por la naturaleza- los números naturales pueden estar mezclados con racionales puros o no. No están bien definidos, como se ve, van a requerir siempre de nuestro acuerdo.

Saludos.

 

[Carlos Ivorra]

Esto no es serio. Yo dije que algo es lo mismo que algo, pero no dije que cualquier cosa es lo mismo que cualquier otra, que es lo que parece al leer vuestras respuestas. Empecemos por ésta:

Bien, las diferencias que tú mismo reflejas son (si quieres "pienso que son") de una gran relevancia. Afectan de manera rotunda a la forma de hacer matemáticas. Te recuerdo que Kronecker llamaba a Cantor charlatán, renegado y corruptor de la juventud estudiosa (describo, no opino).

¡Pues claro! Ya le he contestado esto mismo a argentinator. Nunca he dicho que sea lo mismo, o que sea irrelevante, ser escéptico como argentinator, ser medio escéptico como Brouwer o no ser escéptico como Hilbert. Por supuesto que es fundamental y que afecta decisivamente a la forma de hacer matemáticas. Lo que he dicho es que esas diferencias fundamentales no provienen de que los números naturales intuitivos sean un concepto ambiguo o incluso de que cada cual los "intuya a su manera", como pretende argentinator. Que son diferencias subjetivas (provenientes de remilgos injustificados, en mayor medida en el caso de argentinator,  más moderados en el caso de Brouwer, pero que tienen su origen en una autoprohibición voluntaria y sin razón de ser, no en los números mismos).

(Nota: Quede claro que no empleo la palabra "remilgo" o "mojigatería" en ningún sentido despectivo. No sé qué otra palabra podría usar para expresar la pura idea de "no atreverse a algo sin justificación para ello", sin ninguna connotación deshonrosa, como la tendría la palabra "cobardía", que aquí sería totalmente inapropiada.)

Por poner un ejemplo: todos vemos los mismos animalitos por el mundo, con las mismas características y, sin embargo, hoy en día hay quienes creen (no exagero, he hablado con alguien que cree esto literalmente, y hay páginas web que lo sostienen) que esos animalitos los creó Dios en un día y otros que creemos que se han creado por evolución biológica. Pero no se puede interpretar esta discrepancia como que "los animalitos que ve un creacionista son distintos de los animalitos que ve un biólogo serio, porque los primeros tienen la propiedad de haber sido creados por Dios en un día, y los segundos tienen la propiedad de haberse creado por evolución biológica". Dentro de esta comparación, el escéptico sería alguien que dijera que es imposible saber si la teoría de la evolución es cierta o no, porque ello obligaría a estudiar animales que ya no existen y eso es imposible, porque para estudiar a un animal hay que tenerlo delante vivo y coleando.

Por si no se entiende la comparación: argentinator dice que no se puede fundamentar ZFC, porque para fundamentarlo hace falta trabajar sin unas reglas predefinidas y eso es imposlible, y se niega a entender que toda regla necesita ser justificada, luego las reglas no son el principio, sino el fin de la creación de un principio (el fin de la metamatemática, que tiene por objeto crear un principio para la matemática).

Y desde luego, no es lo mismo decir que los animalitos son los mismos para todos que decir que es lo mismo ser creacionista que ser un biólogo serio, ni mucho menos que sea irrelevante lo uno o lo otro.

Así que, Fernando, si discrepas de mí en algo, ya me dirás en qué, porque hasta ahora yo suscribo plenamente todo lo que has dicho (excepto lo que das a entender que yo he dicho. Respecto a eso me uno a ti "contra mí").

No sé si comentar todo, porque muchas cosas son más de lo mismo.

Pero por ejemplo, "no estoy contento con ZFC".

Pienso que la relación entre la parte "intuitiva" de la matemática y la posterior construcción de ZFC, que ambas en conjunto forman la matemática moderna, no me conforman.

En cuanto a si estoy discutiendo de una cosa o de otra, bueno, es confuso, porque me he quejado de cosas distintas, y encima noto que se relacionan unas con otras, y no siempre logro separar una queja de la otra.

Una de las quejas es que los textos de metamatemática no son claros.
Vos decís: "agarro un libro de metamatemática, y entiendo lo que dice y ya está".
Pero yo no entiendo lo que dice, porque no entiendo qué supuestos hacen o qué reglas aplican.

Cuando pienso que deberían precisar tal o cual cosa, no lo hacen, y cuando veo que no lo hacen porque "nunca se hace", me encuentro conque soy el único que parece cuestionarse cosas infantiles que todo experto debiera cuestionarse.

Pero no es así. No hay una confabulación entre todos los lógicos del mundo para no hablar de temas comprometidos y silenciar a los que ponen objeciones. Los libros no detallan que la suma de números naturales es asociativa y que todo conjunto no vacío de naturales tiene mínimo, etc. porque ocuparían 20 páginas que todo lector se saltaría. Bueno, hay algo más en realidad, y es que sería difícil presentar esa lista "en abstracto". Ya te expliqué en qué sentido se puede aceptar metamatemáticamente que todo conjunto de números naturales no vacío tiene un mínimo elemento: ha de ser un conjunto "bien definido" en el sentido de que su presunta definición realmente especifique (de forma constructiva o no) qué significa que un número natural está en el conjunto. Por ejemplo, el "conjunto" de la paradoja de Berry no está bien definido, pues su definición es circular, por lo que en realidad no es una definición, sino una yuxtaposición de palabras sintácticamente correcta, pero sin significado alguno.

Ésa es la diferencia fundamental entre la matemática formal y la informal: en la primera, la corrección sintáctica de una frase es garantía de que la frase tiene sentido, mientras que en la segunda no.

Hablo de computable y no computable del mismo modo que hablo de intuiciones, metamatemática y ZFC: porque es lo que hay.

Pero para la "intuición" de números naturales pareciera que estás usando la intuición de Cantor, que te da lo mismo que sea la de Brouwer, y ambas cosas están separadas por una frontera importante.
¿Y entonces, qué valor tiene la intuición ahí, si no es capaz de distinguir ambos lados de una frontera importante?

No nos entendemos. No sé a qué te refieres con la "intuición de Cantor". Dudo mucho que exista una "intuición de Cantor" en el sentido que pretendes. Probablemente, Cantor creía que tenía un conocimiento intuitivo de los conjuntos en general, pero eso es como quien cree que Dios le habla. Puedo imaginarme qué llevaba a Cantor a pensar que poseía una intuición sobre los conjuntos en general, porque no es ningún fenómeno extraño. Imagina que te pregunto cuántas aristas tiene un cubo de cuatro dimensiones. Para ello puedes imaginarte dos cubos tridimensionales concéntricos con sus vértices unidos y contar sus aristas, y podrás decir que has obtenido intuitivamente la respuesta, y es verdad, pero eso no significa que tengas una intuición de un cubo de cuatro dimensiones, sino que has aplicado una analogía aceptable entre lo que sería un cubo de cuatro dimensiones y un objeto tridimensional, analogía que en ese caso es fiable, pero, en general, los razonamientos por analogía no son aceptables, pues no está claro hasta qué punto la analogía es fiable.

Es muy frecuente que un matemático que trabaje con espacios topológicos raros y nada intuitivos razone sobre figuras y esté convencido de que esas figuras reflejan intuiciones sobre sus espacios raros, pero no es así, por lo menos no en el sentido de la palabra "intuición" que es aceptable para hacer metamatemática, sino sólo en ese sentido vago, e incluso despectivo, con el que los matemáticos califican todo lo que no es matemática formal, que, desde luego, es inaceptable como fundamento de nada. En eso tienes toda la razón.

Te quejaste de que "argumenté sobre hechos desconocidos".
Y sí, es indeseable.

Pero también es mala filosofía "hacerse el tonto" no dejando claro cuáles son los límites a los que se le da crédito a la intuición, dejando una frontera difusa a propósito, por mera conveniencia.

Yo no me hago el tonto. Esos límites son subjetivos en el sentido de que tú no das ningún crédito a la intuición, Brouwer le daba algo más que tú, Hilbert mucho más que Brouwer y no sé si yo le doy el mismo crédito exactamente que Hilbert o si tal vez un poco más, no conozco tanto el pensamiento de Hilbert, pero sí que sé precisar "exactamente" (y lo pongo entre comillas porque sé que a ti no te parecerá exacto) el crédito que se le puede dar a la intuición: razonar intuitivamente exige ser consciente de que unas palabras sintácticamente correctas no tienen necesariamente un significado asociado, y que para que un razonamiento sea fiable hace falta que todos los conceptos que involucre sean conceptos, no ya sintácticamente bien definidos (que es el requisito de ZFC) sino semánticamente bien definidos, lo cual significa que podamos darles un contenido intuitivo concreto (no una mera analogía) y, en el caso contreto de conjuntos, que esté totalmente claro qué significa que un objeto sea o no sea un elemento del conjunto en cuestión.

Naturalmente, esto es vago, porque no se puede teorizar sobre la metamatemática. Insisto en que, cuando quieras, tomamos una demostración metamatemática y la analizamos, y yo te podré explicar qué razones hacen que considere aceptables todos y cada uno de sus pasos, pero con razonamientos particulares para cada caso. No hay un esquema general aplicable a todos los casos, porque construir un esquema general supondría comprobar que las reglas que se dieran serían aplicables en todo contexto posible, y no tengo una representación intuitiva de la totalidad de los contextos en los que se podría aplicar una regla dada, luego mi intuición no me permite hacer juicios que ratifiquen la validez universal de una pretendida regla de razonamiento metamatemático.

En cuanto al teorema de Godel y demás, no tengo por qué creerlo.
No es una cuestión de creencias.

Intenté poner el máximo cuidado en no decir nunca "creer", sino "aceptar", que no es lo mismo. Si se me escapó algún "creer" fue un lapsus. No es lo mismo porque, por ejemplo, Brouwer no acepta el principio del tercio excluso y Hilbert sí, y no sería justo decir que la aceptación de Hilbert es una creencia, sino más bien que la no aceptación de Brouwer es una arbitrariedad subjetiva injustificada.

A pesar de que es un teorema metamatemático, lo de Godel tiene sentido, pero porque Godel DEJÓ BIEN CLARAS LAS REGLAS DEL JUEGO.

Godel usó el lenguaje y la lógica de primer orden para expresar metamatemáticamente propiedades también del lenguaje de primer orden.

En las construcciones del teorema de Godel las reglas usadas en el costado metamatemático están claramente especificadas.

Aquí me sorprendes. Yo me estudié en su día los dos artículos de Gödel sobre el teorema de incompletitud. Hace ya tiempo de eso, pero, por si me fallaba la memoria, los acabo de hojear, y no veo nada de lo que tú dices. Gödel habla "alegremente" de números naturales, de signos, de cadenas de signos, hace razonamientos metamatemáticos por inducción, y no veo que haga ninguna precisión sobre las reglas metamatemáticas que utiliza. Si me puedes citar algún pasaje que sostenga lo que dices...

Quizá hay puntos del resultado de Godel que no son así, sino que "se salen" del esquema.
No tengo destreza en este teorema, no entiendo todo aún.
Hay cosas que las he visto por arriba, y en tal caso tengo la impresión de que hay partes del resultado de Godel que se salen de las reglas que menciono.
En ese caso, en ausencia de reglas claras, ya no aceptaría yo alegremente lo que dice Godel.

¿Pero se entiende por qué a Godel le creo más?

No se trata de si es formal o no,
de si usa ZFC o no,
sino de que es el único que dijo claramente cuáles reglas estaba usando como "metamatemática".

¿Por qué él pudo hacerlo, y a los demás no se les entiende nada de lo que hablan?
¿Por qué Godel puede ser serio y los demás no, y en vez de tratar de ser exactos, no hacen más que defender la "intuición", una cosa difusa que nadie sabe lo que es?

Ya te digo que no sé a qué te refieres. Pero sí te aseguro que en cuatro o cinco artículos de Gödel tienes todo lo necesario para fundamentar la matemática formal holgadamente (por ejemplo, en su prueba de la consistencia de la hipótesis del continuo construye detalladamente NBG), así que tú mismo te has dado la solución: estudia a Gödel y todos tus problemas estarán resuletos, aunque, ya digo, yo veo los trabajos de Gödel tan "estándar" sobre las cuestiones metamatemáticas como cualesquiera otros. No veo la diferencia que señalas.

Yo pienso que defender tanto la intuición es más bien la actitud de "escabullirse" del problema de buscar la exactitud.

¿Qué pasa con la exactitud?

Pasa que la exactitud no es lo que tú crees que es la exactitud, sino que tú tienes un concepto idealizado de lo que es la exactitud que, de tan ideal que es, resulta que es imposible. La exactitud de ZFC es "trivial" porque consiste en exactitud sintáctica: toda definición sintácticamente correcta es correcta (otra cosa es que se pueda demostrar que el objeto definido no existe, o que sea el conjunto vacío, o lo que sea, pero será un teorema trivial y ya está), y pretendes reducir la exactitud metamatemática a exactitud sintáctica, cuando necesitas inevitablemente un concepto semántico de exactitud, es decir, no puedes pretender que te den algo así como unas reglas sobre de qué conjuntos puedo hablar y de cuales no, sino que la respuesta a ese problema es, "dame una presunta definición de un conjunto y analizaremos si realmente tiene o no un contenido intuitivo, y sólo podremos usarlo en razonamientos si concluimos fuera de toda duda que, en efecto, con las palabras de tu definición estamos nombrando una entidad concreta y bien determinada y no unas meras palabras sin sentido". Por ejemplo, si me hablas de "el conjunto de todos los subconjuntos de " yo te diré que, al menos yo, no sé darle un contenido intuitivo a esas palabras, por lo que yo no aceptaré razonar intuitivamente con semejante definición, porque no soy capaz de concebir qué significa que una afirmación dada sea verdadera o falsa para la totalidad de los subconjuntos de .

Para terminar: no dejas de reprocharme que yo no especifico los límites de confianza que le concedo a la intuición, y yo no dejo de replicarte que no puedo responderte en general, pero que eso no significa que no haya unos límites bien definidos. Puedo tratar de mostrarte cuáles son esos límites sobre un caso concreto, pero eso requiere tu colaboración.

Si tienes ganas, te propongo lo siguiente: tomemos el teorema menos constructivo de entre los fundamentales a la hora de justificar la lógica de primer orden. Para no perdernos en generalidades lo restringiré a un caso particular representativo:

(Meta)Teorema: Si ZFC es consistente, entonces tiene un modelo numerable.

Mi propuesta es que me dejes exponerte poco a poco la demostración estándar de ese teorema metamatemático tal y como lo presenta cualquier libro de teoría de modelos, pero particularizado a este caso concreto de ZFC y entendiendo que no trabajamos en ZFC (como hacen muchos libros de teoría de modelos, cuyo propósito no es fundamentar ZFC), sino metamatemáticamente.

Te prevengo que podrás decirme: "en realidad estás trabajando en ZFC", porque el argumento es trivialmente formalizable en ZFC, como mi demostración sobre los paréntesis, pero el quid de la cuestión es que, aunque sea formalizable, para no caer en un círculo vicioso, es esencial reconocer que es posible sostener el argumento sin el apoyo de ZFC, sino únicamente con el apoyo de la intuición.

Eso nos daría pie a discutir en un caso concreto si un razonamiento metamatemático (no constructivo) es aceptable o no. Tú podrías presentar objeciones concretas y yo podría presentarte contraobjeciones concretas.

El razonamiento es totalmente elemental. Quiero decir que no involucra sutilezas sobre conjuntos dentro y fuera y numerables y no numerables como el ejemplo de . Sólo involucra construir una relación de equivalencia y un conjunto cociente, y el concepto de demostración formal a partir de unas premisas.

Por supuesto, sólo si te apetece. No tiene ningún sentido que aceptes de mala gana. Yo sólo te digo que, sin entrar en un caso concreto, no hay nada que pueda concretarte, y nuestra discusión se va a quedar siempre ahí. Pero también te advierto que se trata de ir poco a poco, no de dar toda la demostración en un post y luego discutirla. El camino es largo (el teorema no es especialmente largo, lo que se puede alargar son las discusiones sobre cada punto). Tú verás.

[argentinator]

Ptda: argentinator, estoy casi seguro que “mario” es el mismo Mario Augusto Bunge, epistemólogo y filósofo de la ciencia. He encontrado links desde su sitio a artículos suyos aquí, en el rincón matemático que provienen de mario. Pero no se que datos tienes tu.

El filósofo de la ciencia es el papá de Mario.
Los confundí tontamente una vez, porque no sabía nada del tema.
Puse Mario Bunge en google, y ví que aparecían cosas de filosofía y demás, y me dije: "Ah, mirá qué bien, Mario anda en estas cosas, no lo sabía".

No tenía idea de que hubiera un epistemólogo argentino tan reconocido, ni que tuviera relación familiar con Mario.
De epistemología sabía lo que había visto en un curso de la facultad, que llegaba hasta Lakatos, y a duras penas porque me terminó aburriendo... no había ninguna fórmula.

Ya se habló de esto en otro topic:
Quién es el dueño, quién mantiene este sitio web, cómo se financia

Asi que revisé mejor los enlaces de Google sobre Mario Bunge, y me dí cuenta que fui un tonto, porque el filósofo y epistemológo es un hombre bastante mayor, tiene más de 90 apos,
y ahí recordé que una vez Mario nos comentó algo sobre su padre, tamibién de esa edad.

________________

Por un lado, eso me enseñó a prestar más atención a los detalles, cosa que sólo hago con los teoremas matemáticos, pero no hago en el resto de mi vida.

Y también me sirvió para enterarme de que en mi país hay un epistemólogo reconocido, con una trayectoria muy extensa, de quien no sabía nada, salvo lo que me tiraron los enlaces de Google, en donde se notaba rápidamente que es empirista, objetivo, ateo, y lleva una batalla contra la religión y la pseudociencia. También critica el psicoanálisis y algunas ramas de la filosofía.

En lo personal, no he leído nada de él, así que no te puedo decir más.
Para interiorizarme, tendría que ponerme a leer muchas cosas de filosofia, y eso no va a pasar.

Las posturas filosóficas siempre son opinables, y cuando uno se pone a pensar, todo queda patas para arriba.
Yo también tengo una actitud "empirista", pero con tal de pensar un poco, uno ve que "se mueve el piso bajo los pies", porque si te preguntás "qué es una prueba empírica",
resulta que es algo que uno "certifica con la mente",
y la mente juega malas pasadas, incluso SE VUELVE CIEGA a ciertos elementos de la realidad que "están ahí".

http://bocabit.elcomercio.es/curiosidades/impresionante-ilusion-optica.php

No sé qué tanto quiero entrar a discutir estas cosas, es un camino sin fin.

Si buscamos los fundamentos de la matemática en los derroteros de la mente y sus jugarretas, las cuestiones biológicas de fondo, etc.,
va a llegar el momento en que vamos a tener que revisar la teoría de Darwin para justificar si es aceptable o no el Modus Ponens.

Se me pierde la punta del ovillo... jeje.

No hace falta que Bunge opine personalmente acá, su postura es muy clara, y se puede buscar precisiones en algún libro de él, que seguramente es fácil de encontrar por ahí.
Defiende el método científico.

Con respecto a la matemática, no sé si tiene una opinión epistemológica.
Habría que ver si ha escrito algo al respecto.
________________________-

Es un tema escabroso, porque los matemáticos mismos son reacios a renunciar a la visión "platónica" de la matemática.

No les gusta irse del "paraíso de Cantor".

A mí me parece importante recordar que la matemática no es una actividad lúdica aislada, sino que es parte de la ciencia, y las estupideces o aciertos que se hagan en ella repercuten en el modo en que se elaboran teorías sobre el mundo real.

En las ciencias fácticas, se reduce al mínimo el uso de la intuición, se busca la objetividad absoluta, y toda una serie de criterios y comprobaciones que pongan en evidencia los hechos por sí mismos antes que las subjetividades de la mente.
Se evitan los conceptos difusos, ambiguos, contradictorios, etc.

Para lograr el máximo de precisión y exactitud, se confían grandes partes de las teorías científicas a la matemática.
Los matemáticos, preocupados por la precisión y exactitud de su ciencia, y habituados al deber de no caer en vicios de circularidad, paradojas, contradicciones, ambigüedades e imprecisiones, etc.,
confían las bases de la matemática a los lógicos.

Y los lógicos "juegan en el jardín del Edén", sin cuestionarse su propio discurso.

Me hallo pues, que al aplicar las mismas reglas de juego que me inculcaron siempre, el mismo espíritu crítico, la misma búsqueda de precisión, claridad y buena definición, o sea, los mismos criterios de la ciencia y la matemática general,
al tratar de aplicarlos al discurso de la metalógica... veo que "pareciera que no lo aplican".
Me pareció a mí que, "o bien no dejan claro lo que están haciendo",
"o bien no tienen nada claro lo que están haciendo, e igual se consideran expertos y siguen para adelante".

Yo no soy un "crítico escéptico", sino que soy un buen alumno.
Me enseñaron a criticar, eliminar contradicciones, ambiguedades y malas definiciones.
Ahora quiero lo mismo en los fundamentos de la matemática, porque me parece que es más importante lograr esos objetivos ahí que en cualquier otro lugar, y se me responde que soy un "escéptico exagerado".

Yo digo que en realidad el barco hace agua.

[feriva]

De epistemología sabía lo que había visto en un curso de la facultad, que llegaba hasta Lakatos, y a duras penas porque me terminó aburriendo... no había ninguna fórmula.

  Qué exagerado eres; también hay vida más allá de las fórmulas, hombre. Piensa una cosa, si tú explicas algo con palabras y yo con fórmulas, con toda seguridad, tú vas a ser más preciso que yo y vas a cometer menos errores, porque tú eres un profesional y yo un mal aficionado que en un momento dado me puedo inventar una porquería de conjunto B (que todavía estoy dolido con que te metieras con mi conjunto de otoño-invierno, con lo mono que es y lo de moda que está  ) Después de todo las fórmulas suponen un lenguaje, "igual" es "=", como "más" es "+", etc., así que también cabe la ambigüedad y la intuición.

[/quote]

va a llegar el momento en que vamos a tener que revisar la teoría de Darwin para justificar si es aceptable o no el Modus Ponens.

 Aquí puedo meter yo también la cuchara -sólo la punta de la cuchara- porque también me asomé brevemente a la biología (y sé tan poco como de física).
 La teoría de Darwin tiene varios aspectos, algunos muy apoyados empíricamente y de los que se puede dudar poco, como la selección natural, las mutaciones, cuestiones sobre la morfología de las especies... y otros que no se pueden considerar científicos, como el que supone decir que el hombre evolucionó del mono. No hay constatación empírica de que una especie haya evolucionado y se haya transformado en otra; recientemente, hace pocos años, una bióloga pretendía que sí, basándose en unos pequeños animales hermafroditas que había estudiado (no me acuerdo cuáles era, una especie de bichejo de mar, creo) pero el hecho no fue aceptado como una transformación de una especie a otra. Eso es todo lo que había hasta hace unos cuatro años o así. Por otra parte, a partir del año 2000, cuando concluyó el esperado proyecto Genoma Humano, se supo que el cerdo tiene un ADN más parecido al nuestro que el de los monos; y que hasta las bacterias, en cuanto a los genes, tienen un altísimo porcentaje en común con cualquier mamífero y, por supuesto, con el hombre.
 Por otro lado -esto hace ya bastantes más años- en una ocasión se encontró un niño que se había perdido de bebé en una selva; creo que fue conocido como "el caso del niño lobo" y apreció en la Prensa de todo el mundo. Este niño era prácticamente como un animal, al no estar en contacto con otras personas no había aprendido a andar erguido; y creo recordar que no terminó de aprender a hablar, le costaba mucho el aprendizaje. De tal hecho, puramente empírico, se deduce que la evolución humana es mucho más fenotípica que genotípica; hemos evolucionado, más que de otra forma, acumulando conocimientos y transmitiéndolos a nuestros descendientes.
 Darwin se basó en cuestiones puramente morfológicas para deducir que el hombre había evolucionado del mono -y no del cerdo, que quizá hubiera dicho él hoy, por ejemplo- y, por tanto, es una conclusión no científicas, sino intuitiva; y un tanto de ciencia ficción vista al día de hoy. 
 Ambos modelos, el creacionista y el darwinista, carecen de rigor científico, ambos son una cuestión de fe. Unos creen en un creador y otros en que, un buen día, el mono saldrá hablando, fabricando ordenadores y escribiendo novelas policíacas; ¿método científico? Cero en ambos casos.

Un saludo y buenas noches desde aquí. 

[argentinator]

Qué exagerado eres; también hay vida más allá de las fórmulas, hombre.

Sí, se llama "asado".

[Carlos Ivorra]

Argentinator: No había caído yo en la cuenta de que hace poco has caído en lo que considero que es una contradicción fatal para la posición que sostienes. Me refiero a esto que dijiste:

Claro. Sin ir más lejos, es lo que haces tú cada vez que te encuentras con un argumento formal y tratas de distinguir si es correcto o tiene un error. Tus razonamientos sobre la corrección de un argumento formal no son teoremas de ZFC.

En esto te equivocas.

Uso la intuición sólo para ahorrar tiempo.
Porque la demostración es un proceso mecánico.

Me da pereza programar una computadora para que haga el cálculo, o esperar a que haga la verificación de que la deducción es correcta.

Pero la intuición no hace falta para nada.

Yo te respondí tratando de hacerte ver que sí que usas la intuición, pero, vale, concíbelo como quieras. Lo importante es que me has reconocido que no tienes ninguna dificultad a la hora de identificar si un presunto razonamiento formal en ZFC es correcto o no.

También te hice notar que estaba el problema de formalizar una demostración "típica" como las que vienen en los libros. No sé si tendrías esto en cuenta al hacer esta afirmación, pero, por si acaso, me quedo con la versión más débil: has reconocido que si alguien te da una presunta demostración en ZFC totalmente formalizada, es decir, que (presuntamente) consta únicamente de axiomas y de consecuencias de líneas anteriores mediante reglas precisas preestablecidas, tú eres capaz de decidir si se trata realmente de una demostración correcta o tiene un fallo.

Bien. Pero tienes que reconocer que el proceso que te lleva a decidir si una presunta demostración es realmente una demostración o no lo es, no puedes considerarlo como un razonamiento en ZFC, pues sería un círculo vicioso que para determinar si algo es o no un teorema de ZFC hubiera que demostrar un teorema en ZFC, el cual, para ser comprobado, requeriría demostrar otro teorema en ZFC, y así sucesivamente.

Así pues: has reconocido que puedes razonar algo fuera de ZFC, a saber: si algo es o no una demostración en ZFC, y has reconocido que no hay ninguna ambigüedad en ello: o lo es, o no lo es, y tú sabes determinar cuál es el caso. Incluso has reconocido que eso podría hacerlo un ordenador si vencieras tu pereza para programarlo.

Ahora bien, analicemos qué supone esa capacidad que tú mismo te has reconocido que tienes:

Para empezar, has de ser capaz de reconocer si una sucesión de signos respeta la sintaxis de ZFC. Si yo te doy una "demostración formal" cuya primera línea es



tú no dudarás en responderme que la "demostración" es incorrecta porque su primera afirmación no es tal afirmación. Incluso, si no te diera pereza, podrías programar a un ordenador para que se diera cuenta de ello.

En segundo lugar, supuesto que ya hayas comprobado que todas mis afirmaciones son sintácticamente correctas, tienes que ser capaz de identificar si cualquiera de ellas es o no un axioma de ZFC (y no importa si yo, para ayudarte, anoto al lado de cada línea, "esto es un axioma", "esto se deduce de tal y tal", etc., tú has de comprobar si mis notas son correctas.)

Y en tercer lugar, has de comprobar que las afirmaciones que no sean axiomas son consecuencia lógica de otras previas (según unas reglas sencillas prefijadas).

Por lo tanto, al reconocerte capaz de identificar las demostraciones correctas en ZFC (proceso necesariamente metamatemático), te reconoces capaz al menos de manejar metamatemáticamente tres conjuntos infinitos (manejar como mínimo hasta el punto de reconocer qué pertenece y qué no pertenece a cada uno de ellos):

El conjunto infinito de las cadenas de signos sintácticamente correctas

El conjunto infinito de los axiomas de ZFC

El conjunto infinito de las demostraciones en ZFC

Y aquí viene tu contradicción: si yo te digo que puedo determinar metamatemáticamente si un número natural es o no primo, todo son pegas por tu parte: que qué números considero, si los de Brouwer o los de Cantor, que qué propiedades estoy suponiendo, que nosequé, que nosecuántos,

pero resulta que tú no tienes ningún problema en determinar metamatemáticamente si algo es o no una sentencia sintácticamente correcta, si algo es o no un axioma de ZFC o si algo es o no un teorema de ZFC, cuando resulta que es muchísimo más sencillo comprobar si un número es primo o no que comprobar si una cadena de signos es sintácticamente correcta o no (hasta el punto de que difícilmente podría darte pereza programar a un ordenador para que reconociera si un número es primo o no, obviamente sin considerar el problema práctico de números muy grandes, igual que no estamos considerando el problema práctico que plantearía una demostración de un billón de líneas).

Tu contradicción es que te has reconocido capaz de hacer sin vacilación posible (y necesariamente fuera de ZFC) varias cosas más complejas que las que a mí me cuestionas que puedo hacer y para las que me pides mil explicaciones.

Ahí tienes mi respuesta a tu pregunta sobre en qué me fundo para hacer metamatemática: exactamente en lo mismo en lo que tú te fundas para afirmar que puedes distinguir las demostraciones de lo que no son demostraciones. Es cierto que yo voy un poco más lejos, pues admito tratar metamatemáticamente conjuntos no computables, pero eso es una minucia: Renunciando a considerar conjuntos no computables se puede desarrollar casi toda la metamatemática necesaria para fundamentar la matemática formal. Lo único relevante que te perderías sería el teorema de completitud de Gödel, pero podrías vivir sin él.

Así pues: ¿reconoces que la metamatemática restringida a conjuntos computables es posible o te vas a retractar de tu reconocida capacidad para identificar razonamientos formales correctos? Hasta ahora, todas tus respuestas me han resultado más o menos previsibles, pero, sinceramente, tengo curiosidad por saber qué me respondes a esto, porque yo creo que no tienes salida: tú tienes la misma capacidad que todo el mundo para razonar con rigor sin la ayuda de ZFC siempre y cuando los objetos de razonamiento sean "tangibles" (= intuibles), y lo ves con la misma claridad que todo el mundo cuando no eres consciente de que al reconocerlo contradices tus prejuicios sobre el asunto.

[feriva]

Sí, se llama "asado".

Asado de tira, supongo, con choricitos rellenos de fórmulas de acompañamiento.

 Un saludo.

[Jabato]

Bueno donald, el hecho de que argentinator no pueda rebatir tus argumentos sin recurrir a la intuición, a los conceptos intuitivos, no hace que sea lícito recurrir a ella. En ese sentido usar argumentos poco formales puede ser una forma de hacer las cosas y si no existe otra mejor pues a lo mejor habrá que aceptarla, pero eso no le quita la razón a argentinator sino a ti y simplemente deja la metalógica a la altura del betún, más ó menos. Así que si al final de toda la discusión la única conclusión es esa pues no veo yo la cosa.

Resumo: Si los razonamientos poco formales de los metalógicos solo pueden ser rebatidas mediante razonamientos poco formales y el único argumento para aceptar los primeros es precisamente que los segundos son poco formales creo que deberíamos replantearnos seriamente todo el asunto y buscar una forma de hacer mejor las cosas. Esto parece poco serio.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Bueno donald, el hecho de que argentinator no pueda rebatir tus argumentos sin recurrir a la intuición, a los conceptos intuitivos, no hace que sea lícito recurrir a ella. En ese sentido usar argumentos poco formales puede ser una forma de hacer las cosas y si no existe otra mejor pues a lo mejor habrá que aceptarla, pero eso no le quita la razón a argentinator sino a ti y simplemente deja la metalógica a la altura del betún, más ó menos. Así que si al final de toda la discusión la única conclusión es esa pues no veo yo la cosa.

Resumo: Si los razonamientos poco formales de los metalógicos solo pueden ser rebatidas mediante razonamientos poco formales y el único argumento para aceptar los primeros es precisamente que los segundos son poco formales creo que deberíamos replantearnos seriamente todo el asunto y buscar una forma de hacer mejor las cosas. Esto parece poco serio.

Saludos, Jabato.

Muy aguda tu conclusión, pero discrepo. El punto clave es que al hablar de "argumentos poco formales de los metalógicos" estás haciendo una petición de principio. Los razonamientos metamatemáticos no son poco formales. Son informales. La petición de principio consiste en que identificar a priori informal con falto de rigor, y ésa es la cuestión. Me explico:

Un razonamiento formal es un razonamiento en ZFC o un sistema similar, es decir, un razonamiento que no es un razonamiento, sino únicamente una manipulación de signos con unas reglas de juego prefijadas: das unos axiomas y unas reglas de inferencia y razonar bien no es más que seguir las reglas.

Lo que es obvio para todos, espero, es que para construir ZFC (u otro sistema que nos guste más), es decir, por una parte, para precisar qué debemos entender por sentencias, por axiomas y por demostraciones de forma que ZFC se comporte razonablemente y no caóticamente y, por otra parte, para teorizar sobre ZFC y estudiar cosas como si es finitamente axiomatizable o no (que no lo es), o si la hipótesis del continuo se puede demostrar a partir de sus axiomas o no (que no se puede), etc., necesitamos razonar sobre ZFC y no tiene sentido pretender que esos razonamientos metamatemáticos sean razonamientos en ZFC (esto es lo que digo que debería ser obvio para todos, y creo que argentinator no lo niega).

Pues bien, lo que yo sostengo es que es perfectamente posible razonar informalmente (es decir, fuera de ZFC o de cualquier otro sistema formal que necesitaría ser construido y estudiado desde fuera antes de ponernos a trabajar en él desde dentro) con absoluto rigor, en el sentido de que podemos tener la convicción de que cuanto digamos tiene un sentido concreto, de modo que cuando concluyamos, por ejemplo, que la única forma de probar la hipótesis del continuo en ZFC sería que ZFC fuera contradictorio, podremos estar seguros de que si alguien nos trajera en un papel una demostración de la HC en ZFC, nosotros podríamos tomarla y, a partir de ella, construir la demostración de una contradicción en ZFC.

La clave de todo es que, si analizas el argumento que prueba que la HC no es demostrable (en el sentido que acabo de explicar), resulta que es de la misma naturaleza que el argumento que te convence de que si te doy un número natural siempre vas a poder saber si es primo o no, o, como decía argentinator, si te doy una presunta demostración en ZFC siempre vas a poder saber sin asomo de ambigüedad si es o no una demostración correcta. El rigor no consiste en lo que argentinator pretende que consista, que es una utopía contradictoria (fijar de antemano unas reglas de juego metamatemáticas), sino que consiste en que, restringiendo el lenguaje a ciertos conceptos cuidadosamente elegidos para que no se nos escapen de las manos, para que sepamos en todo momento de qué estamos hablando, es posible razonar en el sentido que siempre ha tenido la palabra razonar, en el sentido de presentar argumentos que impiden a un ser racional dudar de que la conclusión es correcta.

A poco que lo pienses, tú reconocerás que es imposible que te dé un número natural de un tamaño que tu mente pueda abarcar, y no sepas qué hacer para comprobar si es primo o no. Si quieres, lo harás, y no te asaltará ninguna duda sobre qué axiomas has de suponer o si Brouwer o si Cantor. Tú sabes perfectamente lo que tienes que hacer y lo puedes hacer, y tu respuesta será rigurosa porque no dependerá para nada de si hoy es lunes o martes, o de si te has levantado de mejor o peor humor. Si tu vida dependiera de acertar si un número es primo o no, nunca la perderías, a poco que te esforzaras por no despistarte en tu comprobación.

Eso es una realidad, una realidad que argentinator se obstina en negar por prejuicios filosóficos, pero que, cuando se ha encontrado con ella fuera de contexto, su sentido común le ha traicionado y le ha convencido de que lo que yo estoy defendiendo es verdad, que él sabe hacer metamatemáticamente cosas complejas con total seguridad y sin que ninguna duda filosófica pueda impedirle dar una respuesta objetiva a un problema como determinar si una sucesión de signos es sintácticamente correcta y, en caso afirmativo, si es un axioma de ZFC, o si se deduce legítimamente de otras afirmaciones.

Y esa seguridad que todos tenemos, argentinator incluido, es el fundamento de la metamatemática. Y no hay nada de turbio, deshonroso u oscuro en todo ello: si un argumento convence a cualquier ser racional (como argentinator) dispuesto a razonar sin anteponer obstáculos escépticos arbitrarios (no como argentinator cuando está despierto, pero sí como argentinator cuando se olvida de su filosofía ("aliquando dormitat bonus Homerus")), si un argumento es convincente, digo, entonces es un argumento legítimo y digno, aunque sea informal.

Tú debes meditar si tu convicción (que no puedes negar que tienes) de que eres perfectamente capaz de discernir si un número es primo o no sin impedimentos filosóficos te convierte en un ingenuo que te dejas engañar por lo que te contó tu maestro de escuela cuando tenías diez años, o te convierte en alguien que sabe lo que hace y no se deja engañar por razonamientos filosóficos ingenuos.

Si no te consideras engañado por estar convencido de lo que estás convencido, la metamatemática existe y existe con dignidad.

Es cierto que lo que digo no justifica otras afirmaciones que he hecho en este hilo, según las cuales también sería posible argumentar metamatemáticamente sobre conjuntos no computables, pero empezar por establecer que la metamatemática tiene "legitimidad" para manejar conjuntos computables sería un primer paso.

[feriva]

A poco que lo pienses, tú reconocerás que es imposible que te dé un número natural de un tamaño que tu mente pueda abarcar, y no sepas qué hacer para comprobar si es primo o no. Si quieres, lo harás, y no te asaltará ninguna duda sobre qué axiomas has de suponer o si Brouwer o si Cantor. Tú sabes perfectamente lo que tienes que hacer y lo puedes hacer, y tu respuesta será rigurosa porque no dependerá para nada de si hoy es lunes o martes, o de si te has levantado de mejor o peor humor. Si tu vida dependiera de acertar si un número es primo o no, nunca la perderías, a poco que te esforzaras por no despistarte en tu comprobación.

Hola, Donald. No juegues con la vida del pobre Jabato  Saber si un número es primo no depende de si es martes o jueves, ciertamente, pero sí depende de lo largo que sea; la única forma de saber si un número es primo -salvo que se vea una divisibilidad clara por 3 ó 5 etc- es ir probando con todos los números que lo poedrían en teoría dividir de forma exacta, no hay un método inductivo ni nada así para saberlo: imagina un número de doscientas cifras o de trescientas... o de las cifras finitas que quieras. Se puede elegir arbitrariamente un número de cifras tal que un ordenador potente, no ya una persona, tarde siglos en desvelar si es primo o no.

Éste era el más grande hasta septiembre de 2008:

http://www.fayerwayer.com/2008/09/243112609-1-el-numero-primo-mas-grande-encontrado-a-la-fecha/


Saludos y buenas noches.

[argentinator]

La discusión no creo que haya terminado.

Pero a veces uno pierde las ganas de discutir.

Hay varias cosas que aún están pendientes, y ojalá esté Donald para cuando yo las retome.

Igual, el debate está abierto para todo el mundo, o incluso a ver si hay gente que aporta puntos de vista más frescos o diferentes.

Saludos

[Carlos Ivorra]

La discusión no creo que haya terminado.

Pero a veces uno pierde las ganas de discutir.

Hay varias cosas que aún están pendientes, y ojalá esté Donald para cuando yo las retome.

Igual, el debate está abierto para todo el mundo, o incluso a ver si hay gente que aporta puntos de vista más frescos o diferentes.

Saludos

Cuando quieras seguir sólo tienes que decirlo. Fui yo quien te animé a discutir esto con mi mejor intención, a saber, hacerte ver que las objeciones que crees encontrar en la fundamentación de la matemática son ficticias, porque pensé (y sigo pensando) que si llegaras a entenderlo disfrutarías muchísimo con esta parte de la matemática que actualmente te desconcierta. No ha podido ser, aunque creo que nos hemos acercado bastante.

[Garubi]

Jajaja.

Yo me hago la misma pregunta.

Erj, erj (risa cascada, amarga y trágica, de bebedor-fumador) 

Y yo tengo la misma opinión de Kant.

[Jabato]

Os voy a proponer un juego, a ver si somos capaces de construir los números naturales y los reales en una teoría que no se base en los conjuntos y que presente un mínimo de axiomas.

Yo os daré las lineas principales y vosotros las vais criticando, si os parece.

1ª.- En una primera regla debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamare ).

2ª.- En una segunda regla afirmaremos que somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

3ª.- A la colección de todas las cadenas correspondiente a una determinada ley la denominamos secuencia.

4ª.- A la colección de todas la cadenas posibles que podamos formar con esos dos elementos le llamaremos familia de

Creo que con esto se construyen fácilmente (a falta de definir un orden entre cadenas y las operaciones suma y producto de cadenas) los naturales, los enteros, los racionales y los reales.

Cada una de las cadenas finitas que pueden construirse con ambos elementos siguiendo la ley el código binario sería representativa de un número natural. La secuencia completa sería representativa del conjunto de los naturales. La familia de todas las cadenas finitas ó infinitas que pudieran construirse con estos dos elementos sería representativa del conjunto de los números reales, etc. El resto (el orden y las operaciones básicas y algún matiz que se me escape) son matices de menor importancia que podrían añadirse al sistema para completar la construcción, pero lo básico está ya definido.

Entonces si esto ó algo parecido puede hacerse, la pregunta es ... ¿porqué no se hace?

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Os voy a proponer un juego, a ver si somos capaces de construir los números naturales y los reales en una teoría que no se base en los conjuntos y que presente un mínimo de axiomas.

Lo de "construir" los números naturales es una deformación profesional de los matemáticos, basada en el hecho de que en ZFC es necesario construir los números naturales. Pero es ingenuo pensar que eso que comúnmente se llama construcción de los números naturales sea realmente una definición de los números naturales sin la cual no puede decirse que éstos estén bien definidos o determinados. En realidad es simplemente una demostración de que la teoría de conjuntos puede expresar aceptablemente (aunque no todo lo perfectamente que podría uno desear) el concepto de número natural. Es una comprobación técnica de una propiedad técnica de ZFC, que no aporta nada esencial al conocimiento que uno pueda tener de los números naturales.

Ahora bien, si quieres "construirlos" metamatemáticamente, puedes hacerlo fácilmente. Lo de los números reales me parece que no es posible, pero ya lo discutiremos cuando lleguemos a ese punto.

Yo os daré las lineas principales y vosotros las vais criticando, si os parece.

1ª.- En una primera regla debemos aceptar que al menos somos capaces de distinguir dos objetos distintos entre sí (llamarlos como más os guste yo los llamare ).

Llamar a esto un axioma es también una deformación de los matemáticos. Esto es simplemente una verdad. Por ejemplo, las propias letras x e y que estás empleando son dos objetos que somos capaces de distinguir. Nadie confunde una x bien escrita con una y en cuanto ha aprendido los rasgos relevantes que debe tener en cuenta en cada letra. Así pues, podemos "aceptar tu axioma" o, mejor dicho, darnos cuenta de que es verdadero.

2ª.- En una segunda regla afirmaremos que somos capaces de construir cadenas (sucesiones) con estos dos objetos, tan largas como queramos, incluso infinitas si podemos definir una ley que nos permita construir una cadena tan larga como queramos.

Nuevamente, esto es verdad, ni axioma ni l..., es evidente que puedo considerar la cadena "xxyyyxxyxyxy", que es un ejemplo de cadena finita. Argentinator nos cuestionaría qué queremos decir con "finita", pero tú y yo sabemos que es finita, y que tiene exactamente 12 términos. Tú me dirás "¡No hagas trampas! queremos construir los números naturales, así que no es lícito decir que tiene 12 términos, al menos, no de momento", pero la verdad es que tú y yo ya sabemos a estas alturas que la cadena tiene 12 términos, como lo puede entender cualquiera que no conozca la construcción que pretendes llevar a cabo. Sería absurdo pretender que entendemos lo que significa "ser una cadena finita" pero que no entendemos que tiene 12 términos. Pero, vale, podemos hacernos los tontos si lo prefieres.

En cuanto a la segunda parte, también es verdad, puedo considerar, por ejemplo, la cadena

xyxxyxxxyxxxxy...

que es infinita y claramente es definible por una ley, aunque no sé si sabría explicarte en qué consiste esa ley sin recurrir a los números naturales que tal vez prefirieras considerar ahora como tabú. No sé si queda clara mi postura. Argentinator tiraría por tierra toda tu construcción tachándola de ambigua y autorreferente (como intento de definir los números naturales, sí podría ser autorreferente, pero, afortunadamente, no hay necesidad de construirlos). Lo que yo te digo es que todo lo que has dicho hasta ahora tiene un sentido objetivo perfectamente determinado y, en particular, que todo es verdad. Argentinator te reprocharía que dices demasiadas cosas que habrías de justificar y yo te digo que podrías decir mucho más de lo que pareces dispuesto a decir sin necesidad de más explicaciones. No necesitas dar más explicaciones porque es imposible que alguien que te lea no entienda que estás hablando de unos objetos muy concretos para los que será objetivamente verdadero lo que es verdadero y será objetivamente falso lo que es falso. Seguro que tú sabes que yo al leerte estoy pensando exactamente en los mismos objetos en los que tú estás pensando, y es imposible que tú me digas que alguno de esos objetos cumple algo (como ser una cadena finita) y yo piense que es justo al revés (que a mi me parezca infinita).

Bueno, en realidad hay una ambigüedad esencial que tendría que preguntarte, y es si consideras como cadena de signos a una cadena vacía de longitud cero. Eso no es verdadero ni falso a priori, sino que depende únicamente del convenio que quieras fijar al respecto, pero es importante especificarlo.

3ª.- A la colección de todas la cadenas posibles que podamos formar con esos dos elementos le llamaremos familia de

Aquí es donde ya no puedo darte la razón. Y el problema es la palabra que te he puesto en negrita. Para que podamos permitirnos el lujo de hablar metamatemáticamente, sin el apoyo de unas cómodas reglas de razonamiento prefijado, necesitamos al menos la garantía de que sabemos perfectamente de qué estámos hablando, y ello supone, en particular, restringirnos a afirmaciones a las que sepamos atribuir un significado con independencia de que seamos capaces de decidir si son verdaderas o falsas. Me explico:

Si definieras como la colección de todas las cadenas finitas posibles, no podría ponerte ninguna pega, porque si me dices que todas las cadenas finitas cumplen una propiedad, yo entiendo perfectamente lo que estás diciendo. Por ejemplo, si me dices que existe una cadena finita que cumple una propiedad bien definida, yo tengo bien claro qué quieres decir: quieres decir que, o bien x tiene la propiedad, o bien la tiene y, o bien la tiene xx, o bien la tiene xy, o bien la tiene yx, o bien la tiene yy, o bien la tiene xxx, etc. (voy enumerando todas las cadenas de longitud 1, seguidas de las de longitud 2, etc.)

Ciertamente que así no podré determinar con seguridad si existe o no la cadena que me dices, pero sé que tu afirmación (de existencia) significa que si sigo mirando y mirando, tarde o temprano me toparé con una cadena que cumpla la propiedad. No sé si lo que dices es verdad, pero sé lo que significa que sea verdad.

Por ejemplo, considera la afirmación: "toda cadena de signos puede prolongarse hasta otra mayor cuya segunda mitad codifica en binario una demostración en ZFC de la conjetura de Goldbach." No sé si eso es verdad o no, pero será verdad si la conjetura de Goldbach es demostrable y será mentira si no lo es. La afirmación tiene pleno sentido (y Brouwer que se revuelva en su tuma) aunque no sepa comprobarla.

Si me pones una afirmación más sencilla, como "toda cadena finita con más de dos signos tiene al menos uno repetido", podré comprobar que es cierta mediante un razonamiento, pero lo esencial es que, me digas lo que digas sobre cadenas finitas, sabré lo que significa tanto si puedo razonar que es verdadera o falsa como si no puedo. Y esto es una garantía (a la que no necesitamos renunciar con los riesgos que ello supondría) de que estamos hablando de cosas concretas.

Ahora bien, si insistes en incluir la totalidad de las cadenas infinitas en tu definición, ahí no puedo seguirte. Por ejemplo, imagina que me dices: "Toda cadena infinita contiene signos repetidos". Yo puedo razonar que esto es cierto, pero en realidad no puedo entenderlo como una afirmación sobre toda cadena infinita, sino más bien como que, si me das cualquier cadena infinita concreta, estoy seguro de que en ella encontraré signos repetidos.

¿Y no es lo mismo "toda" que "cualquiera"? Pues no. En ZFC sí, pero aquí no. Porque, si me dices que existe una sucesión infinita que cumple una propiedad P, aunque yo sepa perfectamente lo que significa que una sucesión cumpla P, si no se me ocurre cómo demostrar si lo que me dices es verdad o no, ¿qué debo pensar que significa tu afirmación? No es que no sepa si es verdadera o falsa, sino que no sé qué significa que sea verdadera o falsa, porque no concibo ninguna forma de representarme la totalidad de las sucesiones infinitas de tus dos signos. Y así no tengo garantías de que realmente estemos hablando de algo en concreto. Y así como argentinator no se atreve a razonar sin una definición de número natural, y Brouwer no se atreve a razonar partiendo de una hipótesis que no sepa si es verdadera o falsa, yo no me atrevo a razonar si no sé de qué estamos hablando.

La ventaja que yo tengo frente a Brouwer o argentinator es que no es necesario hacer tal cosa para fundamentar metamatemáticamente la teoría de conjuntos.

Creo que con esto se construyen fácilmente (a falta de definir un orden entre cadenas y las operaciones suma y producto de cadenas) los naturales, los enteros, los racionales y los reales.

No veo ningún inconveniente en que especifiques de este modo los números naturales, los enteros y los racionales (tal vez argentinator de acusaría de circularidad, y tal vez tuviera razón, dependerá de cómo te manejes, pero eso no impediría que estuvieras diciendo cosas coherentes y verdaderas, como si alguien dice "yo sé que soy español porque he nacido en España y sé que he nacido en España porque soy español", su razonamiento es circular, pero, si efectivamente es español y ha nacido en España, está diciendo dos verdades incontestables).

Ahora bien, para definir los números reales, no sólo tendrías que hablar de sucesiones infinitas arbitrarias (y yo no sé lo que es eso), sino también de conjuntos arbitrarios de sucesiones infinitas arbitrarias (por ejemplo, para establecer que todo conjunto acotado no vacío tiene supremo) y eso sí que es sin duda alguna inaceptable. Si pudiéramos hacer tal cosa, tendría sentido preguntarse si existe un conjunto de sucesiones infinitas que no pudiera biyectarse ni con el conjunto de las sucesiones finitas ni con el conjunto de todas las sucesiones infinitas (vamos, la hipótesis del continuo), y no creo que ni tú ni nadie esté en condiciones de decir que la hipótesis del continuo es verdadera ni falsa "de verdad de la buena".

Si nos metiéramos en el fregado de que alguien pudiera decirnos "bien, si realmente sabéis de qué estáis hablando, decidme si la hipótesis del continuo es verdadera o falsa o, cuanto menos, decidme qué quiere decir que sea verdadera o falsa". Yo al menos no sabría qué responder, y argentinator podría decirnos con toda la razón del mundo: "¿veis como la metamatemática no es seria? acabáis planteando cosas a las que no sabéis dar sentido", pero es que no hay riesgo de que nos extraviemos así siempre y cuando mantengamos férreamente el principio de no hablar de nada si no tenemos bien claro de qué estámos hablando. Y tú y yo tenemos bien claro de qué estamos hablando cuando distinguimos entre sucesiones finitas e infinitas, por ejemplo, pero ¿de verdad tienes tú claro de qué me estás hablando cuando hablas de la totalidad de las sucesiones infinitas de dos signos? ¿De verdad tienes en tu cabeza alguna representación de esa totalidad que te permita decir "sé de qué hablo"? Yo creo que no. Por lo menos, yo no la tengo, pero, afortunadamente, ni falta que me hace, porque nadie la necesita para fundamentar la matemática formal. Y una vez fundamentada, para hablar de esas cuestiones donde la intuición hace aguas, ya tenemos el confortable ZFC.

[Garubi]

Una pregunta, donald:

¿Es "buén orden" el orden en que dados tres urelementos de un conjunto -infinito- M: a, b y c, pongamos por caso, tales que a, b y c son distintos:

Puede -y debe- decirse para cualquier a y b de M: que a precede a b; y que b sucede a a;
puede -y debe- decirse, que para todos a, b y c de M: que a precede a b y a c; b precede a c y c sucede a a y a b
y que no es preciso decir nada más?

El contexto es ZFC.

Gracias por tus esfuerzos previos, muy clarificadores para mí.

Un saludo.

Hola, Garubi. No entiendo tu pregunta. Tienes un conjunto infinito y quieres definir un buen orden en M. Para ello tienes que especificar qué debe cumplirse para que un elemento a sea menor que otro b. No veo que tus condiciones lo hagan. De todos modos, es imposible definir explícitamente un buen orden en un conjunto arbitrario (del que no sabemos nada), pues eso sería tanto como demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado por un buen orden definible, y es consistente incluso con el axioma de elección que exista un conjunto (, sin ir más lejos) que no pueda ser bien ordenado por un orden definido explícitamente).

Hola donald,

dices que no ves que mis condiciones lo hagan. Estoy de acuerdo, a priori, pues no se trata de unas condiciones que se tatisfagan a priori, sino que se trata de demostrar que existe un orden en tal que verifica esas reglas, y es isomorfo a , de tal forma que para todo x e y de tal que x<y existe un orden << tal que x<<y.

Si tal orden consiste en una permutación de un ciclo, en ese caso no me veo en la obligación de declarar un primero, pues todos y cada uno de los elementos puede ser considerados un primero.

Si puedo construir esta permutación para cualquier potencia de 2, no me parece tan extraño el resultado de que en el modelo de naturales que construíste con (o de ese orden de magnitud) elementos, hubiese subconjuntos sin mínimo. Bastaría con que dichos mínimos yaciesen en otra sección de , fuera del alcance -por decreto, en ZFC-, del orden dado por <, pero aprensibles con el orden dado por <<.

Díme por favor qué errores ves, porque es fácil que haya varios.

Un saludo.

[Jabato]

Bueno, por cadena infinita debemos considerar aquella para la que conocemos la ley que rige su formación y de la que podemos por lo tanto conocer tantos elementos como queramos.

Siento no estar de acuerdo en tu segundo matiz puesto que yo siempre puedo determinar si una cadena dada pertenece a la familia ó no ya que la ley que la construye solo puede establecer que el simbolo que sigue a uno ya conocido, que solo puede ser o , sea o bien o bien y por lo tanto eso no debería plantear objeciones al respecto. No puedo hacerme una imagen de todas las cadenas pero si puedo discernir si una cadena pertenece a la familia o no. Y en cualquier caso no se como va a influir eso para impedirme construir el conjunto de los reales, en este caso la familia real.

Lo unico que yo trato aquí es de justificar, fuera de la matemática, incluso fuera de la lógica, el uso ordenado de ciertos sistemas de numeración, si lo prefieres omito hablar de los reales y hablo de los números seriados, me da igual. Hablar de la hipótesis del continuo en este debate parece que no tiene sentido. Solo trato de mostrar que es posible hacerlo, usando conceptos intuitivos, no formales, y tampoco contestas a mi pregunta de si esto puede hacerse, ¿porqué no se estudian unas bases adecuadas para, no digo formalizar, sino ordenar de una forma sistemática, de manera que todos sepamos a que atenernos, los conceptos que se usan en metalógica? Atenernos a la intuición si quieres, pero de forma ordenada, metódica y sistemática, y no dejar a la imaginación de cada lector averiguar de que carayo está hablando el lógico de turno. Es cierto que los matemáticos han tardado varios miles de años en conseguirlo, si es que lo han conseguido, pero yo creo que hoy en día hay suficiente información y herramientas para hacerlo sin problemas. Solo habría que conseguir poner de acuerdo a unos cuantos filósofos de la ciencia, aunque no sé si eso podría ser un objetivo inalcanzable, hoy por hoy.

Saludos, Jabato.

[Carlos Ivorra]

Si tal orden consiste en una permutación de un ciclo, en ese caso no me veo en la obligación de declarar un primero, pues todos y cada uno de los elementos puede ser considerados un primero.

No entiendo nada. Un orden es una forma de ordenar los elementos de un conjunto, valga la perogrullada. No tiene sentido decir que, respecto a un orden, todos los elementos pueden ser considerados como el primero. Entonces no hay tal orden.