Éste no es el post que te debo, pero es que me lo has puesto tan a mano que no he podido resistirme. Te voy a contestar a uno de tus últimos posts, pero quiero dejar bien claro que éste es completamente distinto a todos mis posts en este hilo. Aquí trabajo en ZFC, y sólo voy a apelar a teoremas demostrables en ZFC que puedes encontrar publicados en libros. Nada de intuiciones ni filosofías. Me meto en tu terreno.
Como tú muy bien dices, todas las cuestiones lógicas pueden formalizarse en ZFC y vamos a trabajar en esa formalización. Me abstengo de extraer consecuencias metamatemáticas.
En particular, cuando hable del lenguaje formal
de la teoría de conjuntos, no me refiero al lenguaje metamatemático que usamos para ecsribir teoremas, sino a un concepto matemático cuyos signos son, por definición, por ejemplo, números naturales. Concretamente, podemos definir el conjunto de las variables de
como el conjunto de los números naturales pares, así, si escribo
, es una fórma cómoda de referirse al número natural
, los demás signos de
son (por definición) (
,
,
,
, y así sucesivamente, puedo definir cada signo lógico como un número natural impar.
A partir de aquí, las técnicas de inducción y recursión que se demuestran en ZFC me permiten definir el conjunto
de las fórmulas de
(que es un subconjunto del conjunto de sucesiones finitas de números naturales), lo que son las variables libres de una fórmula de
, lo que es el conjunto
de sentencias de
y así, uno por uno, puedo dar definiciones formales de todos los conceptos de la lógica. Puedes encontrar esto hecho con detalle en cualquier libro de lógica formal que trabaje en ZFC y no metamatemáticamente. En particular puedo definir el conjunto
formado por los axiomas de ZFC, entendidos ahora como ciertas sucesiones finitas de números naturales. Esto es completamente estándar.
Ahora hablo de lo que no sé: No sé que nadie haya demostrado que si ZFC es consistente admita un modelo estándar (cuyos números naturales sean identificables con los intuitivo), ni sé tampoco de ningún resultado que implique que tal demostración es imposible. Si hay algún resultado sobre esto, lo desconozco.
Si fueras capaz de definir con precisión el problema, yo podría probarlo.
No se puede probar porque no has definido con precisión que son los números naturales "identificables con lo intuitivo".
Te defino la versión formal del problema intuitivo que planteaba en el post que citas:
Supongamos que ZFC es consistente (esto es una afirmación en ZFC, como sería suponer la hipótesis del continuo o suponer el axioma de constructibilidad). Fíjate que el teorema de incompletitud de Gödel asegura que, si ZFC es consistente es imposible demostrar que lo es en ZFC.
El teorema de completitud de Gödel es equivalente al teorema que afirma que una teoría de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo. Podrás cuestionar que esto tenga validez metamatemática intuitiva, pero aquí me refiero al teorema de ZFC que se demuestra a partir de los axiomas de ZFC y que afirma lo que he dicho. Entra en la Wikipedia y encontrarás referencias.
Así pues, como estamos suponiendo que ZFC es consistente podemos afirmar que tiene un modelo M. Según la definición formal de modelo que puedes encontrar en cualquier libro de teoría de modelos, esto significa que M es en realidad un par ordenado
, donde
es un conjunto y
es una relación binaria en
que interpreta a la relación de pertenencia. En general, para cualquier par en estas condiciones se define (me remito a cualquier libro de teoría de modelos) la relación
sobre el conjunto
de sentencias de
, que "informalmente" en tu sentido peyorativo de la palabra, significa que
es verdadera cuando sus variables se interpretan como objetos de
y el signo
se interpreta como la relación
(y el signo
, es decir, el número 1) se interpreta como la igualdad. Escribo
en lugar de
con la misma licencia por la que los algebristas escriben
en lugar de
para nombrar un grupo.
Que
sea un modelo de ZFC significa que
, es decir, que
.
Aquí es muy importante que, por definición,
tiene que ser un conjunto, y esto no lo hago para fastidiarte, sino que se puede demostrar que si
es una clase propia y
es cualquier relación binaria en
(incluso la propia relación de pertenencia natural) es imposible definir una relación
donde
recorre el conjunto
de sentencias de
de forma que verifique las condiciones que se exigen cuando
es un conjunto. Esto sería complicado de explicar aquí, pero si crees que no es así, toma un libro de teoría de modelos, mira la definición de
que encontrarás para el caso de que
sea un conjunto e intenta generalizarla a clases propias. Enséñame tu generalización y te diré dónde has metido la pata, porque eso no se puede hacer.
Hasta donde yo sé, eso que has dicho no hace falta probarlo, es un Axioma de la teoría de conjuntos.
El Axioma del Infinito, con la construcción de Von Newmann, que apila "vacíos", ¿no es acaso ése un modelo estándar?
Está bien que esa construcción está del lado "sintáctico", pero bueno, en realidad no pasa nada. Está el modelo L de Godel, que es aquel que cumple la Hipótesis del Continuo Generalizada, y en el cual quiero creer que N es una versión de "naturales de la escuela primaria de Donald", o al menos de la primaria de Godel.
Nota: a mitad escribir me he dado cuenta de que llamo igual a la clase de los conjuntos constructibles que a mi lenguaje formal. No voy a retocar lo escrito, pero el contexto no deja lugar a dudas.Como
es una clase propia, puedes decir que es lo que se llama un "modelo interno" de ZFC, pero no un modelo en el sentido de la teoría de modelos. No puedes definir la relación
que "cumplirían" los elementos de
verdaderos en
y, sin esa relación, no puedes aplicar a
ningún teorema de la teoría de modelos.
Lo más que puedes hacer, y es lo que Gödel hizo (y aquí entro en la metamatemática sólo para decirte por qué no podemos ir por ahí en un post en el que me he comprometido a trabajar dentro de ZFC), es definir para cada fórmula metamatemática
, es decir, no un conjunto elemento del conjunto
, sino una fórmula de verdad, de las que usas para escribir teoremas, definir metamatemáticamente, digo, otra fórmula
, llamada su relativización, que significa que lo que dice
es verdadero en
, pero así sólo puedes enunciar y demostrar que
satisface cualquier conjunto finito de sentencias metamatemáticas que sean axiomas (o teoremas) del ZFC metamatemático, pero no puedes enunciar esto como un teorema sobre la versión formalizada de ZFC ni la versión formalizada
de las sentencias del lenguaje formal. Una buena referencia para esto es Kunen, Set Theory. Se encuentra gratis en la red si buscas bien.
Lo dicho sobre
basta para demostrar metamatemáticamente que, por ejemplo, si ZFC es consistente, también lo es ZFC más la hipótesis del continuo, pero no puedes aplicarle a
la teoría de modelos formalizada.
La versión formalizada de lo anterior es que si
es un modelo de ZFC (que sea un conjunto, como exige la definición), entonces también lo es el subconjunto de
que podemos llamar
,
donde el "
" que aparece ahí es el elemento de
que corresponde a la fórmula `"
es un conjunto constructible". Vamos, que los elementos de
que también son constructibles en
es otro modelo de ZFC. Esta es la versión formalizada de lo que Gödel probó metamatemáticamente.
Ahora ya puedo plantearte la versión formal que me pedías:
Suponiendo que ZFC es consistente se puede demostrar que tiene un modelo
. Lo que te decía es que no sé de nadie que haya probado que exista un modelo estándar. ¿En qué sentido?
Bueno, para cada natural
(de los tuyos, sigo trabajando en ZFC, no te asustes) podemos definir inductivamente una fórmula de
(una sucesión de números naturales). Definimos
como la fórmula
de
que técnicamente es la misma que
o también
. Supuesta definida
, defino
como la fórmula (sucesión de números naturales) siguiente:
.
Como es fácil ver, intuitivamente (en el sentido pavoroso que tú le das al término),
es la fórmula que significa
es el número natural que se obtiene aplicando
veces al número natural cero la operación siguiente, pero esta idea intuitiva no hace falta para nada, tenemos la definición rigurosa formal.
Diremos que el modelo
es estándar si para cada
que cumpla
(donde la fórmula que aparece ahí es sólo una sucesión finita de números naturales) se cumple que existe un
tal que
.
Intuitivamente esto significa que todo elemento que en M es un número natural se obtiene aplicando al objeto que en M representa el 0 (el conjunto vacío de M) un número finito
de veces la operación sucesor.
Ya te he formulado rigurosamente mi problema: si suponemos que ZFC es consistente, podemos probar que tiene un modelo, pero ¿tiene un modelo estándar? Como te dije, no sé si eso está demostrado. Si quieres intentarlo tú, pues tú mismo. Recalco que todo el planteamiento es teoría de modelos estándar tal y como viene en cualquier libro de la materia. Todas las referencias que he hecho a metamatemática han sido para explicar por qué no puedo hacer ciertas cosas.
En todo caso, no me quedo tranquilo con la afirmación que has puesto sobre los modelos no isomorfos de ZFC.
Eso no puede ser cierto.
Ahí está mal la definición que usan de isomorfismo.
Mi razonamiento es éste. Bajo un modelo fijo de ZFC (no me pongas por ahora dos modelos distintos), se tiene que dos conjuntos que cumplen los axiomas de Peano son isomorfos.
En particular, son isomorfos con el conjunto N que se puede construir con el alfabeto de dígitos decimales, el orden lexicográfico, y las operaciones aritméticas tal como se enseñan en la escuela primaria, esta vez operando con dígitos.
Las operaciones con dígitos así formuladas son un algoritmo, algo sintáctico y, según las asunciones metamatemáticas, son unívocas.
Ese "modelo" de los dígitos es el mismo bajo cualquier modelo de ZFC.
De ahí tendría que deducirse que todos los sistemas de números naturales, incluso bajo modelos distintos, son isomorfos.
Si ahora vos me decìs que ese conjunto de dígitos decimales puede tener cardinalidades distintas en modelos distintos de ZFC, entonces ¿qué les pasó a los intuitivos números de la primaria?
Bien, vamos a analizar la situación. Partimos de un modelo M de ZFC del que no sabemos si es estándar o no. Si quieres suponer que lo es, me da lo mismo, no afecta a nada de lo que voy a decir. Elige un cardinal ¿he oído
? Vale. Pues voy a construir a partir de
un modelo no estándar de ZFC en el que el conjunto de los números naturales (que, por supuesto, satisface los axiomas de Peano en
) tiene al menos
elementos.
Tomemos un conjunto
disjunto de
que tenga cardinal
. Define un lenguaje formal
cuyos signos sean los de
más los signos de
considerados como constantes. (Trabajar con lenguajes formales no numerables es el pan de cada día en teoría de modelos.) Las fórmulas de
son sucesiones finitas de
. La definición usual de fórmula y demás conceptos lógicos es válida para lenguajes de cualquier cardinal.
Consideremos el conjunto
de sentencias de
definido como la unión de ZFC más el conjunto formado por las sentencias siguientes:
, para cada
y
, para cada par de elementos distintos
.
Vamos a probar que cada subconjunto finito de sentencias de
tiene un modelo. En efecto, si
es finito, entonces sólo puede contener un número finito de las fórmulas que hemos añadido, luego en ellas sólo puede aparecer un número finito de constantes de
. Llamemos
a las constantes de
que aparecen en las sentencias de
Entonces, un modelo de
se obtiene tomando el modelo
de partida e interpretando las constantes
como
objetos de
distintos dos a dos, digamos
, todos los cuales cumplan
. Esto es posible porque necesariamente
contiene infinitos objetos que cumplen la definición de número natural, y sólo necesitamos un número finito de ellos.
Esto prueba que todo subconjunto finito de
tiene un modelo, y el teorema de compacidad (un teorema estándar de la teoría de modelos, demostrable a partir de los axiomas de ZFC) implica entonces que
tiene un modelo
, que en principio es distinto de
. Como
, en particular
es un modelo de ZFC.
Sea
, es decir, el conjunto de los objetos del modelo
que cumplen la definición de número natural. Es fácil probar que tiene cardinal mayor o igual que
. En efecto, la aplicación
que a cada
le hace corresponder el objeto denotado por la constante
en
(en el sentido usual de la teoría de modelos) tiene su imagen en
, y es inyectiva, pues si
son distintos, entonces la fórmula
está en
, luego
, y esto significa, por definición, que
.
Si llamamos
al cardinal de
, podemos repetir la construcción partiendo de un cardinal mayor que
en lugar de
, y así obtenemos otro modelo
de ZFC cuyo conjunto de números naturales tiene cardinal mayor que el de
.
Esto es teoría de modelos estándar, y prueba que tu argumento tiene algún fallo. ¿Te digo cuál es? Que pretendes definir (o caracterizar) los números naturales (en tu último argumento, el que te cito un poco más arriba) como sucesiones
de dígitos, pero el concepto de finitud no puede ser definido categóricamente en ZFC. En los modelos que acabo de construir (precisamente por tu argumento) hay sucesiones "finitas" de dígitos (en el sentido de objetos
tales que
es una sucesión finita de dígitos, donde la frase "es una sucesión finita de dígitos" sustituye a la fórmula correspondiente de ZFC, con cualquier definición de finitud o de dígitos que quieras dar, pero que en realidad tiene longitud infinita, donde por "en realidad" no quiero decir intuitivamente, sino que (entendiendo las sucesiones finitas como aplicaciones de dominio igual a un número natural)
es una aplicación cuyo rango está contenido en el conjunto de los 10 objetos que en
representan los dígitos, pero cuyo dominio es un número natural no estándar, que bien puede dejar tras de sí
números naturales menores.
Pero me ha enternecido ver cómo buscabas los números naturales de la primaria. Sé que ha sido un lapsus, pero por algo se empieza. Todavía tienes esperanza.
