¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

[Carlos Ivorra]

Si vamos a meter locos en los argumentos, un loco puede decir que ha demostrado en ZFC cualquier cosa.

En ZFC, con una deducción mecánica, factible de comprobarse con una máquina, hay un modo de discernir dónde hay locura y dónde no la hay.

Si sólo hay intuición, no hay criterio alguna para saber quién está loco y quién no.

Evidentemente, hay diferencias entre razonar en ZFC y razonar intuitivamente, y si ZFC sirve para algo es precisamente por eso, porque mecaniza el razonamiento (pese a las salvedades que te he puesto antes), pero la cuestión es que necesitas razonar intuitivamente para obtener una mecanización del razonamiento que sea aceptable. Nadie te niega que sea más fácil y más cómodo razonar en ZFC, sólo te afirmo que también es posible (aunque sea más delicado) razonar sin ZFC. ¿Y si fueras tú el loco por adorar a ZFC cuando todos los "cuerdos" razonan formalmente en otra teoría YEB? Imagina alguien que toma como axioma de "su teoría formal favorita" que , pero , y se las apaña para decir locuras, pero acordes a unas reglas locas. ¿Cómo le demuestras que tu sistema ZFC es el cuerdo y el suyo es el loco? Remitir a ZFC sería una petición de principio, pues el te remitiría a su teoría YEB en la que un teorema dice que ZFC es absurdo, ridículo y maloliente. Necesitas razonar fuera de ZFC que es razonable usar ZFC.

En cuanto a usar la intuición para "explicar", bueno, es obvio que para explicar algo uno puede usar todos los recursos que se le vengan en gana. Incluso garrotes o cuentos de hadas.

Para demostrar algo o fundar la matemática científicamente, no.

O sea, decir que he usado la intuición para argumentar en mi contra, no está bien.
Porque no la uso (en rigor) para aquellas cosas que digo que no puede usarse.

No creo que esto responda a ninguna objeción mía.

Además, tengo otra pregunta.

Si es cierto que la intuición basta, que los números naturales "intuitivos" son todo lo que se necesita, y ya los tenemos por vía intuitiva, la cual supuestamente es tan sólida y confiable.
¿Para qué diablos tomarse el trabajo de hacer toda una teoría formal, construir lenguajes de primer orden, hacer conjuntos, y adentro de eso encima ponerse a definir los números naturales?

Hay unos números naturales intuitivos, y luego unos números naturales "formales".
¿Y para qué dos versiones de lo mismo, si cualquiera ya funciona o es sólida?

¿Para qué tomarse todo ese trabajo, si se puede usar la intuición para demostrar todo?
Porque visto así, toda la matemática puede hacerse intuitivamente, y ya no hay formalismo que haga falta.

Pero se hacen las dos cosas.
La actitud en sí no tiene sentido.

Esta pregunta es muy importante:

Es ingenuo pensar que uno define los números naturales en ZFC para definir los números naturales. La definición de los números naturales en ZFC es parte de la demostración de que ZFC es una teoría lo suficientemente potente para demostrar las propiedades básicas de los números naturales (intuitivos), a través de una formalización adecuada.

Imagina un ejemplo más claro. No recuerdo qué tratado clásico de lógica (tal vez de Bourbaki) fue objeto de burla porque sólo después de casi un centenar de páginas llegaba a demostrar como teorema "x = x". Obviamente, la demostración no pretendía ser una prueba de "x=x", de modo que pudiera esperarse que un lector, después de las cien páginas, acabara exclamando, ¡Ah, claro!, "x=x", ¡siempre lo sospeche!.

No. El lector sabía desde el principio que toda cosa es igual a sí misma. Lo que demuestra el teorema es el hecho no evidente de que la obviedad "x=x" puede demostrarse en una determinada teoría formal.

Igualmente, cuando defines los números naturales en ZFC y demuestras que 2+2=4, no estás demostrando que 2+2=4, cosa que tiene que saber cualquiera capaz de entender qué es ZFC, sino que estás demostrando el hecho no obvio de que ese hecho obvio se puede demostrar a partir de los axiomas de ZFC a través de la definición adecuada de número natural.

¿Y para qué? Porque ZFC te permite hablar de objetos sobre los que la intuición no puede decir nada, como es el caso de los cardinales no numerables, de espacios topológicos raros, de geometrías no euclídeas o de muchas dimensiones, etc. Y en el estudio (necesariamente a través de ZFC) de estos conceptos matemáticos, es necesario involucrar también números naturales y otros conceptos intuitivos, pero, por la propia naturaleza de ZFC, una demostración es lo que es y no admite inserciones "intuitivas", por lo que es necesario demostrar formalmente todos los resultados intuitivos necesarios para poder usarlos en demostraciones que involucran conceptos no intuitivos.

En resumen: ¿para qué formalizar los contenidos de la intuición? Para extender la capacidad de razonamiento matemático más allá de lo que permite la intuición.

[Carlos Ivorra]

Yo llamo numero natural a un concepto que refiere lo que tienen en común todo par de conjuntos que se vacían a la vez en un número finito de pasos, cuando le vamos quitando un objeto a cada uno en cada paso.

No es una definición intuitiva, es una definición empírica, que no es lo mismo. Tan empírica como la definición física de "energía", por ejemplo.

De hecho, yo creo que el punto de partida de la aritmética (como mínimo de la aritmética) es fáctico. En su origen, la matemática es una ciencia fáctica más. Allí, las afirmaciones son verdaderas o falsas según representen cosas que se verifiquen o no en el plano físico.

No creo que eso sea coherente, pues una afirmación empírica es, por definición, falseable. Imagina que metes dos manzanas en un saco, luego otras dos, luego empiezas a sacar manzanas y te salen tres (y el saco queda vacío). De ahí no concluirías que 2+2=3, sino que te verías obligado a admitir que, por un proceso físico desconocido, o bien por un truco de prestidigitador, una manzana ha desaparecido. Y ello sería así aunque el experimento pudiera repetirse sistemáticamente.

Quizá se ve más claro con la geometría: la geometría intuitiva (es decir, la euclídea) no es empírica, y la prueba irrefutable de ello es que es empíricamente falsa. Imagina que pudieran emitirse dos rayos de luz en direcciones paralelas (en el sentido de que tuvieran una perpendicular común), y las trayectorias de ambos rayos dejaran una estrella entre ambas, de modo que, por la gravedad de dichas estrellas, los rayos se curvaran y acabaran juntándose en un punto. Según la teoría de la relatividad, los rayos de luz han seguido geodésicas del espacio-tiempo, y el experimento sería una prueba de que el espacio físico no es euclídeo. Vale, pero ¿demuestra eso que el teorema de la geometría euclídea que afirma que dos paralelas (en el sentido de rectas en un mismo plano con una perpendicular común) no se cortan nunca?

No. Demuestra que la geometría euclídea no es aplicable a la experiencia o, dicho de otro modo, que las trayectorias de los rayos de luz no son rectas en el sentido intuitivo de la palabra. Si pudiéramos ver las trayectorias de los dos rayos de luz desde la perspectiva adecuada (suponiendo que atravesaran una nube de polvo que reflejara parte de la luz) veríamos dos líneas rectas que empiezan a curvarse a medida que se acercan a la estrella y que terminan juntándose. No hay contradicción en decir que son "rectas" de la geometría del espacio físico y que son curvas en la geometría de la intuición. La física no puede refutar a la intuición, lo cual no significa que tenga que someterse a ella. Con la aritmética pasa lo mismo, sólo que, hasta ahora, el mundo físico parece ser clásico en cuanto a la aritmética, aunque no lo sea en cuanto a la geometría.

Una vez formalizada la matemática no tiene ningún significado. Pero cuando le asignamos una semántica que nos permita volver a ese origen fáctico, aparecen otras afirmaciones que tal vez no representan nada empíricamente, como el teorema de Banach-Tarsky.

Con esto estoy esencialmente de acuerdo. La clave es que sólo podemos interpretar empíricamente una parte de la matemática formal. Es como si la matemática formal fuera una novela que mezclara elementos históricos con elementos de ficción, de forma que los elementos históricos fueran fieles a la historia, pero los de ficción no tuvieran referente alguno. (Esto es esencialmente lo que pensaba Hilbert.)

Peor aun, creo que cuando los sistemas de teorías de conjuntos incluyen al infinito, se apartan del plano fáctico de un modo irreconciliable.

Con esto estoy casi de acuerdo. El único matiz es que no creo que la frontera sea exactamente el infinito, pues hay infinitos (numerables) que sí que tienen un contenido intuitivo, pero sí que es cierto que las teorías de conjuntos suficientemente potentes contienen conceptos que se alejan totalmente del plano fáctico (si entendemos "plano de los hechos" no como "hechos físicos", sino "hechos que la intuición puede justificar, como que hay infinitos números naturales, y entre ellos infinitos primos, que todos los múltiplos de 10 acaban en 0, etc.)

[Carlos Ivorra]

La mente humana también funciona así.
Uno da varias vueltas hasta que se convence, tiene muchas fallas previas.
Es ensayo y error.

Ésa es la angustia (y el error) del escéptico: obsesionarse por erradicar a priori la posibilidad de error (de razonamiento), lo cual sólo es posible en el paraíso de las matemáticas que es ZFC (o similar), pero, inevitablemente, el paraíso hay que construirlo, y no podemos llegar hasta él con garantías a priori de que no podemos equivocarnos en cualquier momento dado y no tener unas instrucciones claras de cómo detectarlo. Es imposible tener esas garantías, luego si uno se niega a razonar por carecer de ellas, se niega a razonar en absoluto y no llega a ningún sitio. La alternativa es razonar y considerar la posibilidad de haber cometido un error a posteriori, cuando haya algún indicio de que hemos podido cometer un error. Entonces se analizan sus causas, se tacha lo dicho desde el momento en que se introdujo el error, y se sigue con confianza mientras no haya indicios de que pueda haber otro error.

La "decisión" de decidirse internamente sobre qué es un número es, pues, un acto mental muy complejo, que ha pasado por muchos ensayos y errores. ¿Pero de qué?

No sé si te ayudaría o si complicaría las cosas si en vez de plantearte qué es un número te plantearas qué es una recta, y me refiero a una recta de esas que "intuimos", de las que no pueden formar polígonos de dos lados (cuando en ciertas geometrías sí que hay "biláteros"), de las que cuando tienen una perpendicular en común no se cortan, etc. No las puedes determinar con unos axiomas arbitrariamente, pues tienes geometrías axiomáticas acordes con esas rectas intuitivas y otras que no. Tú puedes encontrar una diferencia objetiva entre una geometría euclídea de tres dimensiones y otra de cuatro, y es que una te la puedes imaginar fielmente y la otra no. ¿No ves claramente que en el primer caso hay algo que te permite razonar con seguridad sin necesidad de axiomas y en el segundo caso no? Por supuesto, cuando digo "con seguridad", no quiero decir, con un "manual de instrucciones" a priori que me diga qué patrones de razonamiento son válidos y cuáles no, sino con la seguridad de que si cometo un error (igual que puedo cometer un error al tratar de demostrar un teorema formalmente) alguien puede señalarme el fallo y yo seré capaz de reconocerlo, y no me qudaré sin saber qué pensar (sobre si mi argumento es válido o no lo es).

Quiero decir que si quiero demostrar un resultado sobre todo triángulo y alguien me demuestra que me he apoyado en una figura y he usado que el triángulo era acutángulo, pero que mi argumento no funcionaría si el triángulo fuera obtusángulo, yo siempre podré considerar el caso y ver si, en efecto, mi argumento falla en ese caso o vale también (y aun en este caso reconoceré de todos modos que me había dejado un caso por comprobar sin el cual mi prueba estaba incompleta).

[Carlos Ivorra]

Con la lógica el problema es todavía más enrevesado porque la lógica no estudia hechos sino la forma de las ideas. Y no hay allí una base empírica. La cosa que debemos "observar" para formalizar la lógica, es el funcionamiento de nuestro propio intelecto. Esto es lo más parecido que tenemos a una base empírica. Pero el intelecto no es empírico.

¡Completamente de acuerdo! Sólo te digo que eso mismo lo puedes aplicar a la aritmética. Afirmar que "si se cumple p y q entonces se cumple p" es una afirmación puramente intelectual, pero no psicológica, en el sentido de que se fundamenta en las características del funcionamiento de un cerebro concreto, y lo mismo puede decirse de 2+2=4. No necesito estudiar el comportamiento de peras, manzanas y otros objetos físicos para concluir que si pongo dos letras detrás de otras dos letras tengo una palabra de cuatro letras.

La expresión "x es rojo" no refiere ningún hecho y por lo tanto no podemos asignarle valor de verdad. Si reemplazamos x por "la sange", tenemos una afirmación verdadera, en tanto que si la reemplazamos por "el mar", tenemos una falsa. Pero reconocemos que "x es rojo y x no es rojo" siempre es falso, y que este hecho no depende de la cosa por la que se reemplaza la x. Ahora bien ¿por que aceptamos esto?

Aceptamos esto porque en algun momento de la génesis de nuestro intelecto, hemos construido un mecanismo que funciona así: si p es un hecho, su negación, no p, no lo es.

Más claro: los hechos existen, pero sus negaciones no, entonces la negación de un hecho es siempre una construcción intelectual pura. Ese mecanismo intelectual que construye negaciones de hechos persigue un propósito: que la idea construida (la negación del hecho) sea falsa. Así pues si preguntamos ¿Por qué razón si p es un hecho debemos aceptar que no p no lo es? Podemos responder: Porque no p es solo una idea constuida por nosotros para que sea falsa.

Claro, todavía podemos preguntar ¿y por qué nuestro intelecto funciona así? Yo tengo una teoría: por selección natural. Este intelecto, así, con esta lógica que construye, es adaptativo, ha logrado perpetuarse mientras otras formas no lo han hecho. Las mutaciones que fueron tendiendo a él siempre tuvieron ventaja reproductiva. Por eso es así y no de otro modo.

Esto último que dices es verdadero y falso a la vez (según como se interprete la pregunta "por qué"). Es como si te preguntas por qué una calculadora da el resultado 4 cuando se pulsan las teclas 2+2. En un sentido, la respuesta es que da ese resultado porque alguien la ha construido para que tenga ese comportamiento, probablemente porque si uno diseñara una calculadora que diera el resultado 5 ante esa combinación de teclas (algo perfectamente posible) nadie se la compraría. Esta "selección de mercado" es el análogo de la selección natural de la que hablas.

Pero otra respuesta distinta es que la calculadora ha sido construida (por las razones que sean) para que respete la aritmética (dentro de su capacidad de memoria) y da el resultado 4 porque 2 más 2 son 4 y eso es una afirmación aritmética que no depende de las demandas del mercado, es al revés, el mercado de calculadoras pide calculadoras que respeten la aritmética, y no es la aritmética la que se ajusta a las necesidades del mercado.

En tu ejemplo, la selección natural ha seleccionado cerebros racionales capaces de manejar bien la aritmética intuitivamente (porque alguien que sepa sumar tendrá más probabilidades de sobrevivir que alguien que no sepa, o que alguien que "sume raro"), y no es que la aritmética haya sido diseñada por la selección natural, como ésta ha diseñado el código genético, por ejemplo.

Mira donde hemos llegado.

Pero si no miráramos como funciona nuestro intelecto ¿qué lógica construiríamos? ¿Cuál sería el referente a formalizar?
Sin un referente, nos encontramos solos frente a la inmensidad, frente al insondable campo de "todas las lógicas posibles" que yo no me atrevo a delimitar.

Ésa es la cuestión. Nuestra mente nos ofrece un contenido concreto, coherente y objetivo que podemos describir formalmente y es el fundamento último y necesario de todo nuestro conocimiento. Lo importante es que se trata de un contenido concreto, coherente y objetivo, no un conglomerado de analogías, metáforas, razonamientos inconscientes, etc. que son cosas que también se encuentran en nuestros hábitos de pensamiento, y que son la única forma de pensar de algunas personas, y que es en lo único que asocia argentinator a la palabra "intuición", pero que "entender las matemáticas" es ser capaz de desembarazarse de ese "batiburrillo" y no usarlo para nada en los razonamientos intuitivos rigurosos (y si algo se cuela por error, se elimina en cuanto se detecta, como se hace con los teoremas mal demostrados. Dicen que Cauchy demostró que toda función continua es derivable).

[Carlos Ivorra]

A ver si se aclara mi posición en esto.

Sí que puedo aceptar puntos de partida "no formales" de la matemática.
Lo que no acepto son puntos de partida AMBIGUOS y/o IMPRECISOS o TURBiOS.

Entonces estamos de acuerdo al 100%. No sé qué discutimos.

Puedo aceptar un punto de partida empirista... pero no le voy a llamar matemática a cualquier experimento que alguien haga por ahí.
Hay que precisar bien los términos.

Pues ya diferimos. Yo no puedo.

De lo que me quejo no es de la INTUICIÓN o del EMPIRISMO o del X-ISMO,
sino de la falta de precisión en el modo en que se "invocan" estos dioses.

El ritual tiene que ser correcto: sin imprecisión, sin ambigüedad, sin conejos sacados de la galera.

De acuerdo mientras no añadas: "o sea, ha de ser ZFC", porque si pudiéramos precisar a priori las reglas de razonamiento, no necesitaríamos ZFC para nada.

La intuición de la mente de otra persona, no la puedo contrastar con criterio alguno.
Me asegurás que tenés un "conejo de oro", pero yo no puedo verlo porque está en tu mente.

Es que nadie te pide que mires la intuición de la mente de otra persona. Sólo tienes que mirar en la tuya. Si te digo: imagínate una ristra de n puntitos, y luego le pones detrás otra ristra de m puntitos. ¿Tendrás los mismos puntitos si los cuentas de atrás adelante que si los cuentas de adelante hacia atrás? Y no te pido que mires en mi mente a ver si ves que mi intuición me muestra eso como indudable, te pido que mires en la tuya a ver si crees que hay algún indicio razonable de que eso pueda fallar, y si lo hay lo discutimos, si crees que por alguna circunstancia podría no dar lo mismo, dime cuál podría ser y lo discutimos, pero no me digas que eso podría ser falso porque cualquier cosa podría ser falsa, porque así nunca aceptarás nada y no llegarás a ninguna parte. Nadie te obliga a meterte en el agua, pero si no quieres entrar tú te lo pierdes, pero no nos llames insensatos por nadar sin ahogarnos sólo porque no te podemos demostrar que no nos vamos a ahogar.

Si reconoces que tu intuición (no la mía) te muestra que no importa contar hacia adelante o hacia atrás una ristra de puntitos, tedrás que aceptar que m+n=n+m, por tu intuición, no por la mía. En el momento en que yo te diga que para mí algo es intuitivamente cierto y tú me digas que para ti eso mismo es intuitivamente falso ya tendremos ocasión de comparar tu intuición con la mía, pero ahora no nos hace falta. Yo te digo lo que dice mi intuición, y si la tuya dice lo mismo, todo está bien. No hace falta nada más. No te estás guiando por mi intuición, ni por la de Gödel ni por la de Brouwer, sino por la tuya, que es la única que cuenta.

Sólo puedo verlo cuando lo has manifestado "materialmente", digamos, en una hoja de papel.
Pero al hacerlo, y para poder lograr entendimiento mutuo, hace falta un consenso lingüístico.
¿Dónde empieza dicho consenso?

¿Cómo se puede ser preciso y honesto en la ciencia sin reglas claras?

Como te he explicado: Yo te digo lo que me dice mi intuición, y tú no tienes que aceptarlo salvo que tu intuición (la tuya) te diga exactamente lo mismo. Pero tampoco puedes rechazarlo porque no te dignes a considerar tu intuición, y me repliques con el ¿cómo era? el ESEU (esquema de silogismo escéptico universal): esto podría estar mal porque cualquier cosa podría estar mal.

[Carlos Ivorra]

Yo me atrevería a incluir aquí un comentario, aunque mis conocimientos en lógica y filosofía no son por supuesto tan avanzados como los de algunos de los foristas que participan en este debate. Pero aún así me arriesgaré. Para mi el hombre es primero un ser intuitivo y después un ser racional.

No te disculpes por opinar. En este mundo hacen más falta personas que juzguen y opinen (aun a riesgo de equivocarse) que personas que se limiten a repetir lo que dice éste y lo que dice aquél, sin pronunciarse, e incluso juzgando como soberbia el tener una opinión.

La intuición es lo primero que se activa cuando nuestro cerebro funciona (quizás la memoria sea anterior), y de hecho hay muchas actividades que son realizadas basándonos solo en nuestra intuición. La formalidad, el razonamiento deductivo es posterior y no siempre entra en juego. Si tuviéramos que deducir formalmente cada uno de los movimientos que realizamos a lo largo del día estábamos apañados. Ahora bien ¿cuando y porqué entra funcionamiento el razonamiento deductivo y en que forma lo hace? El razonamiento trabaja con ideas pero las ideas han sido previamente intuidas, luego sin intuición no es posible razonar. ¿De donde sale el concepto de conjunto? ¿y el de punto ó recta? ¿A donde nos lleva esto? Pues en mi modesta opinión a que siempre será imposible formalizar hasta los límites que quiere argentinator. Reconozco también que argentinator habla más de imprecisión que de intuición, eso también es cierto, pero hasta donde podemos precisar los conceptos que han sido previamente intuidos. Con seguridad que existirá siempre un límite, un punto que nunca podremos rebasar y que nos obligará a aceptar ciertos conceptos ó ideas como previas, indefinibles y sujetas a las imprecisiones de la intuición.

De acuerdo con todo excepto con lo de "las imprecisiones de la intuición". Seguro que alguna vez habrás leído algún libro de matemáticas donde algún pasaje no se entiende, y no por falta de preparación por tu parte, sino porque el autor no ha sido lo suficientemente preciso y riguroso. Eso no es una crítica contra ZFC, si alguien escribe un libro de matemática formal y no es preciso, no quiere decir que ZFC no sea preciso, sino que el libro debería reescribirse eliminando la imprecisión.

Igualmente, hay mucha gente que mezcla hechos intuitivamente ciertos con analogías infundadas, con hechos sin justificación alguna (intuitiva o de cualquier clase), con vaguedades, etc. Eso no es una crítica al razonamiento intuitivo, sino una mera muestra de lo que es razonar mal.

Quizás matizando más podríamos discutir donde se encuentra ese límite, si en los números naturales, en los conjuntos ó en otras ideas más primitivas, pero una cosa si es clara, para construir los números naturales no es necesario recurrir a la teoría de conjuntos, pero si es necesario saber como se construirán ó de donde salen (los números y cualesquiera otros conceptos que vayamos a utilizar para construir la matemática ó incluso para construir la lógica) y quizás no podremos precisar bien todas sus propiedades, pero si podremos siempre establecer cuales de esas propiedades vamos a utilizar y de donde sale el concepto, que es probablemente el reproche más claro de argentinator hacia los vicios de la metalógica.

Es decir debe siempre establecerse, en cualquier proceso deductivo, que cuando vamos a trabajar con el concepto A:

1.- Existe A (deducido a partir de otros conceptos ó establecido como principio del razonamiento)

2.- A presenta algunas propiedades. (Establecidas por principio ó deducidas, como en el caso anterior)

pero sin estas dos premisas previas no es lícito razonar con A.

Aquí pasas de puntillas sobre lo fundamental: ¿en qué nos fundamos para asegurar que A presenta las propiedades que presenta? Y la respuesta es: en la intuición (en la intuición propia, no en la ajena). Yo puedo afirmar intuitivamente que m+n = n+m (para números naturales). Lo de establecer esas premisas intuitivas de antemano es irrelevante. Imagina que tomas un libro en el que se fundamenta intuitivamente la construcción y el estudio de ZFC, de modo que, de tanto en tanto, hace afirmaciones basadas en la intuición. ¿Qué ganas con subrayarlas todas y reescribir el libro poniéndolas todas al principio como premisas y haciendo referencia a ellas? ¿Vuelve eso el libro más riguroso? En todo caso lo hará más difícil de leer, pues para analizar el contenido intuitivo de una afirmación y ver si la podemos dar por cierta lo haremos mejor en su contexto que no fuera de contexto. Es verdad que ZFC tiene todos sus axiomas "al principio", pero tratar de imitar eso es artificial, como lo es siempre tratar de aparentar lo que no es.

[Garubi]

Yo lo que digo es que hablar de cardinalidades distintas en conjuntos infinitos en ZFC y numerar con una copia de de los naturales un conjunto de cardinalidad mayor que la de los naturales en ZFC, es decir a la vez que ZFC es consistente y es inconsistente.

Un saludo.

[argentinator]

Hola

 Queridos amigos me pregunto si quizá pepej, pretendía una aproximación más básica, mas standard, de lo que es un número natural sin entrar tan a fondo y de repente en las profundidades y vericuetos de la lógica y fundamentos de la matemática y su frontera con la filosofía.

 Tengamos en cuenta que es su primer mensaje, y como hacen muchos, quizá lo encuadró en esta discusión por error, pero su ánimo era un nuevo hilo (de hecho cambió el título).

 Mi intención al leer esto anoche fue dividir el mensaje hoy por la mañana. Pero las respuestas se han multiplicado. Así que dejo en manos de argentinator, moderador y pertinaz participante en este hilo, el decidir si procece plantear y responder a la respuesta de pepej en otro hilo.

Saludos.

Ya separé el mensaje de Pepej, y de paso le consulto qué es lo que él realmente quiere.

Saludos

[feriva]

Yo, para intentar empezar a definir los números naturales -intentar, digo- propongo esto.
 Ante todo, los números naturales han de ser distinguibles como elementos; no me refiero en cuanto a valor, sino al concepto de separación como individuos; es decir, de momento no hay 1,2,3... hay 1,1,1... ó u,u,u...
Surge entonces un problema, cómo definir un sólo número natural si no lo podemos distinguir de otro; podemos distinguirlo por contraste con el vacío, pero también un irracional o cualquier número que pudiera existir distinto de un natural se podría igualmente distinguir del vacío; luego el vacío no es suficiente.

 Entonces, para arreglar esto, empiezo porque sólo tengo un elemento que no sé si es natural o no: sea . Es una unidad de algo.

 Necesito partirlo en dos elementos, para tener dos cosas que distinguir, y para ello voy a definir una partición de unidades (no se trata de la división)

  Parto la unidad y obtengo otra.

Luego ya tengo 

Seguidamente, parto cualquiera de esas unidades [el resultado, escrito como si ya conociésemos los naturales, equivaldría a hacer esto: ; o sea, le quito una unidad, la parto para obtener dos unidades y se las reintegro, con lo que obtengo 3 unidades]




Seguimos ahora partiendo otra unidad, lo que equivaldría a . Y así sucesivamente.

Si se puede hacer eso con la unidad que habíamos tomado, entonces no puede ser “la unidad” de un número irracional. Lo difícil es distinguirlo de un racional puro, a no ser que se defina a partir de aquí una relación de equivalencia y se atienda al “tamaño” de las partes que van quedando; y no creo que quede otro remedio.

Se me ocurre seguidamente introducir el concepto de enésima o "última partición" y el de "valor de la unidad", dando a todas las unidades el mismo valor (pues nada tiene que ver con la idea de un tamaño físico y no hay problema) para lo cual, se define o se echa mano de la propiedad reflexiva: . Creo que ahí ya está casi el concepto de número natural. Con el último paso se ha definido que el elemento unidad es único; ahora, después de esto, para dar lugar a los números habría que definir la suma de las unidades que se han generado por partición en cada paso.

Los números así definidos, entonces, tampoco pueden ser racionales puros, pues todo ellos están compuestos por suma de unidades enteras.
 

Saludos. 

[Garubi]

Yo llamo numero natural a un concepto que refiere lo que tienen en común todo par de conjuntos que se vacían a la vez en un número finito de pasos, cuando le vamos quitando un objeto a cada uno en cada paso.

Hola Cristian.

Sea el objeto de uno de los sacos las potencias de dos (estimadas en número de bolas extraídas del saco) de las bolas que vas sacando del otro, una a una.
¿Cual de los dos sacos tiene mayor número de bolas?
¿Puedes fundamentar en el concepto de biyección la cardinalidad?
¿Qué impide que transcurra un tiempo no finito y continúes aburriéndote sacando bolas de los dos sacos, sin que se haya agotado ninguno de los dos, y sin que hayas discriminado por tanto qué saco tenía las bolas reales y qué saco tenía las bolas naturales?

El teorema de Cantor no está fundamentado en el empirismo, entiendo.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Yo lo que digo es que hablar de cardinalidades distintas en conjuntos infinitos en ZFC y numerar con una copia de de los naturales un conjunto de cardinalidad mayor que la de los naturales en ZFC, es decir a la vez que ZFC es consistente y es inconsistente.

Y yo te doy la razón, pero es que no es eso. Tu puedes construir en ZFC un modelo de ZFC en el que un conjunto no numerable cumpla la definición de conjunto de los números naturales, con lo que será numerable dentro del modelo (por definición, lo que sólo significa que se puede biyectar consigo mismo), pero no fuera.

Otra cosa que no tiene nada que ver es que puedes construir un modelo numerable de ZFC, de modo que todos sus subconjuntos son numerables, en particular los objetos que cumplan la definición de número real, lo cual no impide que sean no numerables en el modelo porque ninguna de las biyecciones entre ellos y los naturales (que existen) está dentro del modelo.

No hay nada de contradictorio en ninguno de estos dos hechos.

[argentinator]

Como te he explicado: Yo te digo lo que me dice mi intuición, y tú no tienes que aceptarlo salvo que tu intuición (la tuya) te diga exactamente lo mismo. Pero tampoco puedes rechazarlo porque no te dignes a considerar tu intuición, y me repliques con el ¿cómo era? el ESEU (esquema de silogismo escéptico universal): esto podría estar mal porque cualquier cosa podría estar mal.

Resulta que ahora mi intuición está llena de "modelos" de números naturales diferentes que estás convencido, como muchos otros, de que existen y tienen cardinales diferentes.
(Sigo en deuda con tus cálculos, aunque presumo que están bien)

¿Cuál de esas intuiciones es la correcta? ¿Y con qué criterio?
¿Cómo hago para saber que estoy "intuyendo" uno de esos modelos y no otro?

¿Forman un conjunto, una estructura, son los naturales que intuye Brower, o los que intuye Hilbert?
Porque yo puedo "intuir" todo esto a la vez, y no veo modo de elegir una opción, con un criterio creible.

[Carlos Ivorra]

Resulta que ahora mi intuición está llena de "modelos" de números naturales diferentes que estás convencido, como muchos otros, de que existen y tienen cardinales diferentes.
(Sigo en deuda con tus cálculos, aunque presumo que están bien)

No, no, no, no, no. Eres tú y no yo el que pretende identificar "números naturales" con los objetos que satisfacen la definición formal de número natural. Esos modelos esotéricos demuestran que ninguna definición formal de número natural puede capturar la noción intuitiva de número natural. Intuitivamente, los números naturales no son unos objetos cualesquiera que cumplan los axiomas de Peano, ni la definición de número natural en ZFC. Los números naturales son una sucesión que sabemos generar, los objetos que pueden obtenerse a partir del cero mediante la aplicación de una operación que nos permite inequívocamente generar un nuevo número después del anterior. Todos sabemos empezar con el 0 y pasar al 1 y luego al 2, y todos sabemos que si llegamos al 4326 luego viene el 4327, y todos sabemos que el proceso no termina nunca, porque sabemos que el criterio para generar el siguiente número natural puede aplicarse sin que nada lo impida a cualquier número natural dado.

¿Cuál de esas intuiciones es la correcta? ¿Y con qué criterio?
¿Cómo hago para saber que estoy "intuyendo" uno de esos modelos y no otro?

¿A qué intuiciones te refieres? Yo sólo tengo una intuición de lo que son los números naturales. El modelo ese que te construí es una construcción en ZFC a la que no sé asociar ningún contenido intuitivo, como no sé asociar ningún contenido intuitivo a un conjunto no medible Lebesgue o a un espacio de 17 dimensiones.

Así que no tengo "dos intuiciones" y no sé con cual quedarme. Tengo un concepto intuitivo de lo que son los números naturales y tengo una demostración formal en ZFC de la existencia de un modelo no estándar de los números naturales enmarcado en un modelo de ZFC respecto al cual cumple la definición de en ZFC.

Si me pides que le encuentre un contenido intuitivo a ese modelo de esa demostración, lo máximo que puedo hacer es que sé como especificar intuitivamente (aunque no constructivamente) unos objetos que, bajo el supuesto de que ZFC sea consistente, serán un modelo de ZFC (sus elementos serán clases de equivalencia de cadenas de signos del lenguaje de la teoría de conjuntos) y la demostración formal que te di en su día me convence intuitivamente de que ese modelo numerable M de ZFC contiene otro modelo (también numerable, pero no numerable en M) en el cual el conjunto de los números naturales es también numerable, pero tiene cardinal en M, lo cual no significa nada intuitivamente, más que la no existencia de ciertas biyecciones en el modelo. Por lo demás, los números naturales de ese submodelo se distinguen intuitivamente de los números naturales intuitivos exactamente igual que distingues intuitivamente una mosca de una catedral: es que no se parecen en nada. Los números naturales están bien ordenados, mientras que esos objetos están bien ordenados en el modelo, en el sentido de que todos sus subconjuntos no vacíos que están en el modelo tienen mínimo, pero la construcción muestra que tienen muchos subconjuntos no vacíos sin mínimo, por poner sólo un ejemplo que los diferencie de los números intuitivos.

Eres tú, desde tu postura, quien tiene serios problemas para distinguir una mosca de una catedral, porque tanto la mosca como la catedral satisfacen la misma definición formal que tú consideras que define unívocamente no sé muy bien si a las moscas o a las catedrales.

Así pues, tu pregunta de cuál es la intuición correcta de los números naturales, si la de unos objetos que no son sino un cero, seguido de un uno, seguido de un dos, etc., y otros objetos que son unas clases de equivalencia sofisticadas que no están bien ordenadas, etc., pues... es que se responde sola.

¿Forman un conjunto, una estructura, son los naturales que intuye Brower, o los que intuye Hilbert?
Porque yo puedo "intuir" todo esto a la vez, y no veo modo de elegir una opción, con un criterio creible.

Brouwer y Hilbert no intuían diferentes números naturales. Simplemente discrepaban en el punto hasta el cual estaban dispuestos a basar sus razonamientos en su intuición.

No tiene sentido decir "intuyo los números naturales de Hilbert" o "intuyo los números naturales de Brouwer". ¿Los dedos de tu mano, son cinco dedos de Hilbert o cinco dedos de Brouwer? Eso no tiene sentido.

[feriva]

De lo que he añadido en azul en mi último comentario resumo una conclusión: para definir los números naturales hay que distinguir entre, digamos, individuos y elementos, ya que, los individuos repetidos de un conjunto, en teoría de conjuntos, se consideran el mismo elemento. Si tenemos un conjunto de unidades que vamos acabar sumando, no es bueno considerarlo así, si es para analizar otra cosa, sí.

[Fernando Revilla]

Brouwer y Hilbert no intuían diferentes números naturales. Simplemente discrepaban en el punto hasta el cual estaban dispuestos a basar sus razonamientos en su intuición.

¿Te parece poca diferencia el que Brouwer a diferencia de Hilbert no consideraba a como entidad construida?

No tiene sentido decir "intuyo los números naturales de Hilbert" o "intuyo los números naturales de Brouwer". ¿Los dedos de tu mano, son cinco dedos de Hilbert o cinco dedos de Brouwer? Eso no tiene sentido.

Claro, en términos finitistas, ninguna diferencia.

[Carlos Ivorra]

Brouwer y Hilbert no intuían diferentes números naturales. Simplemente discrepaban en el punto hasta el cual estaban dispuestos a basar sus razonamientos en su intuición.

¿Te parece poca diferencia el que Brouwer a diferencia de Hilbert no consideraba a como entidad construida?

Esa diferencia es una diferencia teórica, no intuitiva. Quiero decir que simplemente resume, o sintetiza, una serie de restricciones que Brouwer se auto-impone a lo que se puede decir o no se puede decir sobre los números naturales, pero no significa que los números naturales en los que piensa Brouwer sean distintos de los números naturales en los que piensa Hilbert.

Si tú y yo estamos ante un puente y yo afirmo confiado que lo podemos cruzar sin que se hunda, y tú dices que no te atreves a cruzarlo porque temes que se hunda, tú y yo tenemos teorías distintas sobre el mismo puente.

No tiene sentido decir "intuyo los números naturales de Hilbert" o "intuyo los números naturales de Brouwer". ¿Los dedos de tu mano, son cinco dedos de Hilbert o cinco dedos de Brouwer? Eso no tiene sentido.

Claro, en términos finitistas, ninguna diferencia.

Pues ésa es la cuestión, que el número cinco de Brouwer es exactamente la misma cosa que el número cinco de Hilbert. Hilbert diría que la conjetura de Goldbach es verdadera o falsa, y Brouwer diría que, mientras no se demuestre o se refute, no es ni verdadera ni falsa. Con ello, Brouwer no está viendo algo distinto a lo que ve Hilbert, sino que se está negando a mirar (no acepta que se mire) donde Hilbert mira. La diferencia entre el que mira y el que no mira no es la misma diferencia que hay entre el que ve una cosa y el que ve otra distinta. La primera es subjetiva (Brouwer no ve porque renuncia a ver por principio), la segunda es objetiva, y no creo que nadie cuerdo (obviamente incluyo a los intuicionistas entre los cuerdos) haya defendido nunca algo así como "mis números naturales son distintos de los tuyos", sino más bien, "la teoría (o la filosofía) que yo construyo sobre los números naturales que tú y yo intuimos es distinta de la que tú construyes".

Si la diferencia entre ambas teorías llevara a discrepancias reales, que se pudieran presentar como objetivas (mis números cumplen esto, los tuyos cumplen lo otro) entonces podría tener razón argentinator al cuestionar que la intuición determine unos objetos a nuestro entendimiento, pero mientras las diferencias sean del tipo "yo no me atrevo y tú sí", no veo indicio alguno de la presencia de diferencias objetivas entre los objetos que la intuición presenta a uno y a otro. Fíjate que decir "mis números no cumplen el tercio excluso, y los tuyos sí que lo cumplen" no es realmente una diferencia entre mis números y los tuyos, no es una diferencia sobre lo que tú y yo vemos en los números, sino entre lo que tú y yo nos atrevemos a decir sobre los números.

[argentinator]

Aún en eso último hay un problema, después de todo, lo que "cada uno se atreve a decir" sobre los números influye en el tipo de demostraciones metalógicas que podrá hacer y luego así considerar válidas.

En cuanto a que son "filosofías distintas" es algo importante, porque los números no son una mera "lista de cosas", sino que tienen una estructura.
El tipo de propiedades de números que se pueden usar dependen de esa estructura, y de lo que la gente "elige decir" de esos números.

No es lo mismo decir que son un "infinito potencial", que un "infinito real".
Una computadora puede lidiar con un "infinito potencial" pero no con un "infinito real".

Así que ahí se ve claramente que no es "lo mismo", no da igual.
La frontera entre lo computable o no es crucial en el terreno de fundamentos.
¿Cómo va a ser lo mismo?

La diferencia entre lo computable y lo no computable puede ser lo mismo que la diferencia entre lo que tiene sentido y lo que no.
Después de todo, lo "no computable" es aquello que el Universo nos impide realizar mecánicamente.

¿No es esta diferencia esencial?

Es un indicio de algo importante que desconocemos sobre la matemática misma.
Claro que no sé que es ese "algo" importante,
pero la frontera en cuestión me inspira cierto respeto.

De ahí a decir que "es lo mismo".

El "5" de Cantor está inmerso en una estructura distinta que el "5" de Brower.
Así que son cosas distintas.
Puesto que todo objeto (abstracto) es interdependiente con la estructura en la que se lo considera.

Si has llegado a "3" yendo de uno en uno, y nunca has podido llegar de otro modo, estás bajo las reglas de Brower.
Si has podido hablar de "3" como el "mínimo exponente para el cual no vale la igualdad de Fermat ", entonces estás obligado al mundo de Cantor.

Pero peor todavía. La ecuación fermatiana es tan fácil de formular, que seguramente cabe dentro de lo "intuitivo", y sin embargo sólo puede demostrarse para números "formales".
(No sé si alguno se aventuró a hacer una demostración puramente intuitiva de esto, pero con toda la teoría de grupos y cuerpos que hay en el medio, no creo que tenga sentido).

_____________________


Si fueran "lo mismo", entonces las máquinas podrían calcular todos los cardinales sin problemas, porque no habría diferencia esencial entre Brower y Cantor.

Uno no se hace matemático o científico "aceptando las reglas que más le gustan, porque le quedan cómodas, y las defiende como una religión".
Los expertos tienen el deber de cuestionarse las cosas, y más aún este punto que no es trivial.
Primero está el espíritu crítico, después está lo demás.

Así que, o yo soy muy crítico o vos sos muy conformista.
________________

Me voy a comer, así se afloja un poco la tensión.

[Carlos Ivorra]

Aún en eso último hay un problema, después de todo, lo que "cada uno se atreve a decir" sobre los números influye en el tipo de demostraciones metalógicas que podrá hacer y luego así considerar válidas.

Por supuesto, soy plenamente consciente de ello.

En cuanto a que son "filosofías distintas" es algo importante, porque los números no son una mera "lista de cosas", sino que tienen una estructura.
El tipo de propiedades de números que se pueden usar dependen de esa estructura, y de lo que la gente "elige decir" de esos números.

No es lo mismo decir que son un "infinito potencial", que un "infinito real".
Una computadora puede lidiar con un "infinito potencial" pero no con un "infinito real".

Totalmente de acuerdo.

Así que ahí se ve claramente que no es "lo mismo", no da igual.
La frontera entre lo computable o no es crucial en el terreno de fundamentos.
¿Cómo va a ser lo mismo?

Empiezo a perderme. No sé exactamente qué me estás discutiendo. Por supuesto que no es lo mismo aceptar que podemos hablar de conjuntos no computables que no aceptarlo.

Si no aceptas hablar metamatemáticamente de ningún conjunto (sin el apoyo de ZFC), como era tu postura original, no te creerás los teoremas de incompletitud de Gödel (o los aceptarás sólo como teoremas de ZFC y no los podrás aplicar a ZFC sin caer en un círculo vicioso).

Si aceptas hablar metamatemáticamente de conjuntos computables aceptarás los teoremas de incompletitud de Gödel, pero si a la vez no aceptas hablar metamatemáticamente de conjuntos no computables entonces no aceptarás el teorema de completitud de Gödel.

Si aceptas hablar metamatemáticamente de conjuntos computables y no computables, aceptarás el teorema de completitud de Gödel.

Por supuesto que no es lo mismo. Lo que yo digo es que los números (intuitivos) son los mismos, y su estructura (su suma, su producto, su orden) es la misma, tanto si aceptas hablar de conjuntos no computables como si no.

La diferencia entre lo computable y lo no computable puede ser lo mismo que la diferencia entre lo que tiene sentido y lo que no.

Puede ser (ya es un progreso que te plantees considerar esa frontera y no la orignal, que era que nada tiene sentido sin el concepto de rigor que sólo tiene sentido en el contexto de la matemática formal), pero también puede no ser. (Más abajo vuelvo sobre esto.)

Después de todo, lo "no computable" es aquello que el Universo nos impide realizar mecánicamente.

¿No es esta diferencia esencial?

¡Claro que es esencial! Es esencial, por ejemplo, para poder aceptar el teorema de completitud de Gödel, si no fuera esencial, necesario para un desarrollo pleno de la metamatemática, trabajar intuitivamente con conjuntos no computables, no estaría yo aquí defendiéndolos con uñas y dientes. Te diría, "piensa lo que quieras, que es irrelevante", pero no es irrelevante en absoluto.

Es un indicio de algo importante que desconocemos sobre la matemática misma.
Claro que no sé que es ese "algo" importante,
pero la frontera en cuestión me inspira cierto respeto.

Esto me parece filosofía de la mala. Siempre he desconfiado de los que apelan a algo desconocido.

De ahí a decir que "es lo mismo".

El "5" de Cantor está inmerso en una estructura distinta que el "5" de Brower.
Así que son cosas distintas.
Puesto que todo objeto (abstracto) es interdependiente con la estructura en la que se lo considera.

Si has llegado a "3" yendo de uno en uno, y nunca has podido llegar de otro modo, estás bajo las reglas de Brower.
Si has podido hablar de "3" como el "mínimo exponente para el cual no vale la igualdad de Fermat ", entonces estás obligado al mundo de Cantor.

(Aquí hay un problema técnico: para probar que el 3 es ese mínimo exponente basta demostrar que el teorema de Fermat es cierto para exponente 3, lo cual es relativamente fácil, y los argumentos se pueden sostener en términos puramente intuitivos, pero no es eso lo que tú quieres decir. Entiendo que te refieres a que el 3 es el menor natural tal que el teorema de Fermat se cumple para él y todos los exponentes mayores.)

Si por el "3" de Cantor te refieres (según deduzco del contexto) al "3" de ZFC, ciertamente no es lo mismo. Es lo que te vengo diciendo desde el principio, porque el "3" de ZFC no es el 3 intuitivo. Es un concepto formal del que puedes demostrar formalmente propiedades que se corresponden con las propiedades intuitivas del número 3 intuitivo.

Pero peor todavía. La ecuación fermatiana es tan fácil de formular, que seguramente cabe dentro de lo "intuitivo", y sin embargo sólo puede demostrarse para números "formales".
(No sé si alguno se aventuró a hacer una demostración puramente intuitiva de esto, pero con toda la teoría de grupos y cuerpos que hay en el medio, no creo que tenga sentido).

Pues no sé si será posible dar una prueba intuitiva del teorema de Fermat, pero, desde luego, la de Wiles no sirve en ese sentido. Pero ojo, "el menor exponente etc., etc." es un concepto que tiene pleno sentido en términos intuitivos. Incluso tiene sentido plantearse si ese número será precisamente el 3. Lo que no sabemos hoy por hoy es dar una prueba intuitiva de ese hecho, y es muy probable que tal prueba no exista. Pero sí que podemos decir, en términos puramente intuitivos, que si ZFC es consistente (afirmación que tiene perfecto sentido intuitivo), entonces ese número es el 3, ya que si existiera un contraejemplo al teorema de Fermat, podría demostrarse que lo hay en ZFC (porque si una ecuación polinómica tiene solución, se puede demostrar que la tiene en ZFC), y eso unido al teorema de Wiles probaría que ZFC es contradictorio.

Si fueran "lo mismo", entonces las máquinas podrían calcular todos los cardinales sin problemas, porque no habría diferencia esencial entre Brower y Cantor.

Aquí ya estás desbarrando. Lo que dices no tiene absolutamente nada que ver con nada que yo haya dicho. Yo estoy sosteniendo que existe un concepto intuitivo de "número natural" unívocamente determinado, que es el mismo que el de Brouwer o que el de Hilbert o que el tuyo (no el de tu filosofía escéptica, sino el que usas cuando cuentas peras y manzanas, y el que podrías usar para hacer metamatemática si quisieras), pero que de ningún modo puedes identificar con lo que ahora pareces estar llamando los "números naturales de Cantor", que, según entiendo, son los números naturales de ZFC. Yo siempre he sostenido que ZFC contiene conceptos que no tienen ningun soporte intuitivo, como cardinales no numerables, o espacios de 17 dimensiones, etc., mientras que otros conceptos, como los números naturales definidos en ZFC son reflejos débiles de los números naturales intuitivos (como personajes de una novela histórica, que no tienen por qué coincidir exactamente con los personajes históricos reales) en el sentido de que puedes construir objetos que cumplan la definición formal de número natural y sean muy distintos de los números naturales intuitivos (no estén bien ordenados y esas cosas).

¿Yo afirmo que los números naturales intuitivos son los mismos para todos y tú concluyes que entonces los cardinales infinitos también son lo mismo y los podría manejar un ordenador? Eso no es serio.

Uno no se hace matemático o científico "aceptando las reglas que más le gustan, porque le quedan cómodas, y las defiende como una religión".
Los expertos tienen el deber de cuestionarse las cosas, y más aún este punto que no es trivial.
Primero está el espíritu crítico, después está lo demás.

Así que, o yo soy muy crítico o vos sos muy conformista.

Tú eres muy crítico, porque el escepticismo es la crítica desbordada. El escéptico llama religioso al no escéptico, eso es de esperar, pero, dejando esas cosas de lado, lo que planteas es correcto: hay que cuestionarse las cosas y no aceptarlas por comodidad. Podrías empezar por ti mismo (y Brouwer podría haber hecho otro tanto): ¿A qué viene tanta mojigatería? ¿Cuál es la razón de negarse a razonar cuando se puede? Yo cojo un libro de lógica y me encuentro con la demostración del teorema de completitud de Gödel, que requiere considerar un conjunto numerable (que podríamos reducir a un conjunto de números naturales si quisiéramos, aunque no sería sino complicar la prueba) que no es computable, no se puede saber cuáles son realmente sus elementos, pero cuya definición consiste en un criterio muy concreto, no verificable, pues implicaría ser capaz de saber si determinados conjuntos de sentencias son consistentes o no, pero perfectamente definido, sin ambigüedad alguno. Y entonces vienes tú, o viene Brouwer, y me dice que no puedo aceptar esa prueba, porque usa el tercio excluso.

Y yo digo, ¿y qué? En el momento en que yo me encuentre con un argumento que use el tercio excluso y me lleve a una paradoja o a una contradicción o a cualquier cosa inaceptable, entonces, y sólo entonces, rechazaré el tercio excluso. Es evidente que el razonamiento metamatemático tiene que limitar sus objetos en consideración a objetos cuidadosamente definidos para no caer en ambigüedades y contradicciones, y eso lo tengo muy presente. Tengo muy meditado qué clase de consideraciones son metamatemáticamente aceptables y cuáles no lo serían, pero no me pidas que te diga cuáles son, porque hay reglas, pero no reglas de reglas. Cuando quieras tomamos un libro que desarrolle la metamatemática y discutimos línea a línea si lo que allí se dice tiene sentido o no, pero no me pidas criterios a priori que garanticen que algo vaya a tener sentido porque esos criterios no existen.

Así, haciendo metamatemática con unos criterios de rigor cuidadosamente meditados y que incluyen, entre otras cosas, el tercio excluso, resulta que todo funciona bien, no hay rastro de contradicciones. ¿Por qué debería yo renunciar al tercio excluso o a los conjuntos bien definidos pero no computables (como el conjunto de sentencias verdaderas de la aritmética de Peano) sólo porque a ti o a Brouwer se os hayan atragantado?

Estaría bueno: supongo que sabes perfectamente que es imposible demostrar que ZFC es consistente, pero tú estás tan contento trabajando muy dignamente en ZFC, a pesar de que sabes que no puedes demostrar que es consistente, pero a mí me pides que demuestre que los métodos que admito como válidos en metamatemática son consistentes. Cuando demuestres tú que ZFC es consistente yo te demostraré que usar el tercio excluso es consistente. Y si yo soy religioso por trabajar metamatemáticamente aceptando unas condiciones de rigor que no han dado nunca muestras de ser contradictorias, tú y todos los matemáticos sois religiosos por aceptar ZFC sin más evidencia que la ausencia de indicios de contradicción. Es lo mismo. ¿Por qué me pides a mí como requisito lo que sabes que tú no puedes hacer con ZFC y lo aceptas? Empezaste exigiendo a la metamatemática las mismas condiciones de rigor que proporciona ZFC, pero ahora pasas a pedirle lo que nunca le pedirías a ZFC.

En resumen, no se puede demostrar la consistencia de la intuición igual que no se puede demostrar la consistencia de ZFC. Ante eso, lo mejor que se puede hacer es trabajar con ZFC teniendo claro que habría que remodelarlo si alguien encontrara en él una contradicción, pero sin preocuparse por ello mientras no se encuentre, y construir la metamatemática (y con ella diseñar ZFC) intuitivamente (con los patrones de rigor que aplica cualquier libro que aborde la metamatemática) teniendo claro que habría que reconsiderar las cosas en cuanto alguien encontrara una contradicción en un argumento que se considerara metamatemáticamente aceptable, pero sin preocuparse por esa posibilidad mientras no se dé.

¿Dónde están la religión, la irreflexividad, o la comodidad en este planteamiento? Cuando tú ves esas cosas, yo veo mojigatería injustificada en la posición contraria: dudar por dudar, sin tener el menor indicio que justifique la duda. Religión es creer lo que hay serios indicios para dudar, escepticismo es dudar cuando no hay absolutamente ningún indicio para dudar, y creo sinceramente que yo estoy en el término medio entre ambas patologías.

Me voy a comer, así se afloja un poco la tensión.

¿Tensión? No te tomes nada de esto a pecho, hombre. Estamos discutiendo sobre el asunto más intrascendente del mundo. Todo seguirá funcionando igual de bien (incluso las matemáticas) aunque no nos pongamos de acuerdo tú y yo. Si una discusión es honesta, en el sentido de que cada cual defiende sinceramente lo que piensa y evitando tretas retóricas (y no me cabe duda de que este es el caso por parte de todos los que participamos en este hilo) la discusión es sana, y como tal hay que tomársela. Sin disgustos ni tensiones.

Pues mientras tú comes yo me voy a dormir.

[argentinator]

No sé si comentar todo, porque muchas cosas son más de lo mismo.

Pero por ejemplo, "no estoy contento con ZFC".

Pienso que la relación entre la parte "intuitiva" de la matemática y la posterior construcción de ZFC, que ambas en conjunto forman la matemática moderna, no me conforman.

En cuanto a si estoy discutiendo de una cosa o de otra, bueno, es confuso, porque me he quejado de cosas distintas, y encima noto que se relacionan unas con otras, y no siempre logro separar una queja de la otra.

Una de las quejas es que los textos de metamatemática no son claros.
Vos decís: "agarro un libro de metamatemática, y entiendo lo que dice y ya está".
Pero yo no entiendo lo que dice, porque no entiendo qué supuestos hacen o qué reglas aplican.

Cuando pienso que deberían precisar tal o cual cosa, no lo hacen, y cuando veo que no lo hacen porque "nunca se hace", me encuentro conque soy el único que parece cuestionarse cosas infantiles que todo experto debiera cuestionarse.

______________-


Hablo de computable y no computable del mismo modo que hablo de intuiciones, metamatemática y ZFC: porque es lo que hay.

Pero para la "intuición" de números naturales pareciera que estás usando la intuición de Cantor, que te da lo mismo que sea la de Brouwer, y ambas cosas están separadas por una frontera importante.
¿Y entonces, qué valor tiene la intuición ahí, si no es capaz de distinguir ambos lados de una frontera importante?

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Te quejaste de que "argumenté sobre hechos desconocidos".
Y sí, es indeseable.

Pero también es mala filosofía "hacerse el tonto" no dejando claro cuáles son los límites a los que se le da crédito a la intuición, dejando una frontera difusa a propósito, por mera conveniencia.

___________________

En cuanto al teorema de Godel y demás, no tengo por qué creerlo.
No es una cuestión de creencias.

A pesar de que es un teorema metamatemático, lo de Godel tiene sentido, pero porque Godel DEJÓ BIEN CLARAS LAS REGLAS DEL JUEGO.

Godel usó el lenguaje y la lógica de primer orden para expresar metamatemáticamente propiedades también del lenguaje de primer orden.

En las construcciones del teorema de Godel las reglas usadas en el costado metamatemático están claramente especificadas.

Quizá hay puntos del resultado de Godel que no son así, sino que "se salen" del esquema.
No tengo destreza en este teorema, no entiendo todo aún.
Hay cosas que las he visto por arriba, y en tal caso tengo la impresión de que hay partes del resultado de Godel que se salen de las reglas que menciono.
En ese caso, en ausencia de reglas claras, ya no aceptaría yo alegremente lo que dice Godel.

¿Pero se entiende por qué a Godel le creo más?

No se trata de si es formal o no,
de si usa ZFC o no,
sino de que es el único que dijo claramente cuáles reglas estaba usando como "metamatemática".

¿Por qué él pudo hacerlo, y a los demás no se les entiende nada de lo que hablan?
¿Por qué Godel puede ser serio y los demás no, y en vez de tratar de ser exactos, no hacen más que defender la "intuición", una cosa difusa que nadie sabe lo que es?

Yo pienso que defender tanto la intuición es más bien la actitud de "escabullirse" del problema de buscar la exactitud.

________________

¿Qué pasa con la exactitud?

[Fernando Revilla]

Aún en eso último hay un problema, después de todo, lo que "cada uno se atreve a decir" sobre los números influye en el tipo de demostraciones metalógicas que podrá hacer y luego así considerar válidas.

En cuanto a que son "filosofías distintas" es algo importante, porque los números no son una mera "lista de cosas", sino que tienen una estructura.
El tipo de propiedades de números que se pueden usar dependen de esa estructura, y de lo que la gente "elige decir" de esos números.

No es lo mismo decir que son un "infinito potencial", que un "infinito real".
Una computadora puede lidiar con un "infinito potencial" pero no con un "infinito real".

Así que ahí se ve claramente que no es "lo mismo", no da igual.
La frontera entre lo computable o no es crucial en el terreno de fundamentos.
¿Cómo va a ser lo mismo?

La diferencia entre lo computable y lo no computable puede ser lo mismo que la diferencia entre lo que tiene sentido y lo que no.
Después de todo, lo "no computable" es aquello que el Universo nos impide realizar mecánicamente.

¿No es esta diferencia esencial?

Es un indicio de algo importante que desconocemos sobre la matemática misma.
Claro que no sé que es ese "algo" importante,
pero la frontera en cuestión me inspira cierto respeto.

De ahí a decir que "es lo mismo".

El "5" de Cantor está inmerso en una estructura distinta que el "5" de Brower.
Así que son cosas distintas.
Puesto que todo objeto (abstracto) es interdependiente con la estructura en la que se lo considera.

Si has llegado a "3" yendo de uno en uno, y nunca has podido llegar de otro modo, estás bajo las reglas de Brower.
Si has podido hablar de "3" como el "mínimo exponente para el cual no vale la igualdad de Fermat ", entonces estás obligado al mundo de Cantor.

Pero peor todavía. La ecuación fermatiana es tan fácil de formular, que seguramente cabe dentro de lo "intuitivo", y sin embargo sólo puede demostrarse para números "formales".
(No sé si alguno se aventuró a hacer una demostración puramente intuitiva de esto, pero con toda la teoría de grupos y cuerpos que hay en el medio, no creo que tenga sentido).

_____________________


Si fueran "lo mismo", entonces las máquinas podrían calcular todos los cardinales sin problemas, porque no habría diferencia esencial entre Brower y Cantor.

Uno no se hace matemático o científico "aceptando las reglas que más le gustan, porque le quedan cómodas, y las defiende como una religión".
Los expertos tienen el deber de cuestionarse las cosas, y más aún este punto que no es trivial.
Primero está el espíritu crítico, después está lo demás.

Así que, o yo soy muy crítico o vos sos muy conformista.

De acuerdo en todo.

Me voy a comer, así se afloja un poco la tensión.

Con esto también.