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Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?  (Leído 126602 veces)
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argentinator
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« : 31/07/2010, 08:10:46 pm »

Una de las obsesiones que me están haciendo perder la razón es hallar el correcto fundamento de la matemática.
Se supone que la matemática es la más exacta de las ciencias, y en tal caso sus fundamentos deben ser aún más exactos, claros, definidos y precisos.

Aún no tengo claro cómo funcionan las cosas en el terreno de fundamentos, y eso me produce un malhumor que no puedo disimular.

Aunque estoy investigando arduamente el tema, hay mucho que analizar antes de llegar al menos a una solución que me deje tranquilo.

No obstante, la intención del presente thread es menos ambiciosa, y más amigable.
Tan sólo planeo que cada uno se sincere o medite acerca de la visión general que tiene de la matemática.

Y para comenzar, doy mi propia visión.



A veces se habla de "matemáticas" y a veces de "matemática".
Como yo lo veo, sólo hay una sola ciencia matemática, así que prefiero usar el sustantivo singular.

La construcción mental que tengo de la misma es más o menos como sigue:

* Existen varios temas complejos e interesantes en "la" matemática, que la gente usualmente prefiere clasificar en "ramas" de la matemática. Esas "ramas" se construyen conceptualmente como "teorías axiomáticas". En esos axiomas se usan conjuntos e inferencias lógicas, y también puede que se acuda a otras teorías preexistentes. Por ejemplo, se suelen usar sin aviso los números naturales o reales sin mucho preámbulo, como si estuvieran enquistados naturalmente en la lógica misma.

Así, tenemos las ramas típicas: Cálculo, Álgebra Lineal, Álgebra (general), Geometría euclidiana, Análisis matemático, Teoría de Medida, Topología, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Grafos, Análisis Numérico, Optimización, y un larguísimo etcétera.

¿Todas estas teorías son especulaciones en el aire, o tienen una base sólida?

Si yo quiero darle una base a cualquiera de estas teorías, recurro a la teoría de conjuntos. Veamos:

* Todas esas teorías pueden fundamentarse a partir de la Teoría de Conjuntos estándar, y para ello basta cualquiera de las "clásicas": Teoría de Zermelo-Fraenkel, Teoría de Newman-Godel-Bernays, Teoría de Morse Y Kelley.

Así que la cuestión de la validez de las teorías o ramas de la matemática puede reducirse a la validez de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, la teoría de conjuntos ¿se construye en el aire o tiene alguna base?

* La validez de la teoría de conjuntos se inscribe en la lógica. Existen operaciones lógicas básicas que tienen su contraparte operativa en la teoría de conjuntos... pero lo importante es que si uno confía en la lógica, puede basar la teoría de conjuntos en ella, y luego toda la matemática se sostiene en estos pilares.

Sin embargo, la lógica podría haberse inventado de una manera caprichosa o difusa.
Si nos adscribimos a la forma discursiva de la lógica de aristóteles, quizá nos formemoes la idea de que los razonamientos descansan en el discurso, y en algunas operaciones lógicas básicas.

En realidad no se trabaja así, sino que primero se construye un lenguaje para la matemática, formado por un "alfabeto", o sea, una lista de símbolos que se consideran válidos, y sólo esos.
Esos símbolos se combinan entre sí mediante reglas bien definidas, que determinan qué combinaciones forman una frase "con sentido" para la lógica, y cuáles no.
Luego, con esos símbolos y construcciones se da una lista de postulados iniciales que serán los axiomas de la teoría de conjuntos.

O sea que la teoría de conjuntos se define con un lenguaje (que pretende ser) preciso.
Las afirmaciones de ese lenguaje podrán ser verdaderas o falsas, y podrán demostrarse o no.

* Así que toda la matemática descansa en la lógica ahora.
¿Y la lógica, sobre qué bases descansa?
Resulta que la lógica se inscribe en un marco que se llama actualmente "metamatemática".
Allí se define lo que es un lenguaje de primer orden: una lista de símbolos (finita) y unas reglas de formación de expresiones (finitariamente recursivas).

Ese lenguaje es de carácter sintáctico, o sea, vacío de significado, son sólo reglas de formación de expresiones. Cuando uno las usa para expresar teoremas matemáticos, está jugando con la intuición, pero las demostraciones son un puro cálculo.
No puede uno hablar de cosas que están más allá de lo que uno puede demostrar.

Se puede especular o conjeturar, pero no se puede afirmar nada categóricamente.
Y el carácter de la lógica es esencialmente "vacío de significado".
O sea, es "formal".
Así es como me tomo toda demostración o todo cálculo.
Sólo una cadena ordenada de símbolos sin significado, pero a los cuales uno puede adornar con bellas intuiciones del infinito, de la geometría, de la física (espacio y tiempo), etc., etc.

* En particular, los números mismos los adscribo a la teoría de conjuntos y la lógica.


Así que, para resumir, el esquema mental que tengo de la matemática es el siguiente:

[texx]\xymatrix{& \textsf{Teorías matemáticas} & \textsf{Teoría de conjuntos}\ar[l]\ar[dl] & \textsf{Lógica de Primer Orden}\ar[l] \\ & \textsf {Teoría de números naturales y/o reales}\\}[/texx]



O sea que básicamente trabajo según el programa formalista de Hilbert.
Russell también adscribió toda la matemática a la lógica, y me cuesta entender las diferencias filosóficas de fondo entre Hilbert y Russell.

Para mí, ambos autores dan lugar al mismo sistema.
No me doy cuenta si estoy enmarcado en uno u otro.

Todo esto da cuenta de una "cadena" constructiva de la matemática, desde unos pilares mínimos, y de ahí en adelante.

Ahora bien. Los intuicionistas como Kronecker, Poincaré y Brower no "creían" en el logicismo ni en los axiomas.
Ellos decían que el formalismo podía ser a lo sumo una manera de expresar con buena precisión los "resultados" del trabajo matemático "real". El trabajo matemático se hace, según ellos, con meras intuiciones de la mente.
Y no son cualesquiera intuiciones, sino un par de "actos" específicos: (1) la concepción del "dos", o sea, la capacidad de la mente de distinguir o crear dos entidades (intuitivas) distintas entre sí, y (2) la capacidad mental de "repetición" de un proceso.

Esa manera "mental" de trabajar no es para nada formalista, y obliga a la matemática a conformarse a vivir con arduas restricciones.
La falta de popularidad del intuicionismo es causa de la enorme cantidad de resultados matemáticos importantes que habría que echar a la basura.

Al parecer, las mentes "formales", como las de Russell o Hilbert, admiten la existencia de objetos matemáticos, con tal de probar que el sistema axiomático que define esos objetos no tiene contradicciones.
O sea: no-contradicción implica existencia.

Para los intuicionistas esto no es suficiente, y exigen que todo sea "construido" a partir de algo concreto.

En virtud de este tipo de objeciones, me acostumbré a exigir que todos los sistemas axiomáticos que uso sean no triviales, o sea, que tengan un "modelo" en el que los axiomas funcionen, y sea no vacío, que haya "acción".

Más tarde, gracias a los estudios de Godel, parece ser que esta exigencia "moral" tiene un sentido preciso en la teoría de lenguajes de primer orden: un sistema axiomático dado en la lógica de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo.



Lo que nunca me quedó claro es: cómo es que alguien puede justificar las aseveraciones en el mundo de los lenguajes de primer orden.

1 * No se puede hablar de una teoría matemática o de los números mismos, sin antes haberlos dado mediante axiomas basados en la teoría de conjuntos.
2 * No se puede hablar de conjuntos y cardinales sin antes haberlos establecido en una teoría lógica.
3 * No se puede razonar lógicamente sin antes haber definido la lógica y sus reglas en el lenguaje de primer orden. (O en cualquier otro lenguaje).

Si se viola esa cadena de prohibiciones, me vuelvo loco.
Por una parte, considero que es un vicio de "circularidad".
La circularidad sin alguna consideración especial, no puede dejarse a su libre albedrío: es fuente de paradojas, y es un pecado mortal para cualquier matemático o lógico.

Otra objeción proviene del modo en que entiendo a los "conjuntos" de la teoría de conjuntos.
Para mí, no existen como colecciones de ninguna cosa, son sólo "letritas en una expresión lógica vacía".
Si voy a usar la palabra "conjunto" en contexto metamatemático, tengo que ser específico en eso, ya que estoy haciendo una "interpretación" o "modelo" de la teoría de conjuntos.
Pero a la larga, esto implica que estoy tomando a la lógica como modelo de sí misma, o a la teoría de conjuntos como modelo de sí misma.

Eso es una circularidad viciosa, y además conlleva la deshonestidad de que un sistema bien puede justificarse a sí mismo, pero eso no es garantía de que sea válido.

Es como si yo me invento un sistema judicial, luego se me acusa de haber cometido una fechoría, y uso a mi propio código penal para juzgarme a mí mismo: "Me considero Inocente y libre de culpa".



Al demostrar teoremas acerca del lenguaje de primer orden en sí mismo, la gente alegremente hace operaciones aritméticas, o habla de conjuntos, o de cardinales...
Yo no logro aceptar ese tipo de cosas porque, como se ve en el esquema de ahí arriba, ninguna de esas cosas tienen sentido cuando uno está en la etapa de un lenguaje de primer orden.

No se puede hablar de conjuntos, porque aún no están definidos. Tampoco se puede usar la lógica, porque la lógica misma no se ha definido.

Si se habla de "conjuntos", entonces serán de "otro tipo" que los de "la" teoría de conjuntos que puse en el esquema de flechas arriba.
Y si se usa una "lógica" para razonar, será otra distinta a aquella que aún no se ha definido ni construido ni nada.

Para mí, el mundo metamatemático es lo mismo que a un pez que lo sacan del agua.
Mientras estoy en el mundo de la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos, me siento como un pez en el agua.
Pero cuando me sacan "afuera" de ese mar, ya no puedo respirar.


Y tengo la impresión de que se hacen operaciones ilegítimas o no bien fundamentadas.
Me parece extraño que los otros peces puedan respirar afuera del "agua".


Claro, que esto es sólo mi esquema mental, y quizá le estoy pifiando en tonterías.  :BangHead:
Ojalá sea así, y no tenga que leerme todos los libros de fundamentos que estoy planeando leerme.



Doy por sentado que los aburrí con todo esto.

Mas, si les interesa, pueden cada uno compartir su visión general o esquema mental de la matemática, tal como la entienden o se la imaginan.

O lo que sea que quieran compartir, bah.
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 31/07/2010, 08:15:19 pm »

Doy por sentado que los aburrí con todo esto.

Primero hay que leerlo. :risa:

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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 31/07/2010, 08:17:01 pm »

En serio, es más que interesante. Hay varias preguntas del millón. Veremos.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 31/07/2010, 08:28:27 pm »

Podemos complicar algo más el asunto añadiendo las ideas de  Chaitin acerca del cuasi-empirismo de las matemáticas.

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argentinator
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« Respuesta #4 : 31/07/2010, 08:55:16 pm »

Estoy leyendo algo de Chaitin, sobre sus teorías de "complejidad".
Al parecer, esto se retrotrae a la noción de "complejidad de Kolmogorov".

Lo que entiendo de su trabajo es que algunas "cadenas de caracteres" son tan complejas, que el algoritmo que ha de generarla es más grande que la cadena misma, si hablamos computacionalmente.

Y esto viene a decir que si esa "cadena de caracteres" es ahora una proposición matemática, si es demasiado "compleja" (en un sentido que se define por ahí) entonces dicha proposición no se puede demostrar, queda indecidible.

O sea, esto está relacionado estrechamente con los Teoremas de Godel y de Turing, que van en el mismo sentido.

Sin embargo, no tengo idea de que es eso del cuasiempirismo, aunque me lo imagino más o menos, ya que algunas especulaciones que he hecho huelen a "cuasiempirismo".



He estado leyendo un par de libros acerca de la historia de los números en la raza humana, y hay ejemplos que muestran que los animales captan ciertas cantidades pequeñas. Por ejemplo, los cuervos parecen distinguir hasta "4".

Los indígenas del Brasil (los Botocoudos) tienen palabras para indicar "uno" y "dos", y para decir 3 o 4 dicen "dos y uno" y "dos y dos".
Para "5" o más dicen algo como "muchos" y se tocan el pelo, para indicar que "tantos como cabellos en mi cabeza".

Ellos no pueden expresar el número 5 porque en realidad sólo entienden bien hasta "2", y fijate que el 3 y 4 lo expresan con "2" palabras.
Ya el "5" requiere "tres" palabras: "dos y dos y uno". Es muy complicado.

Ahora, a mí me gustaría preguntarles a estos hombres cuántos dedos creen que tienen en la mano.
Si levantando el pulgar paso de tener 4 dedos a "tantos como cabellos en mi cabeza", es algo que me desconcierta.
Pero claro, ellos no están interesados en la aritmética y sus fundamentos, según parece.

Lo que me gustaría es poder explicarle a esos indígenas, no sólo cuánto es "5", sino cómo se construyen todos los números, y cómo es que se deducen sus propiedades.
Tengo que enseñarles aritmética y lógica. ¿Qué les enseño primero, qué es fundamento para qué cosa?

Fijate que la mente Brower no concibe más que números naturales que se van "construyendo" de uno en uno.
No es capaz de verlos a todos juntos, o no le queda claro lo que es.

En cambio, Cantor, con su "mente superior" puede concebir claramente todos esos números transfinitos.



Yo a veces me siento como esos indígenas, y hay cosas que mi mente no acepta como válidas.

Para razonar en el mundo "metamatemático" hay que aceptar que existe una razón universalmente válida, porque si no, siempre habrá que buscar "hacia atrás" lenguajes de lenguajes, lenguajes de lenguajes de lenguajes, y así por siempre, justificaciones de las justificaciones, y definiciones de las definiciones, en un camino hacia atrás sin fin.

Y yo quizá no tendría problemas en aceptar una "razón" o una "lógica" universalmente válida si lograra estar seguro de sus leyes, o sus reglas, o sobre lo que es un razonamiento correcto y lo que no lo es.

Recuerdo un ensayo de Russell que leí, en el que pretendía fundamentar ciertas cuestiones filosóficas apelando sólo al discurso. Yo veía cómo Russell se enredaba en sus propias palabras en un discurso cada vez más confuso, al punto que me cansó.

No puedo aceptar que el "nivel de discurso" de la matemática sea el "lenguaje natural", como a veces he oído decir.
El "lenguaje natural" es enemigo de la claridad y la precisión.

Justamente, para eso se inventó la matemática, para "evitar a toda costa" las ambigûedades del lenguaje natural.
Si de pronto me encuentro conque el fundamento de la lógica misma se apoya en eso... me dan ganas de tirarme del vigésimo piso.  :BangHead:



Otro problema grave con todo esto es que no me interesa demasiado "hablar tranquila y alegremente del asunto".
Estoy empecinado en que quiero resolverlo a toda costa lo antes posible.

Sufro  :llorando:

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Jabato
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« Respuesta #5 : 31/07/2010, 09:14:44 pm »

Después de leerme todo lo que expusiste argentinator busqué la definición de lógica y encontré esto:

La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida.

¿Te vale?

Parece que semejante definición presupone que todo razonamiento debe ser lógico, porque si no es lógico no es válido.
El resto no es más que tirar del hilo y ver lo que sale.

Y ahora empiezan los problemas, no existe definición de conjunto, no existe definición de elemento ni de pertenencia, no existe definición de punto, ni de recta, no existe definición de número, etc. ya que al parecer el problema se resuelve diciendo simplemente que son conceptos primitivos, entonces ... ¿qué esperas sacar de todo esto?

Y por último están los axiomas que se pueden aceptar ó no, pero tampoco se pueden discutir.

Tenemos que aceptar los conceptos primitivos tal y como nos los ponen delante y jugar con ellos mediante axiomas, pero no es posible cuestionarlos ni buscar otros fundamentos más básicos porque no los hay. Esos son simplemente los fundamentos de la matemática y no hay nada más debajo de eso, el edificio de la matemática flota sobre esos pilares, que suponemos muy sólidos, pero no hay nada que cuestionar ni que discutir, está todo perfectamente perpetrado, si lo quieres lo tomas y si no pues lo dejas, esa es al menos mi opinión.

Podríamos definir una nueva matemática estableciendo otros conceptos primitivos que no fueran esos y otros axiomas distintos a los de las teorías de conjuntos. Pues probablemente si, pero los que tenemos son esos y no otros.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #6 : 31/07/2010, 10:17:34 pm »



Otro problema grave con todo esto es que no me interesa demasiado "hablar tranquila y alegremente del asunto".
Estoy empecinado en que quiero resolverlo a toda costa lo antes posible.

Sufro  :llorando:



A mi a decir verdad, me gustaría hablar de estos temas tranquilo y alegremente ,por que no es un tema fácil ,y por que yo siempre espero encontrar una respuesta a aquello que no tienes sentido, en  un mundo perfecto hallar un sin sentido es ya un logro.
A menudo lucho contra mis intuiciones y  no me comprometo con ellas
-intuyo en el caso de la lógica , que es como caminar sobre la tierra ,hay algo en la mente humana heredado del mundo fisico(leyes de la naturaleza)tal vez que nos hace ver el mundo con lógica ,pero que es como caminar sobre la tierra sin darnos cuenta que la tierra es redonda.
Ojala algún día poder alejarnos de la lógica ,así como nos alejamos de la tierra para ver que es realmente y si queda algo superior en nosotros mismos.
 :sonrisa:
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Jabato
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« Respuesta #7 : 31/07/2010, 10:21:11 pm »

Salirse de la lógica puede ser un bonito sueño, pero no parece fácil hacerlo realidad.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #8 : 31/07/2010, 10:50:55 pm »

A Jabato: Creo que no estás entendiendo cuál es mi dilema.

Yo no estoy cuestionando los axiomas de la teoría de conjuntos que usamos todos los días,
ni tampoco las reglas de la lógica que usamos para la matemática.

Lo que cuestiono es que se usen esos conceptos en contextos que no les corresponden.

Si yo defino "unión de dos conjuntos A y B" y después aplico esos resultados a "ballenas", no tiene ningún sentido.
No puedo hablar de "la unión de dos ballenas" o el "cardinal de una ballena".

Éso es lo que me molesta, la extrapolación sin rigor de hechos o conceptos a contextos que no le pertenecen.

Matemáticamente hablando, la siguiente frase:

"El conjunto A está incluido en el conjunto B"

solamente significa que en un papel he escrito los siguientes símbolos:  

[texx]\forall{x}(x \in{A}\Longrightarrow{x\in{ B}})[/texx]

Esos símbolos no tienen significado alguno, y no puedo extrapolarlos a otros contextos sin al menos un intento de justificación.

Se trata sólo de símbolos en un papel. No es cierto que haya "colecciones" A y B y que une esté "sumergida" en la otra. Eso no tiene realidad matemática.

Puedo cambiar los símbolos [texx]\forall\qquad{x\qquad\in\qquad \Longrightarrow\qquad A\qquad B}[/texx] por estos otros: [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx], y obtendría una expresión matemáticamente correcta de todos modos, pero sin que evoque nada a la intuición:

[texx]\perp \Delta (\Delta  \omega |\otimes \Delta\omega \aleph)[/texx].

Ahora consideremos que toda la teoría de conjuntos se ha hecho escribiendo sus teoremas que estos últimos simbolos, y sólo ellos, a los cuales obviamente no estamos acostumbrados.
La misma teoría de conjuntos no ha cambiado, y sigue siendo válida.

A continuación pretendo hacer una teoría sobre el lenguaje de primer orden que usa simbolos como [texx]A z  \epsilon \sigma \alpha\beta[/texx].

¿Puedo decir en toda regla que esos signos forman un "conjunto"?
¿Cómo lo expreso con los símbolos [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx]?
¿Puedo "expresar" que el "conjunto" de signos [texx]Az\sigma[/texx] está "incluido" en el "conjunto" [texx]Az\sigma\alpha[/texx]?
¿Cómo hablo de tales conjuntos usando los signos [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx].?

Y si hablo de los signos mismos conque he construido la teoría: [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx], la situación es la misma, sólo que más enredada.




A ver si puedo aclarar el problema con un ejemplo:

Me compro un martillo, unas tablas y unos clavos, y con ellos me "construyo" unos cajones.
Con esos cajones, el mismo martillo y más clavos, me "construyo" un mueble, el cual tiene ahora varios compartimentos para guardar cosas.

Ahora bien, ya tengo el "mueble". ¿Puedo usar ese mueble para "construir" un martillo y unos clavos?
Peor aún: ¿Puedo usar ese mueble para "construir" al mismo martillo y a los mismos claves que usé para construir el mueble en cuestión?

Es ridículo afirmar que sí, claro está, porque se trata de muebles, martillos y clavos.

Pero con esa misma estructura es que concibo la matemática:

El martillo y los clavos serían la "lógica de primer orden y los símbolos que se usan para formar lenguajes, así como las expresiones que se forman combinando dichos signos"-
Los cajones serían los "axiomas de la lógica y los de la teoría de conjuntos."
El mueble sería toda la "matemática".

Yo no tolero que se use el "mueble" como herramienta para confeccionar al martillo que sirvió para construir el mueble mismo.
Ese es el problema que tengo con los fundamentos de la matemática, y los razonamientos que se hacen en ese nivel.

Una vez que la lógica ha sido dada, y los axiomas de conjuntos establecidos, no tengo problemas, me siento cómodo, y no me quejo, porque las reglas son claras y precisas.
Me quejo de la etapa anterior, que es filosófica.

Hay mucha actividad en el terreno de fundamentos de la matemática hoy día, y hay un sinfín de teorías de todo tipo, lógicas de diversa índole, categorías, máquinas-oráculo (o cuánticas), lenguajes con infinitos símbolos, y un sinfín de cosas que parecen no estar sostenidas en nada.

Esas cosas no están "dadas", Jabato. Son, para mí, meras especulaciones que están en la imaginación de los teóricos, y que yo me siento obligado a "creer", o sea, tengo que hacer un esfuerzo de imaginación para entender lo que están diciendo.
Cuando se construyen modelos para demostrar la indemostrabilidad de la Hipótesis del Continuo se apela a modelos que son extraños, yo diría "dudosos", a tal punto que me hacen dudar de si realmente la hipótesis del continuo es indemostrable como se dice.

No reniego de la investigación en lógica, que en realidad es muy rica e interesante, y con satisfacción puedo ver que se avanza respondiendo preguntas que muchas veces me hice.
Pero me da desconfianza el fundamento de todo ese trabajo. La base teórica me parece que no está establecida.


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« Respuesta #9 : 31/07/2010, 10:53:50 pm »

A mi a decir verdad, me gustaría hablar de estos temas tranquilo y alegremente ,por que no es un tema fácil ,y por que yo siempre espero encontrar una respuesta a aquello que no tienes sentido, en  un mundo perfecto hallar un sin sentido es ya un logro.
A menudo lucho contra mis intuiciones y  no me comprometo con ellas
-intuyo en el caso de la lógica , que es como caminar sobre la tierra ,hay algo en la mente humana heredado del mundo fisico(leyes de la naturaleza)tal vez que nos hace ver el mundo con lógica ,pero que es como caminar sobre la tierra sin darnos cuenta que la tierra es redonda.
Ojala algún día poder alejarnos de la lógica ,así como nos alejamos de la tierra para ver que es realmente y si queda algo superior en nosotros mismos.
 :sonrisa:


Hablemos todo lo que quieras, estoy muy compenetrado con estos temas, aunque aún es mucho más lo que ignoro que lo que sé.
Pero me he propuesto investigar sobre el tema.
Hay cientos de libros, mucho material cada vez más complejo y diverso.
Es una maraña de cosas sin fín.

Pero no me pidas que esté calmado. Me afecta emocionalmente el "sentir" que no hay una base sólida para la lógica misma. Es algo que no puedo tolerar.
La lógica ha de ser la más sólida de las ciencias.

Quizá lo sea, pero yo aún no lo sé
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« Respuesta #10 : 31/07/2010, 10:56:31 pm »

Salirse de la lógica puede ser un bonito sueño, pero no parece fácil hacerlo realidad.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:

No es un "sueño", es un tema de investigación concreto que tiene más de 100 años de historia.

Justamente, hay que salirse un poco de la lógica "acostumbrada" para fundamentar la lógica misma en base a (cuya base será la lista de axiomas de inferencia clásicos que usamos todos los días).

Los lógicos han de hacer esto todo el tiempo, obligados por su propio campo de investigación.
Pero para ello, se ven obligados a razonar sobre objetos "extra-lógicos", y no me convenzo de que los razonamientos que usan son válidos.

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« Respuesta #11 : 31/07/2010, 11:22:11 pm »


Hola, Aargentinator. Bueno, eres un profesional de las matemáticas, tienes que tener eso en cuenta, vives en un mundo rodeado de gente que usa las matemáticas, pero son físicos, ingenieros, alumnos...
Cuando estaba en la universidad, recuerdo que todos usábamos los mismos libros de matemáticas, sin embargo, era muy distinta la forma de ver la materia según qué carreras. Mientras los de físicas, por ejemplo, en el primer parcial ya habíamos hecho problemas de todos los colores (de proyecciones, simetrías, Jordan... derivadas, integrales...) los de matemáticas sólo habían visto teoría; se pasaron un mes estudiando teoría de grupos sin hacer un sólo problema de transformaciones, por ejemplo (lo sé porque de vez en cuando me metía en sus clases, de oyente). Yo ya era mayor, no lo hacía con vistas a un futuro profesional, y sí me interesaba la teoría, pero a la mayoría de los demás sólo les interesaba la práctica; y a algunos sólo les interesaba aprobar para tener el día de mañana una carrera y un trabajo; y así poder casarse.
 
Ya sabes el chiste: iban en un avión un ingeniero, un físico y un matemático. A Esto que pasaban sobre una gran isla, vieron que en un prado estaban pastando unas ovejas; una de ellas era negra.
 El ingeniero dijo: en esa isla hay ovejas.
El físico contestó: en esa isla hay ovejas blancas y una negra.
Y el matemático añadió; en la parte sur  de esa isla hay ovejas blancas y al menos una oveja negra.
 Yo estoy de acuerdo en que hay que definir las cosas antes de nada; no sólo en matemáticas, en todo (eso no quiere decir que deje de meter la pata en muchas ocasiones, por ignorancia u olvido; pero no quita para estar de acuerdo).
La matemática es, en gran medida, la búsqueda de la verdad; pero muchas veces, en los debates, nos traiciona el orgullo, la falta de objetividad, el querer tener razón siempre como si nos pagaran por ello. Conseguir domar esa tendencia es quizá lo más difícil de todo. Por eso la matemática puede ser una magnífica disciplina para aprender a ser humilde en todas las facetas de la vida; que es mucho más difícil que el más intrincado de los problemas.

 Saludos    :sonrisa:
 

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« Respuesta #12 : 31/07/2010, 11:38:54 pm »


La matemática es, en gran medida, la búsqueda de la verdad; pero muchas veces, en los debates, nos traiciona el orgullo, la falta de objetividad, el querer tener razón siempre como si nos pagaran por ello. Conseguir domar esa tendencia es quizá lo más difícil de todo. Por eso la matemática puede ser una magnífica disciplina para aprender a ser humilde en todas las facetas de la vida; que es mucho más difícil que el más intrincado de los problemas.

¿Hablás en general, o es una crítica a mi persona?

Criticá tranquilo, que no me ofendo.  :sonrisa_amplia:

Después de todo, mis problemas no son de autoestima, sino filosóficos, jeje  :BangHead:

Como sea, abrí este hilo para no arruinar muchos otros "debates" en los que he entrado con el pie izquierdo, justamente por ciertas ideas que tengo respecto a estos temas en concreto.
Así que preferí abrir un hilo como éste, y hablar de ello claramente para no reincidir en futuras situaciones en el foro.

En todo caso, si estás diciendo que he tratado de tener la razón a toda costa, bueno, no lo sé. Lo que sí te puedo decir es que las incertidumbres o la ignorancia que tengo en cuestiones metamatemáticas me afectan profundamente, y deseo resolver el problema.
Si me vuelvo poco simpático en este asunto, espero sepan comprender.
Es una simple frustración ante un tema profundo y difícil, sumado a la sensación no sólo de que no comprendo debidamente el tema, sino de que también no soy bien comprendido, o no me sé explicar.

Cada cual tiene su campo, es cierto, y los lógicos tienen el suyo.
Pero eso no quiere decir que tenga que aceptar todo lo que dicen, por bien que me caigan ellos y sus investigaciones.

Los problemas teóricos son los mismos, y si me sigo enfrascando en este asunto, yo mismo me voy a convertir en un "lógico", y sin embargo mis dudas teóricas serán las mismas.
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« Respuesta #13 : 31/07/2010, 11:44:02 pm »

En todo caso, ¿comparten ustedes este mismo esquema?


[texx]\xymatrix{& \textsf{Teorías matemáticas} & \textsf{Teoría de conjuntos}\ar[l]\ar[dl] & \textsf{Lógica de Primer Orden}\ar[l] \\ & \textsf {Teoría de números naturales y/o reales}\\}[/texx]

¿Ven o consideran la matemática así, se sienten cómodos, les parece que ahí termina todo, están de acuerdo con las cosas tal como son o como se dicen?

¿Algún intuicionista?
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« Respuesta #14 : 31/07/2010, 11:53:48 pm »

Podemos complicar algo más el asunto añadiendo las ideas de  Chaitin acerca del cuasi-empirismo de las matemáticas.



¿Algún libro o artículo sobre este tema?
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« Respuesta #15 : 01/08/2010, 01:44:43 am »

Hola. Yo también siento cierta desesperación al notar lo poco solido que se vuelve lo que puedo notar acerca de algo cuando profundizo en él. Más aún en el campo de la matemática, de la cual tengo un preconcepto que se contrapone a situaciones como estas.

Estoy completamente de acuerdo con el hecho de que los temas tratados dentro de lo denominado como matemática precisan un previa aceptación de la "lógica", pero discrepo en el que ésta solo se trate de un conjunto de símbolos que no hacen referencia a algo.

Creo que en este contexto aceptamos, que el "ser humano" es un animal que posee la capacidad de "manipular las nociones que a priori posee y las adquiridas a través de la experiencia" (me disculpo por el exceso de comillas, sabrán entender) y de esa forma obtener nuevas nociones.

Entonces es de notar que la lógica no es solo un montón de lineas distribuidas de una determinada manera, sino que cada curva, cada símbolo "representa", "hace referencia", etc. a una de esas nociones que tenemos. Por otro lado también sabemos como interpretar símbolos compuestos de otros símbolos (las proposiciones) los cuales hacen referencia a la noción que tenemos de una cierta "situación"; la forma de interpretar éstos símbolos se reduce a la interpretación de los símbolos contenidos y a la "posición relativa" entre ellos. De esa forma, se puede notar que solo son "válidos" cierto conjunto de símbolos, porque hay limitadas y determinadas maneras en las que relacionamos las nociones que tenemos, y los símbolos hacen referencia a dichas nociones.
(notar que las nociones de "posición relativa", "composición" y demás, también son nociones previas, las cuales se manipulan en el uso e interpretación del lenguaje lógico pero no necesariamente se hace referencia a ellas con un símbolo de forma explicita).

Tal vez el problema radica en establecer solo axiomas iniciales emparentados con lo que uno cree que se trata la "rama" de la matemática que está tratando. En este contexto, donde hablamos de las bases, me parece claro que los axiomas son las nociones previas que tenemos, por lo que no tener en cuenta todos los axiomas, es no tener en cuenta todas las nociones que consideramos válidas a priori.

A mi me parece que "fundamentar la lógica" no tiene mucho sentido, porque cuando se intenta demostrar (por ejemplo) un teorema, es decir, fundamentarlo, se intenta notar que éste es lógicamente válido, por lo que "fundamentar la lógica" sería intentar notar que ésta es lógicamente válida, lo que es trivial.
Tal vez, así como se puede demostrar que un teorema es lógicamente válido, se podría demostrar que la lógica es válida con respecto a otra cosa (¿la realidad?), pero no creo que tenga mucho sentido intentar notar si es válida en el sentido usual que se le da al término.

Espero no desencadenar varios mensajes de insultos :cara_de_queso: .

Saludos :guiño:
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« Respuesta #16 : 01/08/2010, 02:37:12 am »

Hola. Yo también siento cierta desesperación al notar lo poco solido que se vuelve lo que puedo notar acerca de algo cuando profundizo en él. Más aún en el campo de la matemática, de la cual tengo un preconcepto que se contrapone a situaciones como estas.

Ah, ahora no me siento tan sólo  :sonrisa_amplia:

Cita

Estoy completamente de acuerdo con el hecho de que los temas tratados dentro de lo denominado como matemática precisan un previa aceptación de la "lógica", pero discrepo en el que ésta solo se trate de un conjunto de símbolos que no hacen referencia a algo.


Lo que pasa es que yo me "tragué" el cuento del logicismo-formalismo de Russell y Hilbert.

Si nos ponemos en el contexto de los años en torno al 1900, la matemática no tenía una base sólida común, y muchos conceptos estaban dando vueltas, con sus correspondientes ambigûedades y contradicciones o paradojas.

Russell y Hilbert, cada cual a su modo, trataron de eliminar todas esas imprecisiones, y propusieron basar la matemática en la lógica pura, para asegurar precisión en todos los casos.

Por ejemplo, todos los matemáticos tenían en ese entonces una "intuición" de lo que vendría a ser un "conjunto infinito".
Pero había mucha controversia sobre la "naturaleza real" del infinito.

Había matemáticos que decían que el infinito era pura superchería metafísica, o en el mejor de los casos, que era una noción de dudosa exactitud matemática.

Para enfrentar este tipo de objeciones, Hilbert prefirió "eludir" el problema, y simplemente dejó dicho que "no importa si el infinito realmente tiene sentido o no", o sea, si es producto de la imaginación de alguien, o si existe en el mundo platónico de las ideas, o lo que fuere.

Lo que importa es que mediante símbolos lógicos se puede definir lo que es "ser un conjunto infinito" sin ambigûedad alguna, y sin preocuparse por el "sentido humano" que eso pudiera tener.
Así, el concepto de infinito se puede preservar en la matemática, sin preocuparse por cuestiones intuitivas, metafísicas o filosóficas sobre "lo infinito" en sí mismo.

Pero para eso, hay que relegar al "infinito" al mundo de la imaginación, y en el trabajo concreto de matemáticos, hacer un simple cálculo lógico.

La definición de infinito sería una simple fórmula vacía de significado, como esto:

X es un conjunto infinito si:[texx]\exists{Y,f}(Y\subsetneq X \wedge f:Y\to X \wedge f(Y)=X)[/texx]

Traduciendo a lenguaje "intuitivo", esa fórmula diría que: X es infinito si existen Y, f, tales que Y es un subconjunto propio de X, y f es una función de Y en X que es sobreyectiva.

Me he salteado muchos formalismos, pero lo que quiero mostrar es el carácter "vacío" de una fórmula fría y sin sentimientos.

Cuando uno demuestra teoremas o define objetos matemáticos, en realidad no hace más que manipulaciones de símbolos.

El "significado" o "sentido" que le damos es accesorio. Es quizá lo que en definitiva enriquece a la matemática y la hace bella.
Después de todo, poner ristras de símbolos sin significado no tiene nada de hermoso, claro está.

Pero no sé hasta dónde lo "bello" o lo "intuitivo" tiene que ver con la verdadera sustancia de la lógica y los fundamentos.

Más aún, lo que critico es que esa frialdad en las fórmulas como la de arriba, no puede aplicarse directamente, sin previo aviso o consideración, a objetos concretos de la realidad.

Los símbolos de la lógica se pueden considerar "objetos concretos de la realidad" (mmm), si los pienso como caracteres escritos en un papel.
Al razonar sobre ellos usando teorías de conjuntos o lógica formal, estoy haciendo una "interpretación" de la lógica formal.

De la misma manera que la fórmula F = m x'' no tiene nada que ver con la física, hasta que alguien "interpreta" que eso es Fuerza = masa por aceleración, respecto al movimiento de una partícula.

La cuestión es que, ante todo, hay que preguntarse si la interpretación de F como "fuerza" y m como "masa", etc., es correcta físicamente. Podría ser que no lo fuera, si pusiera una fórmula distinta.

Lo mismo acontece con el uso de números y cardinales al hablar de símbolos escritos en un papel.
Pero lo grave del asunto es que esos mismos símbolos se usan después para formalizar el concepto de número y de cardinal... y la cabeza me da vueltas.


Cita
Creo que en este contexto aceptamos, que el "ser humano" es un animal que posee la capacidad de "manipular las nociones que a priori posee y las adquiridas a través de la experiencia" (me disculpo por el exceso de comillas, sabrán entender) y de esa forma obtener nuevas nociones.

Entonces es de notar que la lógica no es solo un montón de lineas distribuidas de una determinada manera, sino que cada curva, cada símbolo "representa", "hace referencia", etc. a una de esas nociones que tenemos. Por otro lado también sabemos como interpretar símbolos compuestos de otros símbolos (las proposiciones) los cuales hacen referencia a la noción que tenemos de una cierta "situación"; la forma de interpretar éstos símbolos se reduce a la interpretación de los símbolos contenidos y a la "posición relativa" entre ellos. De esa forma, se puede notar que solo son "válidos" cierto conjunto de símbolos, porque hay limitadas y determinadas maneras en las que relacionamos las nociones que tenemos, y los símbolos hacen referencia a dichas nociones.
(notar que las nociones de "posición relativa", "composición" y demás, también son nociones previas, las cuales se manipulan en el uso e interpretación del lenguaje lógico pero no necesariamente se hace referencia a ellas con un símbolo de forma explicita).

Al interpretar símbolos como ciertas entidades matemáticas "ideales", se entra necesariamente en el "platonismo", que presupone que los objetos matemáticas existen realmente en algún lugar, y que la lógica sólo se ocupa de "expresar con un lenguaje limitado hechos de una realidad matemática superior".

Yo no creo en nada que esté "más allá", así que puntos de vista como éste me son duros de digerir.

Tengo que admitir que, aparentemente, todos los matemáticos coincidimos en tener las mismas "intuiciones" de lo infinito, de los objetos geométricos, y otras objetos matemáticos.

Pero mi opinión es que esto se debe a un hecho cultural: todos hemos sido educados para tener esas mismas intuiciones e ideas, y es por eso que parecen universales, que siempre han estado "ahí".

Al pensar en los Botocoudos de Brasil, me pregunto si para ellos serán igual de "obvias" nuestras intuiciones matemáticas, ya sean de la geometría euclidiana, de los infinitos, los números naturales y su caprichosa propiedad de que "siempre hay un siguiente", etc.

Me refiero a que no son intuiciones que la mente humana "capte" de forma natural, como si siempre hubieran estado ahí, sino que son cosas "inculcadas".

Si se deja a los Botocoudos desarrollar su propia lógica o matemática, en unos miles de años podrían sorprendernos con una estructura mental totalmente incompresible para nosotros, pero podrían ellos quizá desarrollar de todos modos una ciencia, aparatos tecnológicos como los nuestros, y hasta incluso mejores todavía.

Cita

A mi me parece que "fundamentar la lógica" no tiene mucho sentido, porque cuando se intenta demostrar (por ejemplo) un teorema, es decir, fundamentarlo, se intenta notar que éste es lógicamente válido, por lo que "fundamentar la lógica" sería intentar notar que ésta es lógicamente válida, lo que es trivial.


En realidad hay mucha investigación en lógica y fundamentos.

La cuestión de si tiene sentido o no... yo creo que sí lo tiene.

O sea, el punto de partida es preguntarse: ¿por qué usamos los razonamientos que usamos? ¿Por qué los consideramos correctos? ¿Cómo ha de darse un razonamiento para que sea correcto?

Si no nos preguntáramos estas cosas, caeríamos muy seguido en situaciones erróneas o paradójicas.

Típico ejemplo es la paradoja de Richards:

Sabemos que los números naturales tienen la propiedad de que "todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo".
Ahora definamos el conjunto X de los números naturales n tal que n "no puede definirse con una frase castellana de menos de cien letras". Claramente ese conjunto es no vacío, ya que la cantidad de números que pueden definirse con menos de cien letras es a lo sumo [texx]99^{27}[/texx].
Sea N un tal número. Este N en realidad se puede definir con menos de cien letras, porque es "el mínimo número natural definible con una frase con menos de cien letras", que es una frase que tiene menos de cien letras.

Así que, para evitar ése y muchos otros problemas, hace falta fundamentar la lógica con mucho cuidado, y en particular, ser cuidadoso no sólo sobre el tipo de expresiones que admitimos como "afirmaciones lógicas", sino con el "universo de interpretación" de esas expresiones.

Cita
Tal vez, así como se puede demostrar que un teorema es lógicamente válido, se podría demostrar que la lógica es válida con respecto a otra cosa (¿la realidad?), pero no creo que tenga mucho sentido intentar notar si es válida en el sentido usual que se le da al término.


No sé respecto a qué, o en qué sentido se puede hablar de la validez de la lógica.
Pero la cuestión es que los lógicos mismos investigan esto, y hacen aseveraciones muy complejas "en el aire", y "razonan" como si todos estuviéramos de acuerdo en lo que se entiende por "cadena finita de signos", "número natural", entre otras cuestiones.

Claro que ha habido muchos avances, y yo estoy tratando de informarme a ver qué se sabe y que no se sabe al respecto.

Ahora estoy leyendo el libro "Admissibility of Logical Inference Rules" de un tal Rybakov, quien dice que su libro sistematiza y reúne muchos resultados que andan flotando en el mundillo de los lógicos, y explica y define todos los conceptos.

Mas, sigue haciendo las mismas cosas que siempre me ponen nervioso: usa subíndices de números naturales, usa la idea de "numerable", efectúa modelos que son "conjuntos".
A pesar del malestar, aún así lo he de leer, porque seguramente aprenderé bastante de todos modos, y a lo mejor un día pueda criticar estas cosas con más fundamento.

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« Respuesta #17 : 01/08/2010, 03:16:08 am »

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¿Hablás en general, o es una crítica a mi persona?

Hola, Argentinator. Ni mucho menos lo digo por ti, lo digo por mí, sobre todo, porque a mí me cuesta, porque me analizo mucho en ese aspecto.
 No, no creo que ésa sea una característica tuya (susceptible sí has estado un poco, eh  :sonrisa: ). Y además, ya te digo, estoy muy de acuerdo en lo que dices y te comprendo; aunque mis conocimientos no den para comprenderte todo lo que quisiera. Ya ves que no he entrado en hilos como el de Gödel, por ejemplo, bueno, sí he entrado pero no he participado, y no lo he hecho porque considero que es un tema que ni conozco lo suficiente ni entiendo lo suficiente; podría opinar, sí, pero no he sufrido en mis carnes la incompletitud axiomática :risa: y lo que no se sufre personalmente... yo creo que no se comprende de verdad; explico lo dicho: yo estudié filosofía en el colegio, como todos, siologismos, sorites, lógica... pero no supe de verdad lo que entrañaba el error lógico hasta que no me suspendieron en la universidad un examen de análisis matemático por aplicar mal uno de los criterios de Leibnitz en una serie. Esto se lo he dicho en persona a algunos licenciados en filosofía, les he dicho que la práctica de la lógica está en las matemáticas, con los números, con los cálculos, luchando por no fallar al hacer las operaciones... Pero no lo comprenden, a no ser que además de filosofía hayan estudiado algo de matemáticas un poco en serio.

En cualquier caso, no caigas en la obsesión, un poquito de deformación profesional no está mal, pero no dejes que te lleve a mayores, a ver si luego vas a demostrar cualquier problema del milenio, te vuelves loco, y no coges la plata; como Perlman, que mira lo que le pasó  :cara_de_queso:
 
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« Respuesta #18 : 01/08/2010, 03:34:41 am »

Cita
¿Hablás en general, o es una crítica a mi persona?

Hola, Argentinator. Ni mucho menos lo digo por ti, lo digo por mí, sobre todo, porque a mí me cuesta, porque me analizo mucho en ese aspecto.


No suelo ser "susceptible", aunque sí me interesan las críticas (todos tenemos que mejorar como personas), sobretodo aquellas críticas que la gente no se anima a decirte en la cara por amabilidad, porque esas críticas no dichas son las más sinceras.

Quizá no exagero si digo que no me importa que se pongan a insultarme, pero sí que me enojo cuando un razonamiento está mal... La obsesión por la verdad verdadera.

Cita
aunque mis conocimientos no den para comprenderte todo lo que quisiera. Ya ves que no he entrado en hilos como el de Gödel, por ejemplo, bueno, sí he entrado pero no he participado, y no lo he hecho porque considero que es un tema que ni conozco lo suficiente ni entiendo lo suficiente; podría opinar,

Bueno, yo era en ese entonces prácticamente un total ignorante respecto el Teorema de Godel, y sabía muy poco de lógicas de primer orden, teoremas de consistencia y todo eso.
Alguna vez leí algunas cosas, miré algunas fórmulas, escuché algunas clases, pero nunca llegué a entender bien de qué se trataba todo.

Así que justamente participé en el hilo del Teorema de Godel para molestar con todas mis dudas.

En la vida hay que meter la naricita en todos lados.  :guiño:

Lo que sí tengo por el Teorema de Godel es un gran interés, derivado por esta obsesión de querer entender las bases mismas de la matemática y la lógica.

Cita
En cualquier caso, no caigas en la obsesión, un poquito de deformación profesional no está mal, pero no dejes que te lleve a mayores, a ver si luego vas a demostrar cualquier problema del milenio, te vuelves loco, y no coges la plata; como Perlman, que mira lo que le pasó  :cara_de_queso:

Ya es tarde, estoy obsesionado.

Justamente, creo que lo que define a un matemático no es que sabe Teoremas y Axiomas de esto y aquello, sino que no se puede quitar ese "problemín" de la cabeza.
Se cae el mundo, pasa el mundial, se aburren las novias, pero la insistencia en "aquel" problema (cualquiera éste sea) persiste de noche y de día.

Ojalá tuviera el genio de Perelman.
Y a un "millón" nunca se le dice que no.
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« Respuesta #19 : 01/08/2010, 03:40:08 am »

Cita
Justamente, creo que lo que define a un matemático no es que sabe Teoremas y Axiomas de esto y aquello, sino que no se puede quitar ese "problemín" de la cabeza. Se cae el mundo, pasa el mundial, se aburren las novias, pero la insistencia en "aquel" problema (cualquiera éste sea) persiste de noche y de día.

No sólo a un matemático (o al menos no sólo a un matemático profesional) conozco muy bien eso que dices  :sonrisa:
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