Hola, a todos.
Ha quedado claro que argentinator y yo discrepamos sobre la fundamentación de las matemáticas. El considera que la fundamentación actual es defectuosa y está pidiendo a gritos un replanteamiento y yo pienso que está muy bien como está y no podría ser mejor.
argentinator ya ha dejado claro cuál cree que es la naturaleza del error de los que pensamos así: falta de reflexión, ingeniuidad, incluso sugiere que "tratamos de disimular" que usamos tales o cuales propiedades, que "nos negamos a confesar" esto o lo otro. (No debería hacer falta aclarar que sería absurdo ver en estas afirmaciones descalificaciones personales o considerarlas ofensivas. Son, sin duda, análisis honestos y perfectamente válidos por su parte, con independencia de que, obviamente, no puedo compartirlos.) No está de más que, para empezar, exponga yo en qué consiste la naturaleza de su error.
Si alguien trata de razonar sobre algo y, pese a ello, llega a conclusiones erróneas (como pensamos que le sucede a argentinator a quienes no compartimos sus conclusiones), ello puede deberse en principio a tres causas:
1) Falta de dominio de la lógica.
Si alguien dice: Todos los hombres son mortales, pero, como yo soy mujer, puedo concluir que soy inmortal, no podremos tomarnos en serio sus opiniones.
No me cabe ninguna duda de que no es para nada el caso de argentinator, y que su discurso lógico es incuestionable.
Dando por hecho que alguien domina la lógica, aparece un problema crucial:
La lógica sin premisas es estéril
Para razonar, es necesario apoyarse en premisas que no procedan a su vez de otro razonamiento previo. Es obvio que lo contrario sería imposible.
Ante esta necesidad, es fácil caer en otras dos "desviaciones":
2) Dogmatismo. Consiste en tomar premisas alegre e irreflexivamente y sin fundamento alguno. En cierto modo, argentinator nos acusa de dogmáticos al aceptar como evidentes cosas que según él no están claras en absoluto.
Desde luego, no es que argentinator no sea dogmático, sino que es la antítesis del dogmatismo. Estoy seguro de que si le ponen un dogma a menos de 100 metros le sale un sarpullido (y eso es bueno y muy sano, me gusta bromear, no puedo evitarlo, pero no ha de confundirse bromear con burlarse de alguien).
Pero el problema de quienes están tan sensibilizados contra el dogmatismo como argentinator es que lo tienen fácil para caer en la tercera posibilidad:
3) Escepticismo.
@argentinator: tu postura es escéptica. No en el sentido positivo en que alguien puede decir orgulloso "soy escéptico sobre la existencia de ovnis", o cosas así, sino en el sentido destructivo de quien califica de dogma toda premisa que no proceda de un razonamiento. Esto es lo que Cristian C te está diciendo cuando le replica:
No puede darse nada por "sobreentendido"
¿Qué es "no"? ¿Qué es "puede"? ¿Qué es "darse"? ¿Qué es "nada"? ¿Qué es "por"? ¿Qué es "'sobreentendido'"?
Este es el problema. Esa pretención que enuncias, es impracticable, imposible.
Coincido totalmente con Cristian. Tienes las mismas razones para sostener la tesis que sostienes que para sostener que es insensato asegurar que mañana saldrá el Sol, o que existe alguien en el mundo que no seas tú, o que los recuerdos que tienes sobre lo que hiciste ayer son verdaderos y no un implante en tu memoria introducido por alienígenas.
Esto no es una burla. Quiero decir que tu argumento es: "no puedes convencerme de que lo que crees saber es realmente cierto (en tu caso, que conozcamos los números intuitivamente, etc.) porque todo en este mundo es dudoso".
Me ha parecido importante empezar por aquí porque te debería quedar claro que sólo tienes dos posibilidades: quedarte con tu insatisfacción y tus dudas hasta el fin de tus días o reconocer que eres escéptico y que el escepticismo es una patología del razonamiento y no una postura razonable.
Por supuesto, no pretendo que lo reconozcas así a priori. Si lo hicieras, significaría que careces por completo de criterio, y nadie puede esperar eso. Sólo digo que conviene que sepas desde el principio a dónde quiero llegar.
Fíjate que la refutación de tu escepticismo la das tú mismo. Has expuesto una perfecta demostración por reducción al absurdo:
Hipótesis: La lógica es lo que se define mediante los lenguajes formales y el cálculo deductivo, los números y demás conceptos matemáticos son lo que se define mediante ZFC.Conclusión: Como la fundación de las matemáticas necesita emplear el razonamiento lógico y hacer referencia a números y conjuntos, la fundamentación de las matemáticas incurre en un círculo vicioso y es inaceptable.Para ti no es un razonamiento completo porque estás dejando entreabierta una puerta falsa: no concluyes que sea imposible fundamentar la matemática, sino únicamente que quienes deberían hacerlo (o haberlo hecho) lo hacen mal, y dices que te gustaría tener tiempo suficiente para encontrar una alternativa que te resulte satisfactoria.
Eso es engañarte a ti mismo: si consideras que sólo estamos legitimados a razonar lógicamente cuando hemos definido un cálculo deductivo y al mismo tiempo reconoces que éste no puede elegirse arbitrariamente, sino que debe ser justificado y para ello es necesaria la lógica, es imposible que encuentres una solución a la fundamentación de las matemáticas que satisfaga tus pretensiones. Quizá el mejor momento para discutir esto no sea ahora, sino cuando hayas tenido ocasión de reflexionar y te hayas convencido de que para decir algo de provecho a la hora de fundamentar las matemáticas necesitas considerarte legitimado para hacer razonamientos sobre números naturales fórmulas, etc. como los que has censurado en tus últimos posts.
Cuando eso suceda, tal vez estés dispuesto a admitir la inexorabilidad de tus propios argumentos, que demuestran que, para fundamentar las matemáticas, no podemos partir de la hipótesis que acabo de destacar y que tú afirmas categóricamente, pues dicha hipótesis conduce necesariamente al fracaso.
Obviamente, yo afirmo lo contrario:
Es posible hablar con rigor y precisión de algunos conceptos matemáticos (sin restricciones sobre la sofisticación de los argumentos, sólo sobre la naturaleza de los conceptos empleados) entre ellos los números naturales o algunos conjuntos sin necesidad de apoyarse para nada en ninguna teoría axiomática.
En particular, discrepo cuando dices que
Y aunque se engañen a sí mismos diciendo que hablan de números "fuera de ZFC", están en realidad asumiento propiedades o sentidos o cosas que se han deducido ahí.
Es al revés: las propiedades elementales sobre los números naturales (incluyendo la existencia de mínimos) eran conocidas mucho antes de que nadie conociera ZFC, pero ZFC está diseñado para incluirlas en su seno, pero es ZFC quien "copia" los argumentos metamatemáticos que cuestionas, y no al revés.
Creo que está claro que el núcleo duro del debate consistirá en discutir si, efectivamente, es posible hacer metamatemática con rigor fuera de y con anterioridad a ZFC o no. Pero, dado que si entramos aquí es posible que no salgamos nunca, preferiría dejar eso para futuros posts y exponer antes algunas ideas sobre lo que tú originalmente preguntabas en este hilo:
¿Qué esquema mental de las matemáticas tenemos cada uno de nosotros?
Te propongo que aceptes temporalmente, como una hipótesis de trabajo, que es posible razonar metamatemáticamente sin apoyarse en un lenguaje formal (entiéndelo si quieres como el principio de una demostración por reducción al absurdo por tu parte) y veamos cómo puede entenderse entonces la matemática. En otras palabras, te invito a que venzas tu aversión y te dignes a echar un vistazo a lo que hay detrás de esa puerta que te obstinas en cerrar. Más tarde discutiremos si cruzar esa puerta es rendirse al dogmatismo (como tú crees) o simplemente huir del escepticismo (como yo creo).
Creo que es preferible así porque si me limito a replicarte a cada objeción que haces, lo único que conseguiríamos es un montón de árboles de argumentos que no permitirían, ni a ti ni a nadie, ver un bosque de concepción alternativa a la tuya.
Creo que si primero te formas una idea clara de cuál es la concepción que opongo a la tuya, podrás entender mejor el sentido de cada réplica que pueda hacerte cuando entremos a contrastar opiniones y nos ahorraremos mucho tiempo aclarando malentendidos. Piensa que yo ya he leído mucho sobre tu punto de vista en los mensajes antiguos de este hilo, sin replicarte (porque no estaba ahí para hacerlo) y creo que es justo que tú me dejes exponer el mío según yo considere mejor exponerlo, sin que tus objeciones dirijan mi exposición. Luego estaremos en condiciones de debatir equilibradamente.
Así pues, imagina que vas a leer una novela de vampiros o de fantasmas y, como buen lector, asume temporalmente el papel de alguien que cree en vampiros o fantasmas, en este caso en la existencia de lógica y matemáticas más allá de ZFC.
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Los matemáticos no sintieron la necesidad de regular explícitamente el razonamiento lógico y matemático hasta que Cantor (y Russell y otros) mostraron que la "noción general de conjunto" (entendiendo "conjunto" como colección de objetos, ni más ni menos) es contradictoria. Antes, Bolzano, Boole, De Morgan y otros habían estudiado las leyes de la lógica, pero por pura curiosidad intelectual, no como respuesta a una demanda de la comunidad matemática.
La reacción más "histérica" ante la alarma creada por la noticia "los conjuntos son contradictorios" es la desconfianza hacia todo conjunto, pero eso es como si después del 11S se hubiera encarcelado a todos los musulmanes residentes en EEUU. Me explico: lo que mostró Cantor es que "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictorio, y después se vio que otros "conjuntos" parecidos llevaban a contradicciones parecidas, como "el conjunto de todos los cardinales" o "el conjunto de todos los ordinales" y, en general, lo que Cantor llamó "multiplicidades inconsistentes".
Pero fue el propio Cantor el que descubrió que los "conjuntos" que resultaban paradójicos tenían todos características similares, características muy distintas de las de los conjuntos que habitualmente han venido manejando los matemáticos en sus razonamientos. Por ello, sería más adecuado decir que Cantor descubrió que "ciertos conceptos" son contradictorios, y que dichos conceptos corresponden "anecdóticamente" a conjuntos, pero a conjuntos muy específicos. No hay razón para que del hecho de que "el conjunto de todos los conjuntos" sea contradictorio nos lleve a temer que "el conjunto A de los números 0, 1, 2, 3, 4" sea contradictorio.
Pongamos que un algebrista demuestra (sin saber nada de axiomas ni de teorías lógicas) que todas las estructuras de grupo que pueden definirse sobre el conjunto A son isomorfas entre sí. ¿Hay realmente razones para temer, a raíz de los descubrimientos de Cantor, que el inofensivo conjunto A y los razonamientos que el algebrista puede hacer sobre él puedan ser ambiguos o contradictorios? Eso es como deducir del 11S que "todos los musulmanes son peligrosos", en lugar de que "todos los musulmanes extremistas radicales son peligrosos".
Lo que nos enseña Cantor es que no tenemos una noción intuitiva de "conjunto en general", siempre entendiendo "conjunto" como "colección de elementos", pero esto no contradice en absoluto que tengamos un conocimiento intuitivo totalmente inequívoco de "algunos conjuntos en particular", como el conjunto A de antes. Y la reacción racional ante la alarma cantoriana no es decir, "ya no me creo nada", sino preguntarnos: ¿hasta dónde podemos confiar en nuestro conocimiento intuitivo de las matemáticas?
Por poner un ejemplo: la actitud de argentinator es como la de alguien que, al enterarse de que los experimentos confirmaban que la física Newtoniana es falsa, dijera, "pues ya no me creo nada. A lo mejor la fuerza de la gravedad es repulsiva y yo me he creído hasta ahora que era atractiva". Eso no puede ser. Si los principios de la física tenían que ser cambiados, era obvio que eso cambiaría la teoría más o menos radicalmente, podría modificar la ley de la gravitación, pero cualquier nueva teoría de la gravitación que sustituyera a la de Newton, para ser aceptable, debía coincidir con ella en que los cuerpos caen hacia abajo y no hacia arriba. En particular, un algebrista no necesita saber nada sobre lógica y axiomas para que si alguien le viene y le dice "tengo una teoría axiomática en la que puedo demostrar que hay dos grupos no isomorfos con cinco elementos" pueda contestarle con toda tranquilidad y sin temor de estar despreciando la sabiduría suprema: "tu teoría axiomática es papel de papelera".
En definitiva: la actitud razonable ante la "crisis conjuntista" es plantearse seriamente dos preguntas:
1) ¿Cuánta matemática intuitiva necesitamos salvar y justificar para fundamentar satisfactoriamente la matemática general?
2) ¿Cuánta matemática intuitiva podemos realmente salvar y justificar?
Si las respuesta a 1) es más exigente que una respuesta honesta a 2), tenemos un problema serio, pero si la respuesta a 2) coincide o excede a la respuesta a 1), estamos salvados.
Como nunca encontraremos seguro una solución para la fundamentación de la matemática es dejándonos llevar por el pánico y, ante la alarma cantoriana, responder sin más reflexión "demasiada" a la pregunta 1 y "nada" a la pregunta 2.
Responder a 2) es lo que he dicho antes que será mejor dejar para más adelante (y para ello le he pedido a argentinator que acepte provisionalmente que hable de conjuntos como el conjunto A y otros más sofisticados sin ponerme pegas, aunque vea lo que digo como quien lee una novela de vampiros y sabe que los vampiros no existen. En este post hablaré únicamente de 1), y para ello trataré de describir en qué consiste a mi juicio "fundamentar satisfactoriamente la matemática general".
Podemos distinguir dos fases: fundamentar la lógica y fundamentar la teoría de conjuntos.
Imaginemos un profesor de álgebra que examina a unos alumnos proponiéndoles unos problemas y se dispone a corregir los resultados. Puede ocurrir que un alumno le presente una solución brillante y original a un problema que a él nunca se le había ocurrido. En tal caso, el profesor la reconocerá como correcta y se la valorará positivamente, pero también puede ocurrir que se encuentre con otra solución original por lo descabellado del argumento, y que la rechace como incorrecta. ¿Cómo hace el profesor para distinguir un caso del otro, si en ambos casos son razonamientos nuevos para él? Puede ocurrir perfectamente que el profesor sea un algebrista famoso, autor de artículos de prestigio, y que jamás haya estudiado lógica formal, que no sepa más que vagamente, de oídas, qué es un axioma lógico o una regla de inferencia. A pesar de ello, resulta estar capacitado como todo matemático profesional para distinguir una demostración correcta de una incorrecta, y no puede decirse que lo hace apoyándose en un cálculo deductivo que desconoce por completo. De hecho, si pone una objeción a una demostración no será del tipo "esto no vale porque has aplicado incorrectamente la regla de negación del particularizador en el subsecuente", o algo parecido. Su argumento será: "esto está mal, porque tú tienes A y afirmas B como consecuencia, pero nada te garantiza que el hecho de que A sea cierto obligue a que B también lo sea."
En general, la gran mayoría de matemáticos competentes que no saben nada de lógica formal (y también la gran mayoría de los que sí la conocen) no juzgan un razonamiento según si sigue o no las reglas de inferencia de un sistema deductivo, sino que su criterio es que un razonamiento es correcto si al suponer verdaderas sus premisas no deja lugar a la menor duda de que su conclusión también tiene que ser verdadera.
Alguien preguntará: ¿verdadera en qué interpretación? y la respuesta es: en una arbitraria. Por ejemplo, un matemático reconocerá como correcto el razonamiento que dice que, sabiendo que todo grupo de orden primo es abeliano y que 5 es un número primo, entonces todo grupo de orden 5 es abeliano, pero no dirá que esto es correcto por la regla de eliminación del generalizador seguida de modus ponens, sino simplemente porque es evidente que así es, evidente a partir del significado lógico de las premisas y la conclusión, pero sin que importe para nada qué es un grupo o qué es un número primo. Sea lo que sea un grupo, sea lo que sea el orden de un grupo, sea lo que sea un grupo abeliano y sea lo que sea un primo, si es verdad que todo grupo de orden primo es abeliano y es verdad que 5 es primo, es imposible que un grupo de orden 5 no sea primo. En esta convicción descansa su aprobación al argumento.
Formalizar la lógica significa coger esta lógica que conocen todos los matemáticos de hoy en día y todos los matemáticos que han existido en la historia y enlatarla en unos axiomas y unas reglas de inferencia. Más precisamente: fijamos un lenguaje formal con unos signos lógicos (
etc.)
a los cuales atribuimos un significado preciso: 
significa "y",
significa "para todo objeto del universo (en principio indeterminado) del que hablamos", etc., y luego establecemos unos axiomas lógicos y unas reglas de inferencia que pueden aplicarse mecánicamente sin tener en cuenta para nada ese significado que hemos atribuido a los signos lógicos.
Pero la clave del asunto es que los axiomas y las reglas de inferencia no se fijan arbitrariamente, sino que exigimos que sean
correctos: los axiomas deben ser tales que todo matemático los considere verdaderos en cualquier contexto. Por ejemplo, si decidimos tomar como axioma
, para todo par de fórmulas
y
, cualquier matemático aceptará que lo hagamos, y la razón para ello es que, teniendo en cuenta que
significa "y", y que
significa "si... entonces...", podemos estar seguros de que si
y
son ambas verdaderas, entonces
es verdadera.
Si, en cambio, pretendiéramos colarle como axioma que
, el matemático nos podría hacer varias sugerencias sobre qué podemos hacer con nuestro sistema deductivo, tal vez mirando de reojo a su papelera. Este es el punto crucial:
Es insostenible que el cálculo deductivo formal defina el razonamiento lógico, como pretende argentinator, y que sólo después de haberlo definido podemos razonar lógicamente con seguridad. Por el contrario, la lógica es anterior a todo cálculo deductivo y, más aún, debe juzgar a todo presunto cálculo deductivo para darle su aprobación si es que es correcto. La corrección consiste en que los axiomas sean lógicamente válidos en el sentido explicado y en que las reglas de inferencia sean correctas en el sentido de que si parten de premisas verdaderas, produzcan necesariamente conclusiones verdaderas (respecto a una interpretación arbitraria de los signos no lógicos). Nadie necesita un cálculo deductivo para distinguir un razonamiento correcto de uno incorrecto, y, por el contrario, un sistema deductivo necesita que se compruebe que sus axiomas y reglas de inferencia dan lugar a razonamientos correctos.
A partir de aquí, una simple inducción de esas que argentinator denuncia como fraudulentas, demuestra el teorema de corrección: es evidente que si tenemos unos axiomas que son siempre verdaderos y unas reglas de inferencia que sólo producen fórmulas verdaderas cuando se aplican fórmulas verdaderas, igualmente será cierto que al aplicar un número finito de veces dichas reglas a unos axiomas y a unas premisas verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera.
En otras palabras, en contra de lo que dice argentinator, yo digo que una deducción formal, en el sentido de una sucesión de fórmulas encadenadas por reglas de inferencia, no es un "razonamiento de verdad", sino un "razonamiento de cartón piedra". Podemos programar a un ordenador para que aplique aleatoria, pero correctamente, las reglas del cálculo deductivo a unas premisas dadas y así obtendrá una deducción formal sin haber tenido en cuenta para nada el significado posible de las fórmulas que involucre, pero ese "razonamiento de cartón piedra" se convertirá en un "razonamiento de verdad" en cuanto un matemático lo lea y lo traduzca a un auténtico argumento en virtud del cual si las premisas dadas son verdaderas, es imposible concebir que la conclusión pueda ser falsa.
Pero ahora viene lo más maravilloso y espectacular de todo: Gödel-Henkin demostraron el teorema de completitud semántica. Si alguien conoce ese teorema y no se queda maravillado, es que no lo entiende realmente.
Pensad en la diversidad de razonamientos matemáticos que existen: un matemático familiarizado con el razonamiento en álgebra puede sentirse desorientado si tiene que razonar en un contexto de análisis, o viceversa, las técnicas son de lo más variopinto, uno puede encontrar lineas argumentales que nunca había imaginado antes, etc. Podría pensarse que tratar de recoger todas las posibilidades de razonamiento matemático es tarea imposible, como clasificar toda la flora y fauna de la Tierra y que, aunque se escribiera una enciclopedia con todas las técnicas de demostración aplicadas hasta la fecha, siempre quedaría abierta la posibilidad de añadirle nuevos tomos... pero no. Resulta que Gödel demostró que si un matemático es capaz de razonar que si unas premisas son verdaderas, entonces otra afirmación es necesariamente verdadera, independientemente de qué clase de argumentos haya empleado para ello, por novedosos y originales que sean, aunque no haya tenido en cuenta para nada la lógica formal, con tal de que las premisas y la conclusión puedan expresarse en un lenguaje de primer orden, tenemos la garantía de que la conclusión podrá demostrarse "ciegamente" a partir de las premisas mediante nuestro humilde cálculo deductivo (a poco que nos hayamos preocupado de no dejarlo cojo y le falte algún axioma)
El único requisito es semántico: la inexorabilidad del argumento, la hipótesis es que sea impensable que las premisas sean verdaderas y la conclusión pueda ser falsa.
Si alguien quiere encerrarse en una concha de escepticismo y no apreciar este resultado, o incluso censurarlo por falaz, es su opción, pero yo le digo (te digo, argentinator): te estas perdiendo una joya, un hito del razonamiento humano, una joya que pierde todo su brillo si la concibes como un "razonamiento de cartón piedra", como un mero teorema de ZFC, una ristra de ristras de signos sin sentido.
El teorema de completitud semántica es un portento sólo si lo concibes como un teorema metamatemático que habla de unos objetos muy concretos: los signos, las fórmulas, las demostraciones, y lo que dice de ellos es algo con pleno e impactante sentido: esas míseras reglas y axiomas recogen toda, absolutamente toda, la capacidad de razonamiento matemático, ahí es nada.
Todo lo que un matemático puede razonar cuando razona como suele hacerlo, sin pensar en axiomas ni reglas de inferencia, puede codificarse mediante el cálculo deductivo, en forma de deducción formal. Esa es la gloria de la lógica de primer orden.
Y esto sólo lo puede entender y admirar quien comprenda que la lógica es anterior al cálculo deductivo, y que éste está construido para capturar (y nunca para definir) la noción previa de razonamiento lógico-matemático (quiero decir la parte lógica del razonamiento matemático, sin entrar todavía en axiomas específicos de la teoría de conjuntos) con el fin de poder teorizar sobre ella (por ejemplo, a la hora de demostrar que no se puede demostrar la hipótesis del continuo, y cosas similares).
Bueno. Esto ya es muy largo. En el próximo post explicaré cómo entiendo la fundamentación de la teoría de conjuntos propiamente dicha y, a partir de ahí, podemos hacer tres cosas: debatir el "hueso", que es la fundamentación del razonamiento metamatemático, debatir lo dicho hasta aquí por unos y por otros, o mandarme a hacer gárgaras por plomo.
