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Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?  (Leído 127969 veces)
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Jabato
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« Respuesta #40 : 03/08/2010, 03:37:30 am »

Realmente es posible fundamentar la matemática en la lógica matemática, pero llevo dándole vueltas a la pregunta ¿de donde salen los esquemas de dicha lógica y en que se fundamenta? y no soy capaz de contestarla, solo se me ocurren simplezas del tipo "Principio de la no contradicción", "Principio del tercero excluido", etc, pero no soy capaz de ver más allá.

¿Realmente será cierto que los principios de la lógica aristotélica son de tipo axiomático y se aceptan ó no se aceptan pero no pueden cuestionarse?. Si ello es verdaderamente así entonces ¿en que estamos fundamentando la matemática? ¿Como vamos a cuestionar la lógica matemática usando los razonamientos de la metamatemática, semanticos ó de índole similar? De verdad argentinator que yo no le veo sentido a tus inquietudes y desazones en ese aspecto, ó yo no te entiendo ó creo que te preocupas por cosas que no tienen la menor importancia, la matemática es incuestionable porque la lógica matemática también lo es y no hay mucho más que decir.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #41 : 03/08/2010, 04:23:36 am »

Jabato, si algo se vuelve incuestionable, es que deja de ser ciencia para ser un dogma.

Hay filósofos que niegan y detractan por deporte.
Sin embargo, no es mi caso.

Como yo lo veo, lo único que justifica a la lógica es que la gente se ha acostumbrado a sus reglas.

Hay muchas cosas que estoy cuestionando, pero me centraré en esto por ahora:

Vos decís: "la lógica ya está, la usamos y listo".
Pero el problema acá es el uso del artículo "la".

No hay "una sola" lógica, hay muchas. ¿Cuál elijo?
Hay lógicas que no aceptan el "tercero excluido".
Hay expertos matemáticos que dicen que "hay que rechazar el principio del tercero excluido".
Hay otros que dicen que "hay que aceptar el tercero excluido".

¿A quién le creo? ¿A cuál de los dos?

Llamemos LOG1 a la lógica que usamos todos, la cual acepta "tercero excluido" como uno de sus principios de razonamiento (Russell y compañía).
Llamemos LOG2 a la lógica que no acepta al tercero excluido (Brouwer y amigos).

Ahora bien.
Tomemos una lista de símbolos [texx]S = \{\forall,{\exists,{\in,{\wedge,\vee,\Rightarrow,{\subset,{(,),=,x,y,z,|,\sim{}}}}}}\}[/texx].

Formemos con ellos un lenguaje de primer orden L.
Esto quiere decir que hay igualdades de variables ([texx]x=z[/texx]), combinadas con conjunciones, disyunciones, implicaciones y negaciones, ([texx]\wedge,\vee,\sim{},\Rightarrow{}[/texx]), y también vale preceder esas expresiones con variables cuantificadas ([texx]\forall{x},\exists{y},[/texx] etc).
No vale cuantificar sobre "expresiones complicadas", sólo sobre variables.

Ahora, con ese lenguaje L, damos los axiomas usuales de la lógica.
Por ejemplo, para cualesquiera expresiones válidas p, q del lenguaje L, tenemos el axioma lógico:

[texx]p\Rightarrow{(q\Rightarrow{p})}[/texx]

Hay varios más, algunos involucran igualdades...

Si dentro de esos axiomas lógicos ponemos el siguiente:

(*) [texx]\sim{\sim{p}}\Rightarrow{p}[/texx]

entonces hemos puesto el axioma del tercero excluido en este sistema lógico.

Llamemos a esta lista de axiomas: "La lista de axiomas lógicos estándar del lenguaje de primer orden".
Y abreviémosla con A1.

Si no incluimos el axioma (*) del tercero excluido, entonces nos queda la "lista de axiomas lógicos intuicionista del lenguaje de primer orden", que no permite al tercero excluido.
O sea, de la doble negación de p no se deduce p.

Abreviemos a esta lista de axiomas intuicionista con A2.

Finalmente, se dan reglas de inferencia, por ejemplo, Modus Ponens:

Si uno tiene en una lista de proposiciones [texx]p[/texx] y [texx]p\Rightarrow{q}[/texx], entonces concluye que [texx]q[/texx] ha sido "demostrada".

O sea, manipulando expresiones del lenguaje L, uno pasa de unas expresiones a otras mediante meras transformaciones de "símbolos" y a eso es lo que uno llama "demostrar".
Se permiten sólo "axiomas" y "modus ponens" para ir "demostrando" nuevas proposiciones.



Prosigamos.

Ahora uno puede estudiar las expresiones lógicas del lenguaje L, y determinar si entre ellas hay algunas que satisfacen los axiomas A1 ó no, puede estudiar y establecer resultados que indican si ciertas expresiones de L son "demostrables" o no lo son.

Uno puede asignar valores de verdad a las proposiciones mediante algún criterio que se ha de especificar, y en tal caso puede estudiar si las proposiciones verdaderas son demostrables o no, y si las proposiciones demostrables son verdaderas o no.

Los resultados obtenidos para los sistemas axiomáticas A1 y A2 son distintos, porque son sistemas distintos.
Eso es claro, y ni amerita ejemplificar.



Pero ya sea que estudiemos los axiomas lógicos A1 o los axiomas lógicos A2,
en cualquier caso, los resultados obtenidos sobre ellos se logran "razonando" de alguna manera sobre ellos.

Los razonamientos que se hacen sobre ellos se hacen mediante "alguna" clase de inferencia lógica.
Y yo pregunto: ¿cuál lógica usamos de las dos que puse al principio: la LOG1 o la LOG2?

Si nos fijamos, la LOG1 se parece mucho a la A1.
La A1 es como una "pintura" o "retrato" de la LOG1, hecho dentro del "cuadro" del lenguaje L.
La A2 es como una "pintura" o "retrato" de la LOG2, hecho dentro del "cuadro" del lenguaje L.

¿Cuál de las dos lógicas debemos usar para estudiar a las A1 y la A2?
¿Usamos la LOG1 o la LOG2?

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Jabato
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« Respuesta #42 : 03/08/2010, 04:46:34 am »

No se trata de que sea incuestionable sino opcional, indiferente, que puede ser aceptado ó no.

Está muy claro, las conclusiones usando uno cualquiera de los sistemas pueden ser muy distintas unas de otras, pero si aceptamos uno de los sistemas L1 ó L2 lo aceptamos con todas sus consecuencias. Elige el que más te guste pero no puedes elegir los dos, debes elegir uno de ellos y lo que obtengas será consecuencia de tu elección. ¿Cual es el que debes elegir? No tiene por que haber uno que sea mejor que el otro, deben ser considerados como sistemas independientes y como no puedes discernir cual es mejor si los dos son consistentes cualquiera deberá valer, junto con todo lo que arrastra por supuesto.

Para mi esas son las disyuntivas, eliges un sistema lógico y te atienes a él. Es que no veo la forma de poder criticar un sistema lógico. Si me dices en que forma podríamos discernir cual de entre dos sistemas lógicos es el mejor pues veríamos en que forma y de que manera, pero contéstame a esta última pregunta ¿como, en base a que criterios, decidimos cual de los sistemas es el que vale y cual no? Yo, sinceramente no veo la forma, pero es que aún hay más, es que yo creo que no la hay salvo que algún día se demuestre que alguno de ellos es inconsistente porque conduzca a contradicción, cosa que dudo llegue a ocurrir.

Te dire otra cosa también, pero esto es un tema opinable, para mi el principio de tercero excluido es demasiado rígido, encorseta la matemática y no permite su desarrollo. Creo que es posible crear otras lógicas más abiertas al mundo, más realistas, pero eso es solo una opinión. 

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« Respuesta #43 : 03/08/2010, 04:54:12 am »

No hay "una sola" lógica, hay muchas. ¿Cuál elijo?
Hay lógicas que no aceptan el "tercero excluido".
Hay expertos matemáticos que dicen que "hay que rechazar el principio del tercero excluido".
Hay otros que dicen que "hay que aceptar el tercero excluido".

¿A quién le creo? ¿A cuál de los dos?

Claro, estamos hablando de construcciones mentales. Se puede elegir.
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« Respuesta #44 : 03/08/2010, 04:57:01 am »

Hola Ser Humano.

Cita
Claro, en ningún momento afirmo ello. Y si lo hice, fue un error   . Lo que sí digo es que para formular el algoritmo de resolución se tiene que tener en cuenta "a que hace referencia" cada símbolo, es decir, tener en cuenta cuales son las nociones que se manejan, más allá del símbolo que se implemente.

No, no se tiene que tener en cuenta nada, porque para plantearle el algoritmo a la computadora, eso es totalmente irrelevante.
Si a mí me da "amnesia" y me olvido para qué programé el algoritmo, la máquina seguirá dando los mismos resultados.
Y eso muestra que lo único que importa, a nivel de lenguaje, es "el procedimiento" y no el "sentido" o las "nociones" implicadas.

Los caracteres no necesitan significado, ni sentido, ni estar asociados a nociones, para transformarse unos en otros.

Si en vez de usar el signo "=" usara el signo "*", sería lo mismo.
Los axiomas serían quizá de la forma: [texx](x*y)\wedge(y*z)\Longrightarrow{(x*z)}[/texx], y eso solamente me estaría diciendo que, a fin de cuentas, el símbolo "*" servirá para indicar alguna relación transitiva.

Poco importa si le llamo "=" o "*" o "\omega", o lo que se te ocurra.
La "transitividad" no me la da lo que "el símbolo (=) me sugiere", sino que su "sentido" está dado "a posteriori" exclusivamente por los axiomas que yo haya puesto de Reflexividad, Simetría y Transitividad.

Todo sistema axiomático funciona así. Los objetos o símbolos de una teoría no tienen significado alguno, hasta que uno estipula axiomas que han de cumplir y que los vinculan entre sí.
El significado de los símbolos se adquiere luego tras ver cómo esos axiomas permiten "jugar" a los objetos primitivos de la teoría entre sí.



Es más, se puede estudiar una teoría axiomática sin siquiera preocuparse por si representan una noción "intuitiva" o no que a uno le inspire algo.

Si planteo los axiomas siguientes:

Elementos primitivos: [texx]P,L[/texx] (ciertos conjuntos).

(1) [texx]\forall{r}(r\in{L}\Rightarrow{r\subset{P}})[/texx]
(2) [texx]\forall{a\forall{b}}(a\in P\wedge b\in P\Rightarrow{} \exists{r}(r\in{L}\wedge a\in{r}\wedge b \in{r}))[/texx]
(3) [texx]\forall{r\forall{s}}(r\in L\wedge s\in L\Rightarrow{} \exists{a}(a\in{P}\wedge a\in{r}\wedge b \in{s}))[/texx]

¿Qué sentido tienen esos axiomas?
Un montón de situaciones podrían modelarse con esos axiomas.
Pero en principio no hace falta que correspondan a ninguna "noción".
Y sin embargo uno puede demostrar teoremas a partir de suponer la validez de (1), (2) y (3).


Cita
¿La verdad la conclusión no está asegurada por la verdad de las premisas?

Sí, pero el "procedimiento" de demostrar es distinto que el "cálculo" de verdad.

Hay teorías que están tan mal hechas, que se puede demostrar todo en ellas, tanto lo verdadero como lo falso.
¿Qué es lo que está mal en ellas, el criterio de verdad, el método de demostración, o los axiomas?

Hay teorías en las cuales, si algo es demostrable, entonces es verdadero.
Pero si es verdadero, no quiere decir que haya una demostración que lo pruebe.
Es el caso de la aritmética misma, sin ir muy lejos.

El "procedimiento" de demostrar es sólo eso, un procedimiento, que transforma unas cadenas de símbolos en otras, y al final se obtiene "algo", otra cadena se símbolos.
Luego uno puede "calcular" si esas cadenas de símbolos son verdaderas o no.

Si la teoría está bien construida, entonces las demostraciones sólo conducen a resultados verdaderos.



Fijate si la explicación que le di a Jabato de las diversas etapas de construcción te aclaran un poco cómo se trabaja hoy en día en la matemática "estándar".

Etapa 1: una lista de símbolos S.
Etapa 2: un lenguaje L.
Etapa 3: Unas reglas de "demostración" o "inferencia".
Etapa 4; Axiomas

Y habría que agregar aún una:

Etapa 5: Asignar valores de verdad a las expresiones de L, y ver "qué onda".



Sin embargo, que la matemática estándar sea así, no significa que siempre vaya a quedar así.
Eso no se sabe.

Veo que te cuesta "despegar" los símbolos de sus "sentidos" o "intenciones" o "ideas" asociadas.
La matemática de hoy mantiene esas cosas "despegadas" para poder estudiarlas.
Pero a lo mejor haya que volver algún día a "volverlas a pegar".



En todo esto anda dando vueltas la lógica de aristóteles...
Yo doy por sentado que eso no sirve más, es anticuado.
¿Será ese mi error?

Hoy en día se conocen muchas cuestiones sobre la lógica del "lenguaje natural", pero son complejas.
No es para nada algo "trivial".
Y no puede uno "aceptar alegremente" que hay una "lógica ahí" que nos soluciona la vida.
Porque en realidad no somos concientes de los peligros que esa lógica acarrea.
De hecho, está llena de peligros, paradojas, se cuelan falacias de forma imperceptible por todas partes.

Así que "aceptar que hay una lógica incuestionable" no me parece que esté bien, porque según veo yo: NO ESTÁ CLARO CUÁL ES ESA LÓGICA INCUESTIONABLE.
Si hubiera claridad, unicidad, si por lo menos no hubiera dudas de cuáles son sus reglas en todos los casos, podría quizá aceptarla.
Pero la canoa me hace agua por todos lados.

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« Respuesta #45 : 03/08/2010, 05:00:48 am »

Es que no veo la forma de poder criticar un sistema lógico. Si me dices en que forma podríamos discernir cual de entre dos sistemas lógicos es el mejor pues veríamos en que forma y de que manera, pero contéstame a esta última pregunta ¿como, en base a que criterios, decidimos cual de los sistemas es el que vale y cual no? Yo, sinceramente no veo la forma

De acuerdo.

Cita
Te dire otra cosa también, pero esto es un tema opinable, para mi el principio de tercero excluido es demasiado rígido, encorseta la matemática y no permite su desarrollo. Creo que es posible crear otras lógicas más abiertas al mundo, más realistas, pero eso es solo una opinión. 

Ahi no, es al revés. Se mofaba Hilbert de los intuicionistas diciendo que a propósito se ataban un brazo para boxear.
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Jabato
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« Respuesta #46 : 03/08/2010, 05:01:18 am »

Probablemente el único principio que deba ser aceptado por cualquier lógica posible, y que por lo tanto la caracteriza, es el Principio de no contradicción, todo lo demás es opcional, prescindible si quieres. Realmente la lógica podríamos verla como el arte de no contradecirse. Construye unos principios y aprende a preservarlos de forma sistemática mediante el uso de una pocas reglas (lógica proposicional, lógica de predicados, etc.)

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« Respuesta #47 : 03/08/2010, 05:18:14 am »

Cita
Te dire otra cosa también, pero esto es un tema opinable, para mi el principio de tercero excluido es demasiado rígido, encorseta la matemática y no permite su desarrollo. Creo que es posible crear otras lógicas más abiertas al mundo, más realistas, pero eso es solo una opinión.

Bueno, por lo que he leído sobre el tema, te diría que es al revés, que en realidad "negar el tercero excluido" es algo que pone muchas restricciones a la matemática.

En realidad, no permite demostrar muchos resultados matemáticos clásicos que nos gusta mucho usar.



Ahora bien, con la nomenclatura que me inventé unos posts atrás,
te puedo decir lo siguiente: "razonando" en el estilo LOG1 (Russell) se ha "demostrado" que la lógica A1 (como Russell, pero ya dentro del lenguaje L), es "consistente".
O sea, da la sensación de ser una lógica muy sólida y confiable.

Como la lógica A2 (la intuicionista "dibujada" dentro del lenguaje L) tiene un axioma menos que la A1, es también "consistente".

Ser "consistente" quiere decir que "de una proposición no se puede demostrar su negación".

Quizá Phidias me pueda corregir en estas definiciones, ya que los lógicos son algo más puntillosos en esto, y todo se vuelve cada vez más "sutil".
Pero mi definición al menos "se entiende" a los fines de esta charla.

Los "resultados" de "consistencia", tanto de A1 como de A2, se deben hacer, claro está, como parte de la "metateoría", o sea, "razonando" según LOG1 (Russell) o según LOG2 (intuicionismo).

El hecho es que, en efecto, se usar LOG1 (Russell) para todo esto.

Luego está la cuestión de la "completitud".
A los axiomas de una teoría se les da el "valor" verdadero, arbitrariamente, porque para eso son Axiomas.
Luego se definen recursivamente en las expresiones del lenguaje cuáles proposiciones son verdaderas y cuáles falsas.

Una teoría es "completa" cuando existe una "demostración" para toda proposición "verdadera".
La teoría A1 es "completa", y esto quiere decir que todo lo que sea "verdadero" se puede demostrar en esa lógica.

La teoría A2 no sé si es "completa", creería que sí, porque es una subteoría de A1, pero en todo caso ojalá que Phidias me lo pueda confirmar.

No obstante, de nuevo, estos resultados de "completitud" pertenecen a la metateoría,
y para obtenerlos se ha "razonado" usando LOG1.



Si uno usara LOG2, ¿a qué resultados llegaría?



¿Y si usara alguna otra lógica?



De modo similar, también hay "opciones" acerca de las propiedades a usar de los números naturales.
Aunque los números naturales tienen su propia teoría dentro del lenguaje L,
hay cosas de ellos que se podrán probar o no, según qué axiomas se adopten, si los usuales, o los meros constructivistas.

¿Cuáles usar en la "metateoría"?

Y en todo caso, si esto se pudiera más o menos "limpiar", hay resultados "metateóricos" que implican el uso de "cardinales infinitos".
Y eso ya me supera la capacidad de tolerancia.

Lo veo con la misma ambigüedad que si usar "el valor" de una función compleja-multivaluada.

Son demasiadas concesiones.

Digo yo... a lo mejor todo tiene arreglo. Pero por ahora lo ignoro  :BangHead:
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« Respuesta #48 : 03/08/2010, 05:29:08 am »

Probablemente el único principio que deba ser aceptado por cualquier lógica posible, y que por lo tanto la caracteriza, es el Principio de no contradicción, todo lo demás es opcional, prescindible si quieres. Realmente la lógica podríamos verla como el arte de no contradecirse. Construye unos principios y aprende a preservarlos de forma sistemática mediante el uso de una pocas reglas (lógica proposicional, lógica de predicados, etc.)

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Y bueno, pero muchas lógicas satisfacen eso.
Estoy de acuerdo con vos en que inclusive "toda lógica" debiera satisfacer la "no contradicción".

Pero ese sólo principio no alcanza para "determinar" una sola lógica definitiva.

Mas, creo que esto que has dicho, tan simple, podría ser la roca inicial en qué apoyarse.
Habría que ver "cuánto" puede obtenerse a partir de ese sólo axioma.

Escrita como axioma en el lenguaje L, tiene este aspecto:

[texx]\sim{(p\wedge \sim{p})}[/texx]

Si aplicamos (o mejor dicho, si aceptamos) ley distributiva y leyes de De Morgan, queda:

[texx]\sim p{\vee (\sim\sim{p})}[/texx]

No sé si pueda hacerse mucho más.



En cuanto a la lógica "estándar", la cual he llamado LOG1, y luego A1 dentro de L,
tiene la virtud de que las proposiciones verdaderas corresponden a tautologías, cuando uno usa las famosas tablitas de verdad.




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Jabato
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« Respuesta #49 : 03/08/2010, 05:35:46 am »

Pues no lo sé, yo ya ando muy perdido, quizás tengáis razón y sea cierto que negar el principio de tercero excluido es lo que encorseta la matemática, lo leí también por ahí en alguna parte. En fin no sé ya que opinar, el debate extralimita mis conocimientos y prefiero leeros que decir tonterías ó simplezas que a lo más que creo llegar.

En cualquier caso de los cuatro apartados que citaste:

Etapa 1: una lista de símbolos S.
Etapa 2: un lenguaje L.
Etapa 3: Unas reglas de "demostración" o "inferencia".
Etapa 4; Axiomas

El único que parece ser cuestionable, opinable ó criticable es el segundo, y tu mismo has dicho que es el único que no afecta a la consistencia del sistema lógico, que si al programador se le olvida el lenguaje con el que programó a la computadora la máquina seguiría funcionando y demostrando teoremas sin problemas, estoy de acuerdo en eso, pero eso supondrá que la consistencia de sistema es independiente del la interpretación que hagamos nosotros de los símbolos que utilicemos ¿no?

Con los símbolos, los axiomas, y las reglas de inferencia sería suficiente.

Por otro lado los símbolos es indiferente cuales sean, no en cuanto a su cantidad, pero si a cuales usemos. Por lo tanto hemos eliminado las cuestiones semánticas y lo que nos queda son las reglas y los axiomas.

¿Podemos cuestionar las reglas de inferencia? Pues no estoy demasiado seguro. Pero en cualquier caso las distintas lógicas se resumirían en un conjunto de símbolos (una cantidad de símbolos para ser exactos) unos axiomas y un conjunto de reglas de inferencia.

Quedaría pendiente decidir si podemos modificar las reglas de inferencia y con qué criterio podemos hacerlo y esa es realmente la única duda que me queda. ¿Con qué criterios se construyen las reglas de inferencia? ¿Son fijas ó pueden modificarse a voluntad? ¿Que normas deben cumplir dichas reglas?

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« Respuesta #50 : 03/08/2010, 06:01:30 am »

El único que parece ser cuestionable, opinable ó criticable es el segundo, y tu mismo has dicho que es el único que no afecta a la consistencia del sistema lógico, que si al programador se le olvida el lenguaje con el que programó a la computadora la máquina seguiría funcionando y demostrando teoremas sin problemas, estoy de acuerdo en eso, pero eso supondrá que la consistencia de sistema es independiente del la interpretación que hagamos nosotros de los símbolos que utilicemos ¿no?

Bueno, en realidad no, porque las "computadoras" no son capaces de estudiar la consistencia o completitud de un lenguaje y los axiomas que le pongan.
Se trata de "metateoremas" que requieren que un "humano" los demuestre.

Si uno quisiera que una máquina sea capaz de hacer todo el trabajo, tendría una lógica diferente, más restringida que la que usamos los "humanos", y habría resultados metateóricos que no se podrían "probar" (estoy usando un sinónimo de la palabra "demostrar", para no confundir los contextos).

Por ejemplo, hablando de computadoras, hay un teorema equivalente al de Godel relacionado a máquinas de Turing, que dice lo siguiente:
"Hay un programa de computadora P del cual no se sabe si termina en finitos pasos o si se sigue ejecutando eternamente".
O sea, es "indecidible" en el sentido de "terminar de ejecutarse o no".

Según lo que yo sé (y si no me equivoco en esto), una computadora no es capaz de expresar o establecer o probar ese resultado de la máquina de Turing.
No tiene suficiente "poder expresivo", porque la computadora misma es una máquina de Turing.

Para poder probarlo, la máquina tendría que analizar "infinitos" programas al mismo tiempo, y eso no es posible, porque la máquina sólo puede analizar "de a una sola cosa a la vez".
Las máquinas son "constructivistas", ya que pueden "iterar" (tras el natural n pueden pasar a imprimir el natural n+1, y así sucesivamente), pero no son capaces de imprimir "todos los naturales n" en un solo golpe de vista.

Ahí se nota la diferencia entre el "infinito potencial" (de Brouwer) y el "infinito real" (de Cantor).

¿Cuáles de esos dos "infinitos" tengo permitido usar al "razonar" en una metateoría?

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« Respuesta #51 : 03/08/2010, 06:16:14 am »

Cita
Bueno, en realidad no, porque las "computadoras" no son capaces de estudiar la consistencia o completitud de un lenguaje y los axiomas que le pongan.
Se trata de "metateoremas" que requieren que un "humano" los demuestre.

Aunque en realidad ahora dudo de esto que dije.

Después de todo, esto depende de la "metalógica" que uno use.

Ya me embrollé yo mismo.
Ahora sí que no entiendo más nada.  :cara_de_queso:
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Jabato
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« Respuesta #52 : 03/08/2010, 06:16:28 am »

Ahí ya me pierdo, lo de la maquina de Turing es interesante pero ni idea de qué va la cosa. Contéstame a mi última pregunta, por favor:

"Quedaría pendiente decidir si podemos modificar las reglas de inferencia y con qué criterio podemos hacerlo y esa es realmente la única duda que me queda. ¿Con qué criterios se construyen las reglas de inferencia? ¿Son fijas ó pueden modificarse a voluntad? ¿Que normas deben cumplir dichas reglas?"

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« Respuesta #53 : 03/08/2010, 06:40:33 am »

Bueno, no entiendo exactamente en relación a qué va esa pregunta.

Creo que me preguntás esto:

Dados unos símbolos S, y un lenguaje L hecho con ellos,
se dan después unos Axiomas lógicos A1, A2,...

Esa lista de axiomas lógicos son como cualquier otra lista de axiomas.
Es una lista de "expresiones" escritas en el lenguaje formal L, y listo.

En principio, no hay criterio alguno para dar esas reglas.
La gente es capaz de inventar muchas lógicas distintas.
Yo te dí dos ejemplos clásicos sencillos: la lógica clásica, y la intuicionista, que lo único que hace es "quitarle" el axioma del "tercero excluido" a la lista clásica.
Del thread del Teorema de godel, te copio la lista que dio Gustavo de los axiomas de la lógica "clásica", en su momento :


Finalmente, agregamos al lenguaje un símbolo especial, digamos [texx]\otimes{} [/texx], que servirá para escribir sucesiones de fórmulas. Formalmente definimos:

Axiomas lógicos:

Por definición, un axioma lógico es cualquier fórmula que se obtenga de los esquemas siguientes. (Como ya dije en otro mensaje, estos esquemas definen en realidad un algoritmo que permite reconocer, dada una fórmula, si ésta es, o no, un axioma lógico.)

1. [texx]F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F)[/texx], donde [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fórmuas cualesquiera.

2. [texx]F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}H)\Rightarrow{}((F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}H))[/texx], donde [texx]F[/texx], [texx]G[/texx] y [texx]H[/texx] son fórmuas cualesquiera.

3. [texx](-F\Rightarrow{}-G)\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F)[/texx], donde [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fórmuas cualesquiera.

4. [texx]\forall{x}F(x)\Rightarrow{}F(x/t)[/texx].
Una explicación aquí: [texx]x[/texx] respresenta una variable cualquiera y cuando escribimos [texx]F(x)[/texx] entendemos que [texx]x[/texx] es una variable libre en F, [texx]t[/texx] es un término y [texx]F(x/t)[/texx] es la fómrula que se obtiene reemplazando toda aparición de la variable [texx]x[/texx] por el término [texx]t[/texx]. Una restricción: si [texx]t[/texx] tiene variables, ninguna de éstas puede aparecer afectada por un cuantificador al efectuarse el reemplazo.

5. [texx]\forall{x}(F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}\forall{x}G)[/texx] siempre que [texx]x[/texx] no aparezca libre en [texx]F[/texx].

6. [texx]x = x[/texx], donde [texx]x[/texx] es una variable cualquiera.

7. [texx]x = y \Rightarrow{} y = x[/texx], donde [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] son variables cualesquiera.

8. [texx]x = y \Rightarrow{} (y = z\Rightarrow{} x = z)[/texx]

9. [texx]x = y \Rightarrow{} t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) = t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n)[/texx], donde [texx]t[/texx] es un término cualquiera.

10. [texx]x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n)[/texx], donde [texx]F[/texx] es una fórmula cualquiera.

Los axiomas 9 y 10 dicen esencialmente que si [texx]x=y[/texx] entonces podemos reemplazar libremente [texx]x[/texx] por [texx]y[/texx].

Los esquemas del 1 al 5 son los axiomas de la lógica primer orden, al agregar los otros se obtiene la lógica de primer orden con igualdad.

Ahora bien, para que la lógica "trabaje" hacen falta "reglas de inferencia".

Si hay una lista de proposiciones, todas ellas "axiomas" o "demostradas",
si entre ellas figuran [texx]p[/texx] y [texx]p\Rightarrow{q}[/texx], entonces está permitido "escribir" una nueva proposición, a saber, [texx]q[/texx], y se la considera "demostrada".
Ese es el razonamiento "Modus Ponens".

En la lista anterior están dados unos axiomas escritos todos con [texx]\Rightarrow{}[/texx].
No figura explícitamente la ley de "no contradicción", así que habrá que "demostrarla" a partir de los axiomas puestos ahí.

Lo mismo con la ley del "tercero excluido", que no me queda claro cómo se demuestra a partir de esa lista de axiomas. Imagino que habrá que hacer varios cálculos hasta lograrlo.

Mas, la cuestión es que uno puede dar entonces otra lista de axiomas en los que figure el "principio de no contradicción":
[texx]\sim{(F\wedge\sim{F})}[/texx]

Y después uno podría mostrar que estos axiomas lógicos son equivalentes a los de más arriba.



Uno puede poner los axiomas que quiera, y también puede elegir la "regla de inferencia" que se le antoje.
A continuación, uno se pone a analizar si esa lógica tiene "algún sentido".

O sea, una lógica que permitiera demostrar todas las proposiciones del lenguaje, no serviría para nada, ya que nuestro sentido común nos dice que, como vos bien decís, no puede aceptarse que sean demostrables tanto [texx]P[/texx] como su negación [texx]\sim{P}[/texx], o sea, no tiene sentido una lógica en que se demuestran "contradicciones".

Luego uno se pone a analizar otras cosas.
Por ejemplo, si con esa lógica es posible construir alguna otra teoría, ya sea de conjuntos , o de números.
Para esto, se agregan más axiomas: axiomas de una teoría específica, o sea, axiomas no lógicos.

Uno podría agregar los Axiomas de Peano, y ver qué pasa.

Al analizar una teoría, uno estudia si los axiomas de esa teoría no se contradicen entre sí, si unos axiomas implican a otros o no (si no lo hacen, se dice que los axiomas son "independientes"), y si la teoría es completa, o sea: dada cualquier proposición p, uno querría poder afirmar si p es demostrable, o bien su negación no-p es demostrable.
Si hay una proposición sobre la que no se puede demostrar ni p ni no-p, se dice que p es "indecidible", claro está, y la teoría que la contiene se dice que es "incompleta", pues hay algo que no se puede demostrar.

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« Respuesta #54 : 03/08/2010, 06:49:38 am »

Todos estos "análisis" y "estudios" acerca de un "sistema de axiomas lógicos" tienen que hacerse usando algún tipo de "razonamiento".
Pero ese "razonamiento" es "externo" al sistema lógico que estamos analizando.

Si "se parecen", es sólo una cuestión intuitiva, porque en realidad, fuera del lenguaje formal L, estamos usando sólo "metarrazonamientos", o como dicen por ahí, "el lenguaje natural", el "sentido comùn", o cosas por el estilo.

Yo podría aceptar esto, siempre que el nivel de complejidad de los resultados de la "metalógica" se mantuvieran dentro de un cierto grado de "sencillez" o "simplicidad".
Pero ocurre que los resultados "metalógicos" son cada vez más complejos y profundos.

Y entonces me preocupo porque, al menos a mí me lo parece, hay un gran descuido en las bases de toda esa teoría.
Cuando una teoría (en este caso "metateoría") se vuelve demasiado compleja y profunda, no puede seguir basándose en el "lenguaje natural" o un supuesto "sentido común", o una noción más o menos intuitiva de "número natural".

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« Respuesta #55 : 03/08/2010, 07:06:06 am »

Usando la "flechita", la no contradicción tendría este aspecto, que a lo mejor se puede deducir más rápido:

[texx]\sim{(p\Rightarrow{\sim{p}})}[/texx]

A mí me gusta más este como un Axioma básico, igual que a vos, y no como algo que haya que "demostrar".
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« Respuesta #56 : 03/08/2010, 08:45:32 am »

Pero no, no has contestado a mi pregunta creo, los símbolos, el lenguaje y los axiomas, que deben ser expresados usando los dos primeros claro está, no son lo que yo busco. Lo que ando buscando es cuales son las reglas que deben respetarse para desarrollar teoremas a partir de los axiomas.

Por ejemplo, en lógica proposicional ó lógica aristotélica creo que son las famosas reglas del silogismo las que priman, en lógica de predicados que es una extensión de la anterior existen también unas reglas para transformar correctamente unas fórmulas en otras, imagino que en lógica de segundo orden ocurre lo propio, pero ... ¿quien ó qué establece cuales deben ser las reglas y porqué unas son correctas y otras no?

No sé si me explico con claridad.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Jabato
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« Respuesta #57 : 03/08/2010, 09:17:53 am »

Por ejemplo, veamos unos ejemplos secillos, de donde sale que se cumple:

[texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx]

Es demostrable ó se acepta por definición.

Y esta otra:

[texx]a=b\quad\Rightarrow{}\quad b=a[/texx]

etc.

Resumiendo, ¿como se construyen los teoremas? ¿quien ó qué decide que sea en esa forma en la que debe hacerse y no en otra?

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Alexey
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« Respuesta #58 : 03/08/2010, 01:03:42 pm »

Por ejemplo, veamos unos ejemplos secillos, de donde sale que se cumple:

[texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx]

Es demostrable ó se acepta por definición.

Y esta otra:

[texx]a=b\quad\Rightarrow{}\quad b=a[/texx]

etc.




Resumiendo, ¿como se construyen los teoremas? ¿quien ó qué decide que sea en esa forma en la que debe hacerse y no en otra?

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:

Os repito que esas preguntas son las que intento responder Wittgenstein. No quiero ser pesado pero en serio que este debate empezaría a dar sus frutos si lo estudiáramos cuanto más posible. Y repito, no es su vida emocional lo que importa sino la estructura mental de su clase y su época que le otorgan las herramientas de su pensamiento. Lo de que no hay que estudiar muchas cosas porque después tenemos un cacao mental es una idea que es fruto de no querer estudiar históricamente esas cosas. Cuanto mas leas mejor, esa es la ley. Bueno, como no quiero daros el coñazo paso a debatir con vosotros sin considerar la filosofía existente.

Uno de los planteamientos mas interesantes de las matemáticas es lo que acabas de mencionar de si es posible una explicación de [texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx] o simplemente tenemos que asumir este hecho como un dogma de fe sobre el cual cimentar todo nuestro conocimiento. Una explicación tendría que profundizar el la definición del símbolo =.
Es por esto que en teoría de conjuntos no existe definición sobre lo que es un conjunto, sino que se dice sistemáticamente que es un concepto autoevidente o concepto primitivo; es decir que se tiene que asumir como dogma y punto. Los axiomas de la teoría de conjuntos o los de la lógica no están sujetos a duda. Por eso son axiomas y no teoremas.

Lo importante de este debate es el entender que la lógica de lo que se encarga no es de encontrar los principios fundamentales que estructuran la realidad sino de encontrar las estructuras ancestrales que en lo profundo de nuestra mente subyacen para darnos esquemas de comprensión de aquello que nos rodea (según la interpretación de Copenhague estas dos cosas son la misma en realidad).

Lo que buscamos con la lógica por tanto es la base que nos permite tener nuestra forma de ver el mundo. Si cambiáramos algún axioma de la lógica o de la teoría de conjuntos desarrollaríamos nuevas matemáticas con las cuales habría otras formas de analizar los fenómenos o incluso predecir otros. Seguramente hayamos descartado todas las posibles gracias al hecho de que nuestra visión del mundo es una muy concreta y otra lógica no tiene lugar en nuestra visión. Es como cuando nació la geometría de Lobachevsky con tan solo cambiar un axioma (el de las paralelas) de la geometría de Euclides. Ese axioma nos parece evidente e imposible de refutar, pero si le damos otra forma (que en principio parecerá no tener cabida en nuestro mundo) como la que le otorgaron los nuevos matemáticos se puede construir toda una nueva geometría que explique muchas cosas de nuestro entorno y permita a nuestra mente expandir su cosmovisión.

Esto nos lleva a una duda importante: ¿todos los seres pensantes (perdonan esta jerga pero no siempre se encuentran palabras adecuadas) desarrollarían unos axiomas lógicos como los nuestros? es mas, ¿todas las culturas comparten los mismos axiomas de la lógica? Numerosos antropólogos investigan en esta línea y creen que no. Solo la cultura occidental puede ver estos axiomas lógicos (hoy en día se considera que occidente se extiende por toda la tierra y son pocas las culturas que no han entrado en choque con esta).

Ahí esta el meollo de la cuestión. Si buscamos (volviendo a lo que comentaba antes) una definición de lo que representa ese símbolo que nosotros escribimos como = seguramente necesite de un modelo mas básico aun de razonamiento, tan básico que no nos es posible comprender ya que para explicarlo seguramente necesitemos de el mismo concepto y por lo tanto crearíamos una falacia lógica.

Podríamos considerar que el principio máximo de la ciencia es la búsqueda de explicaciones. Nuestro objetivo es explicarlo todo. La cuestión es si esto es posible. Hasta ahora lo que hemos hecho ha sido explicar las cosas con conceptos mas simples y reducidos, y esos conceptos mas simples los explicamos con otros aun mas. De tal forma que siguiendo este método hemos llegado a una serie de decenas de axiomas que explican las matemáticas (que a su vez explican la física y seguramente algún día expliquen todas las ramas del conocimiento). Estos axiomas en la practica los asumimos sin considerarlos y sin necesidad de explicarlos, simplemente obedeciéndolos sin rechistar. Pero si nos planteamos seguir con este método para explicarlo todo y continuamos reduciendo el numero de leyes fundamentales y haciéndolas mas universales entonces nuestro objetivo es alcanzar un solo axioma indiscutible del que emanen todos los demás y que partiendo de la asunción de que este sea cierto podamos construir toda la ciencia (no solo las matemáticas). Esto aplicando el método científico de reducir apocas leyes lo que observamos (quizás haya otras formas de buscar una explicación para todo). Este ultimo axioma debe ser indiscutible o todo nuestros razonamientos se vendrían abajo ya que todos tendrían su raíz en el. Seria como una formula todo poderosa y omnipresente en nuestro mundo. Quizás sea el Dios al que los científicos ateos (entre los que me incluyo) tendemos en creer. Es como la teoría del todo.
También tenemos que preguntarnos ¿porque buscamos algo que el solo lo explique todo y no lo hacemos de otra forma? o si esta estrategia es una puramente cultural, ya que los únicos que han buscado los axiomas de las matemáticas y han ahondado en los fundamentos de la lógica ha sido occidente (véase desde cultura griega hasta Gödel).
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Jabato
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« Respuesta #59 : 03/08/2010, 02:23:37 pm »

Pues no sé Alexey, es extensa pero no me satisface tu respuesta. Si no podemos decidir cual es la forma correcta de construir teoremas partiendo de un determinado sistema lógico (símbolos, lenguaje y axiomas) entonces no entiendo nada. Las reglas que me permitan deducir teoremas estarán establecidas, tienen que estarlo. Bajemos un escalón más. Analicemos en primer lugar la lógica proposicional. Imagino que hay unas reglas ¿cuales son? ¿las del silogismo? Y para la lógica de predicados ¿cuales son esas reglas? No me basta con una respuesta como la que me diste, no puede bastarme.

Analicemos algunos ejemplos en detalle, por favor.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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