Hola, argentinator.
Hay mucha tela que cortar y no es fácil decidir por dónde empezar. Ante todo, creo que no está de más un "disclaimer":
Soy consciente de que todo cuanto voy a defender aquí es una postura concreta frente a la cual hay muchas alternativas, todas ellas respetables. Pero me da mucha pereza intercalar en todas mis frases un "creo que" o "en mi opinión", "yo diría que", etc. Es más fácil dejar claro desde el principio que cuando diga "eso es así" no hay que entender "esto es así y el que opine lo contrario se equivoca", sino "yo creo que eso es así".
Para centrar el debate, creo que lo mejor será que copie algunas frases tuyas y las comente, no con ánimo de argumentar, sino simplemente de poner sobre la mesa nuestras posturas y nuestras diferecias. Mi propósito aquí es borrar la ventaja con la que cuento al haber leído el hilo y saber cómo piensas tú mientras que tú no sabes cómo pienso yo. En cuanto tú sepas dónde me sitúo yo estaremos en condiciones de hablar sin dar palos de ciego.
Copio de tu post más antiguo en este hilo, así que si hay algo sobre lo que tu pensamiento haya evolucionado y no quieras mantener ahora, sólo tienes que indicármelo.
Una de las obsesiones que me están haciendo perder la razón es hallar el correcto fundamento de la matemática.
Se supone que la matemática es la más exacta de las ciencias, y en tal caso sus fundamentos deben ser aún más exactos, claros, definidos y precisos.
[...]
La construcción mental que tengo de la misma es más o menos como sigue:
* Existen varios temas complejos e interesantes en "la" matemática, que la gente usualmente prefiere clasificar en "ramas" de la matemática. Esas "ramas" se construyen conceptualmente como "teorías axiomáticas".
[...]
Así, tenemos las ramas típicas: Cálculo, Álgebra Lineal, Álgebra (general), Geometría euclidiana, Análisis matemático, Teoría de Medida, Topología, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Grafos, Análisis Numérico, Optimización, y un larguísimo etcétera.
¿Todas estas teorías son especulaciones en el aire, o tienen una base sólida?
Si yo quiero darle una base a cualquiera de estas teorías, recurro a la teoría de conjuntos. Veamos:
* Todas esas teorías pueden fundamentarse a partir de la Teoría de Conjuntos estándar, y para ello basta cualquiera de las "clásicas": Teoría de Zermelo-Fraenkel, Teoría de Newman-Godel-Bernays, Teoría de Morse Y Kelley.
Así que la cuestión de la validez de las teorías o ramas de la matemática puede reducirse a la validez de la teoría de conjuntos.
Ahora bien, la teoría de conjuntos ¿se construye en el aire o tiene alguna base?
* La validez de la teoría de conjuntos se inscribe en la lógica. Existen operaciones lógicas básicas que tienen su contraparte operativa en la teoría de conjuntos... pero lo importante es que si uno confía en la lógica, puede basar la teoría de conjuntos en ella, y luego toda la matemática se sostiene en estos pilares.
Hasta aquí, totalmente de acuerdo.
Sin embargo, la lógica podría haberse inventado de una manera caprichosa o difusa.
Si nos adscribimos a la forma discursiva de la lógica de aristóteles, quizá nos formemos la idea de que los razonamientos descansan en el discurso, y en algunas operaciones lógicas básicas.
En realidad no se trabaja así, sino que primero se construye un lenguaje para la matemática, formado por un "alfabeto", o sea, una lista de símbolos que se consideran válidos, y sólo esos.
Esos símbolos se combinan entre sí mediante reglas bien definidas, que determinan qué combinaciones forman una frase "con sentido" para la lógica, y cuáles no.
Luego, con esos símbolos y construcciones se da una lista de postulados iniciales que serán los axiomas de la teoría de conjuntos.
O sea que la teoría de conjuntos se define con un lenguaje (que pretende ser) preciso.
Las afirmaciones de ese lenguaje podrán ser verdaderas o falsas, y podrán demostrarse o no.
Hasta aquí de acuerdo, salvo un mínimo matiz: nadie pretende asegurar que exista un criterio, no ya para dedicir, sino siquiera para atribuir un valor de verdad concreto a las afirmaciones del lenguaje de la teoría de conjuntos. Si es consistente tendrá sus modelos, pero una misma afirmación podrá ser verdadera en unos y falsa en otros, sin que se pueda decir que un modelo es más "digno de crédito" que otros. Por ejemplo, no creo que pueda decirse si "de verdad, de verdad de la buena", la hipótesis del continuo es verdadera o falsa (otros opinan lo contrario, pero en cualquier caso la fundamentación de las matemáticas no depende para nada que tengan razón los unos o los otros sobre este punto.)
* Así que toda la matemática descansa en la lógica ahora.
¿Y la lógica, sobre qué bases descansa?
Resulta que la lógica se inscribe en un marco que se llama actualmente "metamatemática".
Allí se define lo que es un lenguaje de primer orden: una lista de símbolos (finita) y unas reglas de formación de expresiones (finitariamente recursivas).
Ese lenguaje es de carácter sintáctico, o sea, vacío de significado, son sólo reglas de formación de expresiones. Cuando uno las usa para expresar teoremas matemáticos, está jugando con la intuición, pero las demostraciones son un puro cálculo.
No puede uno hablar de cosas que están más allá de lo que uno puede demostrar.
Se puede especular o conjeturar, pero no se puede afirmar nada categóricamente.
Y el carácter de la lógica es esencialmente "vacío de significado".
O sea, es "formal".
Así es como me tomo toda demostración o todo cálculo.
Sí, pero hay un hecho crucial que pareces pasar por alto, pues con lo minucioso que estás siendo en tu análisis, si no lo pasaras por alto lo mencionarías:
El lenguaje formal que construye la metamatemática para la teoría de conjuntos es formal en el sentido que explicas perfectamente, pero
el lenguaje de la metamatemática no es en absoluto un lenguaje formal, sino que
la metamatemática basa sus afirmaciones en el significado concreto y preciso de los conceptos que utiliza, justo lo contrario a lo que sucede con el lenguaje de la teoría de conjuntos, donde evita en todo momento apoyarse en el posible significado de los signos que manipula.
Quiero decir que los conceptos de "signo", "cadena de signos", "axioma", "demostración", "variable libre", etc. no son conceptos formales regulados por axiomas que no tienen en cuenta su posible significado, sino que cuando decimos, por ejemplo, que, si una fórmula tiene la estructura
, entonces las subfórmulas
y
tienen menor longitud (menor número de signos) que la fórmula
, esta afirmación no puede entenderse en absoluto como un teorema deducido formalmente de unos axiomas sino que hay que entenderla igual que como entendemos que si entre mis alumnos hay hombre y mujeres, el número total de mis alumnos varones ha de ser estrictamente menor que el número total de mis alumnos. Esto lo comprende cualquiera con pleno conocimiento de causa sin necesidad de recurrir a ningún axioma.
Sólo una cadena ordenada de símbolos sin significado, pero a los cuales uno puede adornar con bellas intuiciones del infinito, de la geometría, de la física (espacio y tiempo), etc., etc.
* En particular, los números mismos los adscribo a la teoría de conjuntos y la lógica.
Si con esto quieres decir que para ti los números naturales son, por definición, los objetos construidos en la teoría de conjuntos a los que se les da tal nombre, ahí discrepamos totalmente. Ese punto de vista es autodestructivo. Tiene perfecto sentido decir que los axiomas de ZFC son siete (extensionalidad, vacío, par, unión, infinitud, regularidad y elección) más el esquema de reemplazo (que comprende infinitos casos particulares), y ahí he usado los conceptos de "siete" e "infinito" desde "fuera" de ZFC y, por consiguiente, no en el sentido formal definible en ZFC sino en el mismo sentido "material" en que puedo decir que los dedos de mi mano son cinco y que el número de poesías que pueden formarse en castellano es infinito. Nada de eso depende de ZFC para tener perfecto sentido.
Me salto todas tus (precisas) referencias a Hilbert, Russell, intuicionistas, etc. Todo eso me da igual. Mi opinión personal es que dar vueltas a lo que pensaban personas inteligentes en un momento de confusión intelectual desorienta más que otra cosa.
Lo que nunca me quedó claro es: cómo es que alguien puede justificar las aseveraciones en el mundo de los lenguajes de primer orden.
1 * No se puede hablar de una teoría matemática o de los números mismos, sin antes haberlos dado mediante axiomas basados en la teoría de conjuntos.
Falso. Los axiomas de Peano eran cinco, cosa que puede constatar cualquiera a quien se le presenten antes de deducir nada a partir de ellos.
2 * No se puede hablar de conjuntos y cardinales sin antes haberlos establecido en una teoría lógica.
Falso. El conjunto de los axiomas de ZFC es un conjunto de cardinal infinito perfectamente definido antes de demostrar ningún teorema de ZFC.
3 * No se puede razonar lógicamente sin antes haber definido la lógica y sus reglas en el lenguaje de primer orden. (O en cualquier otro lenguaje).
Rotundamente falso. Para admitir un teorema como válido, tienes que razonar que realmente se somete a la lógica y a sus reglas del lenguaje de primer orden (es decir, que no has metido la pata en la demostración) y ese razonamiento no puedes hacerlo formalizado en la lógica de primer orden, pues para admitirlo como válido tendrías que razonar que realmente se somete a la lógica y a sus reglas del lenguaje de primer orden y... ¿has leído "Lo que la tortuga le contestó a Aquiles"?
Si se viola esa cadena de prohibiciones, me vuelvo loco.
Por una parte, considero que es un vicio de "circularidad".
La circularidad sin alguna consideración especial, no puede dejarse a su libre albedrío: es fuente de paradojas, y es un pecado mortal para cualquier matemático o lógico.
No creo que haya circularidad alguna. Una situación muy sutil, sí, pero circularidad no. Ya hablaremos sobre esto.
Otra objeción proviene del modo en que entiendo a los "conjuntos" de la teoría de conjuntos.
Para mí, no existen como colecciones de ninguna cosa, son sólo "letritas en una expresión lógica vacía".
Si voy a usar la palabra "conjunto" en contexto metamatemático, tengo que ser específico en eso, ya que estoy haciendo una "interpretación" o "modelo" de la teoría de conjuntos.
Pero a la larga, esto implica que estoy tomando a la lógica como modelo de sí misma, o a la teoría de conjuntos como modelo de sí misma.
Eso es una circularidad viciosa, y además conlleva la deshonestidad de que un sistema bien puede justificarse a sí mismo, pero eso no es garantía de que sea válido.
Creo que este párrafo y el anterior definen el núcleo del problema y en mi próximo post (salvo que me propongas otra cosa) trataré de centrarme en darte una réplica fundamentada a ambos.
Es como si yo me invento un sistema judicial, luego se me acusa de haber cometido una fechoría, y uso a mi propio código penal para juzgarme a mí mismo: "Me considero Inocente y libre de culpa".
Al demostrar teoremas acerca del lenguaje de primer orden en sí mismo, la gente alegremente hace operaciones aritméticas, o habla de conjuntos, o de cardinales...
Yo no logro aceptar ese tipo de cosas porque, como se ve en el esquema de ahí arriba, ninguna de esas cosas tienen sentido cuando uno está en la etapa de un lenguaje de primer orden.
No se puede hablar de conjuntos, porque aún no están definidos. Tampoco se puede usar la lógica, porque la lógica misma no se ha definido.
Si se habla de "conjuntos", entonces serán de "otro tipo" que los de "la" teoría de conjuntos que puse en el esquema de flechas arriba.
Y si se usa una "lógica" para razonar, será otra distinta a aquella que aún no se ha definido ni construido ni nada.
Por ahí van los tiros. Ya lo discutiremos con detalle, pero es obvio que los conjuntos de la metamatemática son de otro tipo que los de la teoría de conjuntos, pues, como tú muy bien dices, los conjuntos de la teoría de conjuntos no son "nada" (o, si son algo, son algo polémico y la gracia de la lógica formal es no tener que meterse en esa polémica y poder trabajar como si no fueran nada). Por el contrario, lo conjuntos de la metamatemática son indudablemente algo, son conjuntos, colecciones de elementos de verdad, no letras y afirmaciones y es esencial tratarlos como algo, es decir, razonar sobre ellos, no formalmente, manipulando afirmaciones sobre ellos sintácticamente, sino semánticamente, justificando cada afirmación considerando de forma esencial su significado concreto, unívoco y completamente riguroso.
Para mí, el mundo metamatemático es lo mismo que a un pez que lo sacan del agua.
Mientras estoy en el mundo de la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos, me siento como un pez en el agua.
Pero cuando me sacan "afuera" de ese mar, ya no puedo respirar.
Eso es pura sugestión.
Es como quien tiene miedo a nadar por si se ahoga, con un poco de decisión puede liberarse de sus traumas.
Y tengo la impresión de que se hacen operaciones ilegítimas o no bien fundamentadas.
Me parece extraño que los otros peces puedan respirar afuera del "agua".
Claro, que esto es sólo mi esquema mental, y quizá le estoy pifiando en tonterías.
Pues eso creo yo, que el problema está en que tu esquema mental no es afortunado. (Recuerda el "disclaimer"). Trataré de proponerte otro, a ver si te convence.
Doy por sentado que los aburrí con todo esto.
Esto último es el error más grave que he leído en todo tu post.
Lo dicho: mi intención no ha sido tratar de convencerte de nada. Sólo quería que supieras en qué puntos discrepamos, a modo de primera aproximación al problema. Salvo que me lleves a contestarte a otras cosas que me digas, en mi próximo post trataré de entrar en el asunto y argumentar mi punto de vista.
Un saludo.
P.D.: Si te aburro no estás obligado a aguantar mis rollos.
