Yo no puedo admitir un sistema formal que se base en la intuición.
Pues ya lo has dicho todo. ¿Y en qué vas a basar la teoría axiomática de conjuntos entonces, o simplemente la lógica formal, sin entrar en axiomas de conjuntos? ¿Cómo vas a comprobar que las reglas deductivas son realmente operativas, que son consistentes, etc. si necesitas hacer esas comprobaciones antes de poder confiar en ellas?
El sistema formal tiene por objeto quitarse de encima la intuición, porque la intuición es subjetiva, anticientífica.
Eso es un prejuicio. Mejor dicho, es cierto si se aplica a al deplorable concepto de intuición que describes más abajo (no digo que sea deplorable que tengas ese concepto, sino que lo que describes es realmente algo deplorable que nadie querría para nada, pero es que eso no es la intuición).
La matemática no es sólo un jueguito de demostración y números, es una ciencia, conectada con otras ciencias. ¿Dónde está el rigor?
En su absoluta precisión, ya provenga de la intuición, ya del cálculo formal.
Cuando a Tarzán le explicaste los números y la propiedad del "mínimo" en un conjunto de números, Tarzán, como es iletrado pero inteligente (como mostraban en la película), se dio cuenta de que podía hablar del "mínimo entero definible no definible con menos de trece palabras castellanas". Pero ese entero n, que existe, porque el conjunto correspondiente es no vacía, se puede definir con doce palabras castellanas.
¿Cómo le aclarás este punto a Tarzán?
¿No sería ya tiempo de que a Tarzán y a mí nos vayas especificando cuál es exactamente el alcance del discurso al cual se aplican los números naturales y el principio de inducción, o las reglas lógicas, o el domino de discurso, en toda esta vasta extensísima, difusa y tramposa zona del lenguaje coloquial y la metamatemática?
Aquí hay mucha tela. Voy a acabar con el resto de cosas pendientes y el próximo post lo dedico a responderte a esto.
En cuanto a la pregunta de Cristian, de si hay dos sistemas de naturales intuitivamente diferentes.
Bueno, en principio no haría falta, pues con una sola intuición basta para tener una paradoja en el lenguaje coloquial, como se ve en el párrafo anterior.
Te refutaré esto en mi próximo post.
Pero si uno se pone a buscar, la puede encontrar.
La solución rápida (algo tramposa, lo admito), pero igualmente válida, es que cualquier modelo no estándar de los axiomas de Peano sirven para inspirar una forma "intuitivamente" distinta de otros sistemas de números naturales.
Totalmente tramposa. Estás probando que la lógica formal (y te recuerdo que eso no sólo se aplica a los axiomas de Peano, sino también a los axiomas de toda la teoría de conjuntos) no determina los números naturales. Si me pusiera en el plan en que te pones tú, tendría que decirte que la lógica formal no es científica, ni rigurosa, porque según qué axiomas o qué modelos tomes, tienes unos números naturales u otros. En cambio, la intuición sí que es rigurosa y científica, porque tiene un criterio para distinguir si los números naturales de un modelo son auténticos o malas imitaciones.
No respaldo lo que acabo de escribir porque es una interpretación capciosa del hecho (a imitación de las interpretaciones que tú haces), pero sí que afirmo que tal conclusión está igual de bien fundada que tu argumento según el cual la existencia de modelos no estándar implica que la intuición no es rigurosa y la lógica formal sí lo está. Según tu propia lógica (que no la mía), deberías tachar la lógica formal de acientífica y alabar a la intuición como científica.
Una distinción más sutil entre dos sistemas de naturales viene dada por lo siguiente:
Bien es sabido que se pueden considerar los naturales (digamos "a la usanza" de los estándar en ZFC) ya sea como un "conjunto real", o sea, "el conjunto de todos los números naturales" como una "totalidad" (a lo Cantor),
y la secuencia de números naturales en forma "potencial", en forma constructiva, iterativa, a lo Brower.
Ambas cosas no son lo mismo, porque hay teoremas sobre conjuntos de naturales que no pueden enunciarse en la versión de "infinito potencial" o del "constructivismo".
Son dos versiones intuitivamente diferentes de sistemas de números naturales.
La intuición de Cantor y la intuición de Brower.
Yo, humildemente, pienso que al menos habría que ser claros e indicar cuál de esas dos intuiciones se están aceptando en la metamatemática.
Bueno, aquí tenemos un problema técnico, y es que tú eres escéptico y yo soy "clásico". Un escéptico es alguien que no se atreve a nadar porque piensa que si se moja los pies corre el peligro de ahogarse, un intuicionista es alguien que se atreve a meterse en el agua a condición de que ésta no le pase del ombligo, porque así está seguro de que no se ahogará, y un "clásico" se atreve a adentrarse hasta donde su buen criterio le dice que no se ahogará, lo cual dependerá de si hay o no una corriente intensa, de si hay desniveles bruscos en el fondo marino, etc.
Si un intuicionista participara en el debate, te reprocharía a ti tu mojigatería y a mí mi atrevimiento, tú nos reprocharías a ambos nuestro atrevimiento y yo os reprocharía a los dos vuestra mojigatería. No puedo defender una postura que no comparto (el intuicionismo), pero tú no puedes usar contra mí que haya otros que no piensan como yo, porque yo sólo puedo responder de mí mismo. Tú piensas que yo estoy equivocado (y supongo que pensarás también que un intuicionista que sostenga una metamatemática intuitiva intuicionista está equivocado, porque cualquier intuición es abominable), yo pienso que tú y los intuicionistas estáis equivocados y un intuicionista pensará que tú y yo estamos equivocados. Ante el conflicto, podemos discutir, pero conmigo discute sobre la posición que yo defiendo (la clásica) y si tienes pegas con el intuicionismo dirígete a un intuicionista. No uses contra mí que haya otros que piensan otra cosa. Mi respuesta es que un intuicionista se equivoca igual que tú te equivocas. Esto es trivial: si pensara que un intuicionista tiene razón y yo no, me haría intuicionista.
Porque Donald dice que se usan "todas" las propiedades de los números naturales.
Entonces me obliga a usar la intuición de Cantor, que se refleja en la formalización de los naturales en ZFC.
"Te obligo": simplemente, yo soy clásico y puedo defender la postura clásica y no otras que no comparto. Por otra parte, la formalización de los naturales en ZFC no captura la noción intuitiva de número natural, es, por lo tanto, más pobre que la intuición. Si te quedas con ZFC y pierdes la intuición, pierdes información sobre los números naturales.
Más precisamente: si ZFC es contradictorio, al quedarte con ZFC estás pifiándola, porque la intuición es consistente y ZFC no lo es. Si ZFC es consistente, entonces dicha consistencia puede expresarse como una afirmación verdadera sobre los números naturales que nunca podrás demostrar en ZFC. De hecho, tendrás modelos de ZFC en los que sea falsa, y yo podré decirte, basándome en la intuición, que existe un modelo de ZFC donde tus números naturales cumplen una propiedad que es falsa. Tú no podrás decir nada, porque no sabrás salir de ZFC.
Pero otras gentes he visto que dicen que la metamatemática anda tras la intención de formalización de Hilbert, que buscaba compatibilidad con el constructivismo de principios de 1900, con lo cual, la construcción del lenguaje de primer orden y la metamatemática me obliga a adherirme a la intuición de Brower de "sistema de números naturales".
De eso nada. Si alguien quiere fundamentar la matemática con la lógica intuicionista, cada cual es libre de entretenerse como quiera, pero un matemático clásico fundamenta la matemática en la lógica intuitiva clásica y le dan igual las mojigaterías intuicionistas.
Yo no tengo motivos para creer en la intuición de Cantor, ni la de Brower, ni la de Hilbert, ni la Godel, ni la de Donald, ni la de Cristian.
Y tampoco hace falta.
Tú tienes la necesidad de decidir cómo quieres ser de mojigato: si eres absolutamente mojigato no te crees nada, te quedas en el escepticismo y no puedes construir un mísero sistema formal en el que deducir teoremas, si eres algo mojigato, pero no mucho, tienes posibilidades de conseguir algo con mucho esfuerzo. Si eres clásico, pues fundamentas la matemática formal sin traumas y ya está. Es tu decisión.
Lo que hace falta es definir con claridad qué reglas de juego se aceptan en la metamatemática.
Porque esas reglas determinan el poder de demostración y universo de discurso de la misma.
Eso es imposible. Entraré en ello en el post prometido.
No se puede "esquivar el bulto" de definir en serio los parámetros exactos de acción permitidos, o sea: las "reglas" de la metamatemática.
Ya te dije que las normas no pueden salir del aire. Sólo puede dictar leyes justas un legislador que sepa bien lo que es la justicia, sólo puede definir reglas lógicas de razonamiento quien sepa bien lo que es la lógica. Es lógicamente imposible que fijar unas reglas sea la solución al problema, porque todas reglas deben ser juzgadas. Sin reglas, lo que queda es el propio juicio. Hay que juzgar cada paso que se da en el momento que se da. No puedes juzgar primero, hacer reglas que marquen el camino y aplicarlas después para caminar. Para marcar un camino hay que recorrer el trecho sin apoyarse en marcas previas, juzgando a cada paso por dónde conviene ir.
Acorde al espíritu científico, es claro que lo que tenemos que modificar es la intuición.
Si no, seguiríamos creyendo que la Tierra es plana.
Es la ciencia la que probó que la Tierra es redonda, así como que no es el Sol el que gira en torno a la Tierra.
Eso es salirse por la tangente. Cristian C te hacía una pregunta muy concreta en un contexto muy concreto. Voy a tratar de apretarte las tuercas con la pregunta: Sea G la afirmación indecidible de Gödel para ZFC. Es equivalente a que ZFC es consistente, pero, si es así, no se puede demostrar ni refutar en ZFC. Eso se demuestra intuitivamente, pues estamos poniendo en cuestión la consistencia de ZFC, luego considerarla como un teorema de ZFC, cuya consistencia se está poniendo en cuestión, le quitaría toda relevancia. La intuición te dice, pues, que si añades a ZFC como axioma la negación de G, tendrás un sistema consistente (si es que ZFC lo era) a pesar de que dicho axioma es falso. ¿Dirás acaso: como se trata de un sistema consistente y no me hablo con la intuición, no tengo nada que objetar, así que no tengo inconveniente en aceptar el axioma, y si la intuición (= Gödel) me dice que es falso me da igual?
En cuanto a qué cosa es una demostración, bueno, sea lo que sea, no es algo intuitivo. Es algo mecánico, pues consiste en transformar unas secuencias de símbolos en otras, acorde a reglas especificadas con absoluto rigor.
La intuición no tiene ningún papel en ese asunto.
¿Y si te encuentras un libro cuyo autor se ha olvidado de incluir un par de axiomas lógicos y su cálculo deductivo no permite probar todos los teoremas que debería, lo aceptarás sin más porque es un cálculo deductivo o aceptarás un razonamiento intuitivo que muestre que es incompleto y que necesita ser mejorado? ¿Eres consciente de que se podrían definir infinitos cálculos deductivos de los cuales muchos serían contradictorios y otros muchos consistentes, pero sólo unos pocos equivalentes serían los que cualquiera aceptaría para trabajar? ¿Cómo seleccionas esos pocos sistemas privilegiados si no es comprobando que reflejan fielmente el razonamiento intuitivo?
Lo que dices es como afirmar que las leyes no son más que un conjunto de reglas, de modo que el sistema legal de la Alemania Nazi es un ejemplo de sistema legal, y el sistema legal estadounidense, es otro ejemplo, ninguno es mejor ni peor porque todos son sistemas coherentes que dejan bien claro y fuera de dudas qué es legal y qué es ilegal. Uno permite matar judíos porque sí, otro no, pero eso son "pequeñas diferencias intuitivas" irrelevantes, pues la justicia es por definición respetar la ley. Matar judíos en Alemania era justo porque era legal. Así razonas tú.
Es más, se pueden demostrar teoremas que a la intuición no le sugieran nada.
La intuición no se puede usar como "certificado" de verdad.
En lo que a mí respecta, la intuición tiene dos papeles en la matemática: (1) inspirar nuevas ideas que luego se formalizarán en conceptos rigurosamente definidos sin ambigüedad alguna, y (2) prestar un servicio pedagógico, a fin de acelerar la comprensión de las líneas generales de una demostración o concepto.
Pero el certificado de "verdadero" lo da la prueba formal.
Lo que no está formalizado, no sirve para nada, no es científico.
Tu primera frase es la verdadera en todo este párrafo. Ante la pregunta "¿Existen subconjuntos de
no medibles Lebesgue?, la intuición no tiene nada que decir. Si razonamos en ZFC, la respuesta es sí, pero si razonamos en ZF más el llamado axioma de determinación la respuesta es no, y la intuición no puede decir que ninguna de las dos respuestas sea "la verdadera". En cambio, si llamamos ZFC* a ZFC sin el axioma de infinitud y le añadimos como axiomas la fórmula indecidible de Gödel para esta teoría o, alternativamente, su negación, obtenemos dos teorías formales consistentes con dos teoremas mutuamente contradictorios, y la intuición sí que puede decir que la que contiene a la fórmula de Gödel tiene razón y la otra miente.
En suma, ZFC sirve para extender la capacidad de razonamiento a aquellos contextos que la intuición no puede abarcar, como si existen conjuntos no medibles Lebesgue, pero a la vez ZFC se ha diseñado para que coincida con la intuición en los contextos en los que ésta puede pronunciarse con el rigor y la precisión propios de la ciencia (por ejemplo, al tratar sobre números naturales, enteros, racionales, grupos finitos, etc.)
Y son sólo ideas, como estas cuestiones que discuto a modo "epistemológico".
El concepto de infinito se basa en intuiciones... pero como concepto, el infinito es sólo una secuencia de signos vacíos sin gracia alguna escritos por ahí.
La intuición de conjuntos es un claro ejemplo de que no se puede fiar uno de conceptos matemáticos dados "intuitivamente".
La intuición de conjuntos permite ver con claridad objetos como el conjunto de todos los conjuntos, o conjuntos que se pertenecen a sí mismos, o conjuntos que tienen elementos, a los que pertenecen otros elementos, que a su vez les pertenecen otros elementos, y así por siempre.
Absolutamente falso. El conjunto de todos los conjuntos no tiene ningún contenido intuitivo, y por eso es necesaria la teoría axiomática de conjuntos para tratar con la noción general de conjunto, pues excede completamente a la intuición, al igual que todo lo que planteas aquí.
Esta falta de criterio para decidir qué está permitido o no para un conjunto, junto a las paradojas, obligan a una formalización.
Es la ambigüedad que ofrece la intuición de conjunto lo que obliga a formalizar.
Totalmente de acuerdo. Eso vale para conjuntos en general, pero no para números naturales, o conjuntos concretos de números naturales, que tienen un significado intuitivo perfectamente definido y que permiten razonar sobre ellos con rigor en ausencia de toda formalización, gracias a lo cual podemos, entre otras cosas, construir sistemas formales que nos permitan hablar de conceptos no intuitivos, como el de los números reales, etc. (El concepto de recta es intuitivo, el conjunto de la totalidad de los puntos que forman una recta no lo es.)
Uno de los problemas que acarrea la intuición es que no se puede escribir con precisión, y depende del contexto lingüístico de los hablantes.
Para convencer a cualquier persona de cualquier cultura, época o creencia de que el argumento utilizado es correcto, no quedará más opción que especificar las reglas de inferencia utilizadas, establecer las convenciones de qué se acepta por números naturales, entre otros menjunjes, entre ellos, el alcance válido de las afirmaciones y métodos empleados.
Totalmente falso. Te podría poner muchos ejemplos de gentes de otras culturas y épocas (a muchos alumnos míos, sin ir más lejos) a los que nunca les harás comprender teoremas matemáticos por mucho que fijes reglas de inferencia etc. Tampoco yo les podría hacer entender teoremas intuitivos. La cuestión es que eso de "convencer a cualquiera" es un cuento chino. Mejor lo dejamos.
Claro, todo esto lo digo "intuitivamente".
Como se puede apreciar, estoy haciendo meta-meta-matemática, con gran uso del lenguaje coloquial, razonamientos elípticos difusos, entrecruzamientos entre intuiciones, imaginaciones y cálculos formales, hipérboles camufladas, entre otras artimañas, necesidades y costumbres.
Si estás insinuando que eso es para ti el razonamiento intuitivo, es inaceptable. Un razonamiento matemático intuitivo tiene que ser absolutamente riguroso, lo cual excluye metáforas, hipérboles, lenguaje coloquial (si lo entiendes como impreciso, pero no si lo entiendes como no formalizado), etc. A lo sumo, puede contener elipsis si son honestas, es decir, si realmente omiten algo que el oyente o lector ya sabe. Por ejemplo, si te digo que los números naturales son el 0, el 1, el 2, etc., ese etcétera es una elipsis que está justificada porque tú ya sabes contar, pero que puede sustituirse por lo que cualquier maestro de escuela explica a sus alumnos sin recurrir al etc. para que aprendan a prolongar indefinidamente la sucesión de los naturales. Incluso podríamos añadir que en realidad no importa cómo los representamos, sino que sólo importa que hay un primer natural al que llamamos cero (pero podríamos llamarlo zero o como quisiéramos) y que a cada número natural le sigue otro que tenemos que saber nombrar sea como sea, ya sea uno, one, 1, 0', o como queramos. Quien sabe general una sucesión así, está generando los números naturales. Si dos personas usan nombres o notaciones diferentes, están hablando en diferentes idiomas de los mismos objetos. Con eso están completamente definidos los números naturales intuitivos. ¿Dónde están las metáforas, las elipsis, el lenguaje coloquial...?
Pero bueno, tampoco es que pretendo hacer teoremas sobre el asunto, porque después de todo, se trata de opiniones epistemológicas. Uno puede ser vago y difuso en esa área.
Pero cuando estás haciendo una demostración concreta sobre símbolos del lenguaje, y diciendo cosas como: Teorema de Completitud, eso ya no es filosófico, no es vago, es un Teorema formal, calculado y demostrado con precisión, y usa un argumento formal disfrazado de "intuitivo" o "meta-razonamiento".
En realidad, si se define una teoría de lenguajes en ZFC (como de hecho se hace para aplicaciones informáticas), se pueden demostrar ahí los mismos teoremas famosos de la metamatemática.
O sea que son una copia uno de otro.
No veo la intuición por ningún lado.
Efectivamente, todo teorema intuitivo se puede formalizar, aunque no siempre de forma literal. Por ejemplo, puedo definir la suma de números naturales así:
El número m + n es el número que sale de contar hasta m y luego prolongar el cómputo n pasos más.
Esta definición no se puede transcribir literalmente a ZFC, pero te determina la suma completamente y puedes demostrar a partir de ella que tiene las propiedades que definen la suma en ZFC.
Otros razonamientos sí que se pueden transcribir literalmente, pero es tan absurdo decir que mi demostración de los paréntesis es un teorema de ZFC sólo porque puede transcribirse a un teorema de ZFC como decir que ahora mismo estoy escribiendo en inglés porque todo cuanto escribo se podría traducir al inglés. ¿No ves el español por ningún lado sólo porque lo que digo podría escribirse en inglés?
Si yo le explico matemáticas (por ejemplo, aritmética, pero no lógica) a Tarzán sin hablarle de ZFC y Tarzán luego le cuenta a Jane lo que ha aprendido, ¿qué sentido tiene decir que uno le está demostrando a la otra teoremas de ZFC cuando ninguno de los dos sabe lo que es ZFC? Si Jane es inteligente y Tarzán mete la pata en un momento e intenta demostrarle algo erróneo, se lo hará notar, y se lo hará notar gracias a su intuición, no le dirá que no ha respetado tal o cual regla de ZFC o que ha tomado por axioma de ZFC algo que no es, porque Jane no sabe lo que es eso. ¿Cómo te explicas que Jane pueda darse cuenta de que un razonamiento por inducción está mal, por ejemplo, porque el argumento de paso de n a n+1 puede fallar si n = 2? Jane puede notar eso a pesar de no saber nada de axiomas. ¿Cómo te lo explicas? Y si la objeción de Jane es correcta, seguiría siéndolo aunque alguien demostrara mañana que ZFC es contradictorio.
Así que mi respuesta a tu pregunta es: la 2, Donald disfrazó una prueba formal de "intuitiva", sólo para boxearme un poco.
El Teorema de Completitud de Godel... ¿puede seguir llamándose intuitivo?
El teorema de Completitud de Gödel puede formalizarse y convertirse en un teorema de ZFC, pero también puedes justificar que es cierto intuitivamente (salvo que seas intuicionista o escéptico, en cuyo caso no te lo creerás). Sólo al darte cuenta de que es cierto intuitivamente puedes estar seguro de que, sin restricción alguna, prueba que el cálculo deductivo es semánticamente completo, es decir, que no podría ser mejor de lo que es. Si lo consideras como teorema de ZFC a lo sumo podrías afirmar lo mismo bajo la hipótesis de que ZFC es consistente. Por lo tanto, considerarlo como teorema de ZFC lo hace más débil, menos fiable. (Esto no significa que no sea utilísimo como teorema en ZFC, igual que lo pueda ser el teorema del valor medio.)
En realidad necesitas más que la consistencia de ZFC para creerte el teorema de completitud. Necesitas que ZFC admita modelos estándar (cosa que no sé si está demostrada, bajo el supuesto de consistencia). En efecto, si unas fórmulas cumplen las hipótesis del teorema de completitud, la consecuencia es que cierta fórmula es deducible a partir de otras. Si sólo has demostrado esto en ZFC, tienes una prueba en ZFC de que existe una deducción de una fórmula a partir de otras, pero, si ZFC no admitiera modelos estándar, entonces no tienes garantías de que existiera una deducción estándar, luego no tienes garantías de que exista una deducción "de verdad", que pudiera escribirse en un papel. El teorema formalizado es mucho más débil que el teorema intuitivo. Y si consideramos una virtud en ciencia eliminar hipótesis innecesarias, su prueba en ZFC es menos científica que su prueba intuitiva.
En cuanto a lo que pregunta Donald de si confundo "intuitivo" con "simple", bueno, ciertamente que sí.
Si algo es demasiado complicado, ya no es intuitivo.
Cada paso puede ser intuitivamente creíble, pero eso le pasa también a cualquier demostración formal.
Confundes "intuitivo" con "intuitivamente evidente". Por otro lado, una demostración formal no tiene por qué tener nada de intuitivo. Ya me dirás qué tiene de intuitivo un teorema sobre un espacio de Banach de dimensión infinita. A lo sumo podrás hacer analogías parciales con la geometría bidimensional, o tridimensional, pero nada que legitime los pasos de la demostración.
Si la demostración es muy complicada y extensa, es parte de una teoría científica de algún tipo, y ya deja de llamarse "meta-teoría".
Meta-teoría es discutir con ideas difusas, imaginaciones, analogías, metáforas, como estamos haciendo en muchas partes de este thread.
Pero si se hace una demostración rigurosa y mecánica, ya no es una meta-afirmación, sino que hay reglas formales y axiomas lógicos que se están empleando como parte de un cálculo deductivo.
Esas reglas deben especificarse.
Pero hacer esto equivale a admitir que se está dando vueltas en círculos, porque se está definiendo lo mismo que se intenta definir después, y la cosa no empieza o no termina nunca.
Siempre llego a la misma conclusión.
Obviamente. Si partes de premisas contradictorias, llegas a una conclusión contradictoria. Si todo lo complejo es formal, y para definir un sistema formal hacen falta razonamientos complejos, tienes un círculo vicioso. Lo que pasa es que no todo lo complejo es formal, sino a lo sumo formalizable, pero no necesariamente formalizable, y mientras no quieras reconocer esto no entenderás nada y tendrás siempre tu contradicción a cuestas.
Aunque intuitivamente, claro está.
Quizás tenga que dejar de usar la intuición para razonar sobre estas cosas.
No razonas. Partes dogmáticamente de que la intuición es lo que tú dices que es y que el razonamiento formal es lo que tú dices que es, y te equivocas en ambas cosas. Disminuyes la intuición hasta convertirla en inútil, y magnificas el razonamiento formal hasta pretender que todo razonamiento riguroso es formal. Obviamente, como hay que ser riguroso para fundamentar el razonamiento formal, con tus definiciones aberrantes llegas a un círculo vicioso. El círculo se rompe en cuanto comprendes que la matemática se fundamenta razonando rigurosamente, científicamente, pero informalmente (intuitivamente), para construir una teoría axiomática que nos permita extender nuestra capacidad de razonamiento a campos a los que nuestra intuición no llega (el análisis real, la teoría abstracta de conjuntos, la teoría de cardinales, la topología general, etc.). Tienes la solución ante tus ojos. Si no la quieres ver, allá tú.
Te debo un post, pero ahora estoy cansado. Luego sigo.
