Pero hacer esto contagia al discurso metamatemático de todas las ambigüedades que surgen de la misma teoría de modelos, puesto que de cada formalización... surgen muchos modelos no isomorfos.
Si se pretende que el discurso de la metamatemática sea inambiguo, debe ser informal, y no digo esto por haberlo "razonado" (aunque parezca un razomamiento lo que hice), sino por mero instinto de supervivencia.
Estas cosas que mi "intuición" me muestra, ¿son meta-meta-matemática?
¿Son correctas?
Vamos por buen camino. He aquí el post prometido.
En la metamatemática (seria y rigurosa) están prohibidas las metáforas, pero no así en la meta-metamatemática. Así que voy a tratar de explicar cómo entiendo yo la metamatemática con una metáfora.
Imagina un hombre que ha vivido siempre en una gran ciudad rodeado de comodidades y, por accidente, naufraga en una isla desierta. Su primera reacción es buscar un árbol que tenga enchufe para recargar su teléfono móvil, pero no encuentra. Luego busca un hotel donde alojarse, pero no hay. Se pregunta qué reglas tiene que seguir para encontrar comida y sobrevivir, pero no tiene reglas. ¿Qué hace? ¿No hacer nada por no tener reglas? Eso lleva a la muerte por inanición, ¿inventarse unas reglas, como afirmar que Dios le ha hablado y le ha sugerido que se tire por un barranco, que Él enviará a sus ángeles para que lo recojan y lo devuelvan a casa? Eso lleva a la muerte por despeñamiento. No. Hay que ver lo que hay y hacer lo que mejor se pueda. Si hay conejos, habrá que cazar conejos, y si hay peces habrá que pescar. Lo que no puede hacer es pedir un inventario donde estén clasificados todos los animales que viven en la isla y determinar a priori con cuáles se va a relacionar y con cuáles no. Eso no existe. Se relacionará con quien le toque relacionarse para sobrevivir.
¿Y cómo sabrá si lo hace bien o mal? Pues, si se muere, es que lo ha hecho mal, y si no se muere, es que lo está haciendo bien, así de claro. Si no se muere, está demostrando con su actuación que lo que haga para sobrevivir está bien hecho. Si al cabo de muchos años, tiene ya experiencia sobre cómo vivir en la isla, y aparece una náufraga y tiene naufraguitos, el náufrago podrá imponer reglas a sus hijos para que, siguiéndolas, tengan garantías de sobrevivir sin necesidad de pensar nada, mecánicamente, haciendo simplemente lo que su padre les permite y no haciendo lo que está prohibido, sin pensar. Y esas reglas no serán disparates, como "para sobrevivir es necesario que cada mañana bailéis un Pas de deux de El lago de los cisnes", sino normas sensatas como "por las noches no debéis salir de la cueva, porque hay lobos". Serán normas estudiadas para ser adecuadas, y no estudiadas por un método basado en normas y declaraciones de principios, sino por el cuidado constante, continuo y atento por no meter la pata en ningún paso. Eso es la metamatemática.
Concretando. Yo (náufrago sin contacto posible con la teoría axiomática de conjuntos) sé que hubo otro náufrago llamado Cantor que pretendió hablar intuitivamente de conjuntos cualesquiera y se murió de contradicción. Por lo tanto, no cometeré su mismo error y no intentaré hablar intuitivamente de conjuntos cualesquiera. ¿De qué conjuntos hablaré entonces? En un primer momento, podría pensar en limitarme a tratar únicamente con aquellos conjuntos de los que pueda determinar efectivamente cuáles son sus elementos, como es el caso de los números naturales, o el de los números primos, o el de los números mayores que mil, etc.
Sin embargo, mi experiencia me ha enseñado que si me limito a tratar con esos conjuntos me quedo corto a la hora de lograr ciertos fines, y por ello me pregunté: ¿sería posible tratar intuitivamente con conjuntos más generales que aquellos de los que soy capaz de precisar cuáles son sus elementos y cuáles no? Y mi experiencia me ha enseñado que sí que es posible.
No puedo justificar aquí que es posible, porque eso sería hacer meta-metamatemática rigurosa, y mi experiencia me ha enseñado que no existe la meta-metamatemática rigurosa. Lo que existe es la metamatemática rigurosa, y su rigor se pone de manifiesto al recorrerla y comprobar que no se llega a contradicción alguna. Pero hablar sobre los criterios generales que hay que seguir para hacer metamatemática es necesariamente vago y ambiguo. La verdad es que no hay criterios generales. Cada paso que se da debe ser juzgado y aprobado en ese mismo momento. Y si uno da un paso en falso y llega a una contradicción, bueno, no es distinto a cuando uno está demostrando un teorema en ZFC y un amigo le hace ver que ha metido la pata dos hojas más atras. Se borran las dos últimas hojas y se continúa desde ahí.
Digo, pues, que mi experiencia (por ejemplo, mi experiencia al tratar de entender el teorema de completitud de Gödel), me ha enseñado que necesito hablar intuitivamente, pero con rigor, de conjuntos más generales que aquellos de los que puedo precisar cuáles son sus elementos en la práctica, ¿qué clase de conjuntos más generales necesito? Aquellos para los que sé dar sentido a qué significa que un elemento les pertenezca o no, independientemente de que sepa comprobar si se da o no el caso.
Por ejemplo, pensemos en el conjunto de los números naturales que son diferencia de dos primos (y ahora no meto la pata, ya sé que eso no es la conjetura de Goldbach, pero ése es el conjunto que me interesa ahora). ¿Puedo hablar intuitivamente de ese conjunto? ¿Mi intuición me garantiza que existe un conjunto así y que, por lo tanto, no caeré en contradicciónes razonando sobre él?
Yo creo que sí. Observemos que, dado un número natural n par, tal vez no encuentre dos primos cuya diferencia sea n. Podría buscarlos, considerando cada vez pares de primos más grandes, y tal vez pasen años de búsqueda y no encuentre ningún par, pero sé que, o bien hay un par de primos cuya diferencia es n, y tarde o temprano aparecerá en una enumeración de todos los pares de primos o bien no existe tal par, y n no está en el conjunto en cuestión. Tal vez no sepa determinar si un número dado está en ese conjunto o no, pero sé lo que significa que un número esté en ese conjunto o no lo esté. Y creo que eso basta para poder hablar sobre él sin temor a contradecirme al hacerlo.
Fíjate que no puede precisar qué significa "ser capaz de atribuir un significado inequívoco a si un elemento pertenece o no a un conjunto" en general, pero en cada caso particular puedo preguntarme si entiendo lo que significa pertenecer o no pertenecer al conjunto, y si queda alguna duda al respecto es que ese hipotético conjunto no son más que palabras vacías de significado intuitivo.
Es lo que ocurre, no ya con el conjunto de todos los conjuntos, sino simplemente con el conjunto de todos los subconjuntos de
. Si me preguntan qué significa que una afirmación sobre ellos sea verdadera o falsa ¿cómo debo entender eso? No tengo ninguna forma de representarme intuitivamente todos y cada uno de los subconjuntos de
que podría concebir intuitivamente. Sé lo que es el conjunto de los pares, el de los primos, etc., pero no sé cuántos más tendría que poner en esa lista.
Si me preguntan si todos los números naturales cumplen algo, yo sé que eso significa que el 0 lo cumple y que el 1 lo cumple, y que el 2 lo cumple, etc., lo cual tiene sentido siempre y cuando en cada caso en concreto yo pueda llegar a la convicción de que sé perfectamente qué significa que cada número natural cumpla la propiedad en cuestión, pero, aunque sepa qué significa que un subconjunto de
cumple algo, no sé dar sentido a la afirmación "todos los subconjuntos de
cumplen ese algo", porque no tengo forma de representármelos todos. En particular, no soy capaz de concebir intuitivamente ningún conjunto que no se pueda numerar, al menos en teoría, no necesariamente en la práctica.
Y no es que Cantor tuviera más intuición o una intuición distinta de la mía. Dudo mucho que Cantor pudiera representarse de algún modo el conjunto de todos los conjuntos. Posiblemente, Cantor razonaba sobre él como yo puedo razonar sobre un cubo de cuatro dimensiones, por analogías que pueden ser más o menos fiables en el caso de la geometría de cuatro dimensiones porque sabemos que es consistente, pero no podemos hablar sobre el conjunto de todos los conjuntos imaginando simplemente un conjunto muy grande. La intuición no abarca toda su extensión y no es extraño que surjan contradicciones de él. Nadie puede decir: me imagino perfectamente una cosa, pero esa cosa no puede existir (como concepto lógico, obviamente puedo imaginarme un gnomo).
Por eso te hice aquella precisión cuando me preguntaste si todo subconjunto de
no vacío tiene mínimo (intuitivamente). Como afirmación sobre la totalidad de los subconjuntos de
no tiene sentido para mí, pero lo que sí sé es que si tengo un subconjunto de
bien definido en el sentido de que sepa darle un sentido concreto y libre de ambigüedades a las afirmaciones
está en el conjunto y
no está en el conjunto, y puedo asegurar que es no vacío, entonces tiene que haber un mínimo elemento en ese conjunto.
Te repito la prueba:
Sabemos que tiene sentido afirmar que 0 está en el conjunto o no lo está. Si lo está, ya tenemos el mínimo, si no lo está, pasamos a considerar el 1, y así sucesivamente hasta que encontramos un primer número que está en el conjunto. Ese es el mínimo. Esto tiene sentido si nunca deja de estar bien definida la condición n está o n no está en el conjunto.
Teniendo esto en cuenta, analicemos la paradoja de Berry:
En la matemática formal, toda definición que cumple ciertas reglas define un conjunto. Aquí no tenemos reglas, sólo sabemos que hay expresiones castellanas que puede parecer que definan conjuntos, como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los subconjuntos de
", o "el conjunto de todos los números naturales que saben leer y escribir francés e inglés correctamente y entienden el alemán", que en realidad son palabras a las que la intuición no sabe proporcionarles un significado concreto.
¿Qué sucede con "el conjunto de todos números naturales no definibles en menos de 20 palabras"? (pongo 20 porque así voy sobrado, me da pereza contar cuántas bastarían) ¿Es esto un conjunto bien definido intuitivamente? ¿Tengo una idea intuitiva de cuál es ese conjunto? ¿Sé lo que significa que un número natural sea definible con 20 palabras?
La situación es muy sutil. Es un ejemplo de cómo en la selva te puedes encontrar con cosas que nunca te encontrarías en una ciudad civilizada.
Yo puedo definir el 2 como "el menor número primo", para lo cual necesito cuatro palabras. Sé perfectamente lo que significa "el 2 es definible con cuatro palabras", pero ¿sé lo que significa que un número cualquiera sea definible con menos de 20 palabras (aunque no sepa comprobar si así es)?
Pensémoslo. ¿En qué consiste en general que un número sea definible en menos de 20 palabras? He de considerar la totalidad de las expresiones castellanas que podrían definir números naturales en menos de 20 palabras. Si aceptamos que el vocabulario castellano es finito, se trata de un número finito. Ahora bien, entre ellas habría de varios tipos. Veamos algunos ejemplos:
a) El menor número divisible entre tres primos distintos.
b) El menor número políglota.
c) El menor número que es número de Gödel de una demostración de una contradicción en ZFC.
d) El menor número natural no definible en menos de 20 palabras.
A primera vista, los cuatro sintagmas anteriores definen un número natural en castellano. Pero no es así:
a) El primero veo que define sin duda alguna al número 30
b) El segundo no define a ningún número natural, porque no tiene sentido llamar políglota a un número, salvo que alguien me dé una definición de políglota aplicable a números. Esto ya de por sí podría ser razón para considerar que "ser definible" no está bien definido, pero se podría apañar introduciendo la cláusula de ser definible con las definiciones de las palabras castellanas que figuran en el diccionario, sin introducir jerga.
c) El tercer sintagma no sé si me define o no a un número natural. Si ZFC es consistente no define a ninguno, porque el conjunto sobre el que se toma el mínimo es vacío, mientras que si ZFC es contradictorio sí que define a un número que no sabría decir cuál es, pero no importa. Puedo afirmar que sé lo que significa que el sintagma c) define un número natural, aunque no sepa si es cierto o no y no sepa cuál es ese número en caso de existir.
¿Pero qué ocurre en el caso d)? Estoy tratando de averigüar si puedo dar un significado intuitivo a "ser definible en menos de 20 palabras", pero me encuentro con que el procedimiento natural que me llevaría a darle un sentido a ese concepto (considerar todos los sintagmas de menos de 20 palabras que definen números, considerar los números definidos por ellos y ver si alguno define al número que estoy considerando) me obliga a considerar un sintagma que ya contiene la expresión "ser definible en menos de 20 palabras".
Concluyo que la definición de "ser definible en menos de 20 palabras" es circular. Para darle un sentido aplicable a cualquier número natural (no a algunos casos concretos como el 2) necesito saber previamente lo que significa, luego mi intento de darle un sentido intuitivo fracasa y puedo concluir que no soy capaz de atribuir un sentido intuitivo a "el conjunto de todos los números definibles en menos de 20 palabras". Por consiguiente, mi razonamiento intuitivo de que todo subconjunto de
no vacío tiene un mínimo elemento no se aplica a este pretendido conjunto, ya que no cumple los requisitos de estar bien definido que requería mi prueba.
Si quisiera particularizar sobre él la prueba, me encontraría con esto: puedo asegurar que el 0 no está en el conjunto, porque ciertamente es definible en menos de 20 palabras (por ejemplo, como "el menor número natural") e igualmente sucede con el 1, pero tarde o temprano llegaré a un número para el que no se me ocurra una definición con menos de 20 palabras y, entonces, cuando me plantee qué significa que dicho número sea definible con menos de 20 palabras teniendo en cuenta que no se me ocurre ninguna definición, mi respuesta sera, no que no sé si es definible o no en menos de 20 palabras, sino que, en realidad, no sé qué significa que sea definible o no en menos de 20 palabras.
Por lo tanto, no he caído en ninguna contradicción. Intuitivamente, "el conjunto de todos los conjuntos no definibles con menos de 20 palabras" no es más que un conjunto de palabras imprecisas, como "el conjunto de todos los números naturales muy pequeños", del que podría decir que contiene al 0 y al 1, pero no tiene sentido preguntarse si contiene o no al 100.
La paradoja de Berry sólo demuestra que "el menor número natural no definible en menos de 20 palabras" es sólo una expresión a la que la intuición no puede atribuir un sentido, al igual que no es posible asignar un valor de verdad a la afirmación "esta afirmación es falsa".
Estas curiosidades de la selva exterior a ZFC serán más o menos molestas, pero no perturban a una metamatemática bien meditada, pues (salvo un lapsus equiparable al del matemático que trabaja en ZFC y mete la pata) hacen referencia a conjuntos claramente mal definidos.
Hacer metamatemática rigurosa es asegurarse a cada paso de que todos los conceptos que manejamos están bien definidos, en el sentido que vagamente he indicado antes (porque la meta-metamatemática es necesariamente vaga). Yo no puedo demostrar a priori que esto es viable, ni tú puedes demostrar a priori que es inviable. La única forma de comprobarlo es recorrer el camino y juzgar si las precauciones son adecuadas.
Hace un rato te he contestado a un hilo en el que usas el libro de Ivorra como referencia para la teoría axiomática de conjuntos. Bien, me parece un ejemplo interesante. Ivorra construye toda la metamatemática apoyándose en la intuición. Prescinde de las explicaciones informales que pueda hacer entre definiciones y teoremas y limítate a éstos: ¿encuentras allí metáforas, vaguedades, conjuntos mal definidos, hipérboles y todo eso que decías?
Lo que sí que puedes encontrar son elipsis, pero elipsis no esenciales, debidas a que Ivorra supondrá que sus lectores son matemáticos por el hecho de que sólo a los matemáticos les interesa la lógica matemática, luego dará por hecho que están familiarizados con la matemática formal y eso hace que ciertos argumentos intuitivos se puedan omitir porque cualquiera familiarizado con la matemática formal puede traducir fácilmente un argumento formal conocido a un argumento intuitivo, y sería insultante que Ivorra explicara a sus lectores cómo sumar, cómo operar con números, qué es contar los signos de una cadena de signos, etc.
Pero ante una elipsis, te has de plantear si está omitiendo algo que es imposible de precisar, o simplemente algo que, de ponerse explícitamente, aburriría a sus lectores y multiplicaría por 10 la extensión del libro, pero que nada impide explicitar si alguien se pone pesado.
Si encuentras un paso que consideras que no es fiable, dime cuál es y lo analizaremos. Pero ésa es la única forma de juzgar la metamatemática, atendiendo a sus razonamientos y juzgando si son concluyentes o no lo son, no según si se ajustan a ciertas reglas prefijadas inexistentes e imposibles, sino si dan pie a alguna clase de duda más allá de la mera duda escéptica sistemática y estéril.
Con esto he cumplido mi promesa. Estamos en paz.
