¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

[Jabato]

Una cosa debo decir, después de mis últimos mensajes. Parece que es posible construir los números naturales desde fuera de la matemática, e incluso desde fuera de la lógica (acabo de hacerlo en este mismo hilo, ante vuestros propios ojos), es decir sin usar lenguajes formales ni teoría de conjuntos, ni tan siquiera axiomas, tan solo reconociendo unas pocas funciones de nuestra mente, nada nuevo que no supieramos ya, y con tres principios elementales que a nadie con dos dedos de frente se le ocurriría negar, principio de identidad, principio de no contradicción y la existencia del infinito potencial. Esas han sido mis únicas armas y he conseguido construir los números naturales (para ser exactos un conjunto que satisface todos sus axiomas según se definen en el seno de la matemática).

¿Eso no cambia ningún planteamiento dentro de la lógica ó de la matemática? ¿Es que lo que hice lo hice mal y nadie me dice nada? Y ¡ojo! que dije construir no intuir. Los intuicionistas aceptan su existencia como un principio más, pero eso no es lo mismo que construirlos, creo. Lo que más me asombra es que ni lógicos ni matemáticos de este foro hayan hecho ni el más mínimo esbozo de desacuerdo con mis planteamientos. Estoy seguro que algo debería andar desajustado ó necesitará algún retoque en mi exposición, quizás algún matiz, alguna imprecisión. ¿No? ¿Nada? ¿Todo está perfecto? ¡Uy! que raro, como diría Murphy, no me lo creo.

Pero bien, supongamos que fuera cierto y que puede hacerse, aunque no necesariamente en la forma que yo lo hice, pero sí, supongamos que puede hacerse. Entonces cabe ahora una pregunta:

¿Para qué necesita entonces la matemática a la lógica y a la teoría de conjuntos? Con la aritmética, el álgebra y poco más sería suficiente para desarrollar todo lo que sigue a los naturales. Es una opinión tan válida como cualquier otra pero ... yo lo veo así. La razón sería evidente, si podemos fundamentar la matemática en la lógica, pero no podemos fundamentar la lógica en otra cosa que no sea la intuición, simplificamos considerablemente evitando los lenguajes formales de la lógica, las teorías axiomáticas de conjuntos y apoyando la matemática directamente en las fuentes del razonamiento puro, que están más allá de la lógica, están en la intuición, el sentido común y en la propia naturaleza humana, por supuesto siempre desde la vista que desde aquí se ve. Con lo que acabaríamos concluyendo que la Lógica y la Matemática son hermanas y no madre e hija como parece que se nos quiere vender, siendo además que la segunda es mucho más hermosa.

Saludos, Jabato.

[zonurb1]

Si a la pregunta ¿cual es el conjunto universal de juicios ?la respuesta es un juicio

El conjunto en si no es un juicio, porlo tanto no es miembro de sí mismo

Por ejemplo;
-el conjunto de todas la peras de una cesta , lo podríamos llamar el conjunto universal de las peras
-el conjunto de todas la manzanas de la misma cesta  lo llamamos el conjunto universal de las manzanas
El conjunto universal de la fruta,  incluye a las peras y las manzanas los cuales son subconjuntos .

Pero si me refiero por ejemplo a

1+1=2                                                       ( es una operación matemática, pero a la vez es un juicio)
Pedro es mayor que Juan porque  nació antes  (es otro juicio)
El conjunto universal de los juicios es 100        (es otro juicio)

Y cuando uno se hace la pregunta cuantos elementos o juicios constituyen el conjunto universal de juicios y si mi respuesta es 100 estoy equivocado porque es 100 +1 .

Yo creo que este problema responde a algo físico, porque  cada cosa ocupa un lugar en el espacio , dos manzanas no pueden ocupar el mismo espacio .

La idea de conjunto es una idea abstracta , a su ves decir cuantos elementos hay en un conjunto es un juicio, y cada juicio necesita de un tiempo y de un espacio.

El ultimo juicio no lo puedo contabilizar dentro del conjunto porque ocupa un tiempo y un espacio, y solo me puedo referir a los juicios anteriores que ocupan espacios y tiempos distintos .

¿Puede ser algo no enumerable en absoluto ?,puesto que de la perspectiva humana podríamos medir  en  teóricamente el conjunto de las células de un árbol o sus átomos ,no resultan medibles porque resultan casi infinitos .parece que todo lo externo a nosotros es potencialmente medible o numerable
Pero los juicios pueden ser 100 0 50 y aun así no me resulta numerables.

No se a veces pienso que todo estaría bien si las piedras me dijeran cuantas locas ideas he tenido hoy?   

[Jabato]

Unas cuantas zonurb, puedes estar seguro. ¿Porque el conjunto universal de juicios tiene que ser todos los juicios, incluido éste último? En las teorías modernas el conjunto universal no es más que un contenedor, uno cualquiera, que contiene a todos los juicios con los que vamos a razonar, que no son necesariamente todos los juicios. Lo que estás diciendo es un trabalenguas, pero no es un problema lógico.

Saludos, Jabato.

[zonurb1]

Lo que yo se de Cantor, el trato de elaborar una teoría ,que explicara las matemáticas como parte del universo independiente de cómo nosotros la pudiéramos ver ,Cantor era además profundamente religioso .
Supuestamente todo lo que vemos , todo lo que nos rodea tendría que estar explicado por la teoría de conjuntos ,no podría escapar nada ,de esta forma las matemáticas no serian una visión subjetiva humana de la realidad.

Todo esto es aparentemente cierto nosotros estamos contenidos en el planeta y este en algo mayor  y aquí esta presente el significado de pertenencia
Pero mi inquietud nace de la pregunta ¿si la verdad excite , tiene que existir mas allá de nosotros mismos ?es decir el mundo no solo debe ser medido por nosotros como espectadores del mundo ,sino también al revés nosotros debemos ser medidos por el mundo .
-Es como la teoría geocéntrica en posición a la teoría heliocéntrica

Si es el juicio quien mide al mundo, el juicio debe ser medido por el mundo

Y esto ultimo no ocurre porque transgrede un principio básico de la materia ,”toda materia ocupa un lugar en el espacio”
Por ejemplo una regla puede medir las demás cosas pero no pude medir se así misma ,
porque tendría que ocupar el mismo espacio

Un juicio no puede dar cuenta de si mismo, porque esta inserto en un espacio y un  tiempo determinado

Esta es mi postura no se si entiendo bien a Cantor .

[Jabato]

Bueno, la historia ha puesto de manifiesto que la TC original, la de Cantor, planteaba muchos problemas, por las paradojas sobretodo. Probablemente si hubiera vivido durante más tiempo él mismo la hubiera perfeccionado, ya que fué un gran matemático, eso nadie lo duda, pero no pudo acabar de resolver algunas de las paradojas que él mismo identificó.

En cualquier caso demostrar que hay distintos infinitos, unos mayores que otros, fué uno de los mayores logros de la historia de la matemática y su TC, ó mejor diversas versiones mejoradas de la suya, constituyen hoy uno de los pilares fundamentales de la matemática, así que no cabe duda que su obra es fundamental para la matemática moderna. Fué un incomprendido en su época, y aunque murió loco, no puede afirmarse que siga siéndolo hoy.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Sobre el infinito actual: Cabe aquí hacerse una pregunta, que al menos yo no tengo demasiado clara. Y es sobre la existencia del infinito actual en la matemática.

Parece que el hilo conductor que condujo a Cantor a establecer distintas categorías de infinito fué el descubrimiento de los números reales. ¿Podemos cuestionarnos su existencia? Pues hay algunos flecos sueltos con el tema de los reales, no sé si habeis leido el debate que se originó en este foro recientemente sobre los números indefinibles, y en el que creo que se llegó a una conclusión válida y es la de que por mucho que lo intentemos nunca podremos determinar (identificar, establecer de forma unívoca) el valor de una cantidad continua de números reales, sino tan solo de una cantidad a lo sumo potencialmente numerable.

Hoy en día podemos buscar otros argumentos basándonos en el teorema de Cantor, por ejemplo, el conjunto de las partes de es continuo (ó mejor de cardinalidad mayor que numerable), pero también le podemos aplicar el mismo criterio que a los números indefinibles. No tengo demasiado claro como se demuestra la existencia del infinito actual en la matemática moderna, y me gustaría oir algunas opiniones al respecto, ya que parece que los matemáticos no tienen duda de que tal cosa existe, pero ... ¿es posible demostrar su existencia como ente abstracto? No sé cual es el razonamiento que conduce a tal demostración, pero si aceptamos las objeciones relativas a la numerabilidad de los pensamientos, parece que no debería ser fácil concluir que tal grado de infinitud existe. ¿Existe donde? En nuestra mente no. Está claro que si solo podemos razonar con un conjunto a lo sumo numerable (y solo potencialmente numerable) de ideas abstractas, de conceptos (lo que ya de por sí es mucho), entonces ... ¿podemos afirmar realmente que exista algo en nuestra mente (indivudual ó incluso colectiva) que tenga una cardinalidad mayor que la de potencialmente numerable? Yo diría que no, pero entonces ... los conjuntos continuos que maneja la matemática donde deberían estar si no es en nuestra mente. Aquí ya vuelvo a andar algo perdido. ¿Realmente podemos pensar en un conjunto infinito? ¿Y si no podemos pensar en él entonces como podemos afirmar que tal concepto existe si no es de forma potencial? ¿No estaremos hablando del sexo de los ángeles sin darnos cuenta de ello?

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Jabato: El infinito "actual" se deduce de los axiomas de la teoria de conjuntos estándar, ya sea que tomes ZFC o Morse-Kelley, o NBG.
Son todas teorías "casi iguales", cualquiera de ellas se puede tomar como "estándar" para la matemática actual.

Esos axiomas están colgados en aquel hilo fijo en el subforo de lógica, en el que ya has participado.
Incluso están escritos en su versión "estrictamente lógica" (abrir los spoilers), o sea, en lenguaje de 1er orden.

Si a esos axiomas se agregan los axiomas de la lógica que siempre usamos, y el método de inferencia de Modus Ponens, se puede probar cualquier cosa que hoy día sea "teorema" en matemática (salvo, quizá, algunas excepciones concernientes a asuntos realmente muy abstractos...).

O sea que esos axiomas contienen toda la potencia de la matemática "usual" moderna,
incluyendo a los infinitos "actuales".

Quizá te queden dudas acerca de los infinitos no-numerables, como el de R.
Pero recordarás que R puede construirse por varios métodos a partir de Q (por ejemplo, cortaduras de Dedekind).

Si bien R conviene definirlo concretamente por Axiomas,
para que esos axiomas no hablen de "delirios sin sentido",
hace falta demostrar, como vos estás exigiendo,
que realmente "existe" un sistema de números reales.

Eso se hace mediante las construcciones típicas, que construyen R a partir de Q (las hay muchas: cortaduras de Dedekind, sucesiones de raciones, intervalos encajados).
Todas esas construcciones son válidas en las teorías ZFC y demás que he nombrado.
No se salen de ahí los métodos, inventos, y construcciones realizadas.

Mas, (un modelo de) Q puede construirse a partir de (un modelo de) Z,
y (un modelo de) Z puede construirse a partir de (un modelo de) N.

Así que todo el problema es ahora construir realmente un modelo de N en las teorías de conjuntos estándar.

Bueno, eso es casi trivial, porque el "Axioma del Infinito" establece la existencia de un conjunto que "se comporta como N".
Lo hace por decreto, como buen axioma que es.

La existencia de un infinito numerable "actual" es por decreto.
Esa es su prueba  de existencia...
¿O acaso pensabas construirlo "agregando unos", al mejor estilo intuicionista?

Date una vuelta por ese hilo, y fijate en la lista de Axiomas.
Verás que el Axioma del Infinito es muy explícito: dicta por decreto que hay un conjunto que tiene propiedades muy similares a las de N.
Eso es lo que hace, muy cobardemente.

Pero todos los demás "infinitos actuales" pueden construirse a partir de N, y usando, claro está, la potencia de los demás axiomas.
Eso es "constructivo" ya, y no "decreto", pero lleva más trabajo.

[argentinator]

Aunque sabiendo que hay un N (infinito numerable), se obtiene trivialmente toda una lista inacabable de infinitos "actuales" de orden superior, con tal de tomar simplemente P(N), P(P(N)), etc.

Y es que se usa el "Axioma de Partes", y un teorema clásico que demuestra que para todo conjunto A, el cardinal de A es menor estrictamente que el de P(A).

[Jabato]

Claro, claro, yo hasta ahí ya llegaba, creo, pero la cuestión que yo planteaba es algo más sutil, ya que lo que yo me he cuestionado antes (aunque quizás no lo he explicado bien) es la forma en que se pasa de un infinito potencial a un infinito actual, que es quizás donde está el meollo de la cuestión. Si es por real decreto pues ya está, aclarada mi duda, pero los reales decretos no garantizan que no estemos hablando del sexo de los ángeles. También podemos establecer como axioma que existe un planeta en el que viven dragones rojos decorados con topitos azules.

Así que resulta que los matemáticos resuelven los problemas filosóficos de fondo a base de axiomas, no está mal pensado. Pero entonces decir que el problema del infinito actual es un problema resuelto por Cantor resulta ciertamente eufemistico:

1º.- El infinito potencial nadie lo cuestiona, así que no hay problema con él.

2º.- El infinito actual existe porque así se establece.

Problema resuelto.

En cualquier caso me basta como respuesta para el debate pero ... no sé ... quizás convendría replantearse algunas cosas.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

El infinito acutal existe por decreto.

[Jabato]

Está claro argentinator, ahora bien desde esta perspectiva podemos establecer una sutil diferencia entre los números pre-naturales (los saco a colación solo de forma puntual y como ejemplo) que construí unos mensajes atrás y los naturales, , construidos por ejemplo con los axiomas de Peano en el seno de la TC. Los primeros son potencialmente infinitos (no podemos construir agrupaciones infinitas aunque sí tan grandes como queramos) y los segundos son actualmente infinitos, ya que dichos axiomas (los de Peano) establecen que si existe un conjunto que los satisfaga entonces ese conjunto es y es infinito, pero por el axioma de infinitud se concluye que al menos existe un conjunto que los satisface, luego ya tenemos en el ámbito de la existencia el infinito actual (por real decreto, sí, pero establecido).

Algunos comentarios: Cuando en matemática decimos existe (ó usamos el símbolo ), ¿donde debemos entender que se produce esa existencia? ¿En nuestra mente? Creo que es en nuestra mente, sí, ¿dónde sino?. Entonces la existencia de infinitos objetos debería ser potencial, no puede ser actual debido a las limitaciones propias de nuestra naturaleza como especie biológica. Pero el axioma de infinitud establece que nuestra mente es capaz de contener un conjunto infinito porque afirma que existe un conjunto tal que si contiene al elemento entonces contiene también al elemento y, sinceramente, eso es más que cuestionable (en lo que concierne a las habilidades de nuestra mente desde luego es imposible). Todo lo que se deduciría de esa conclusión repercute en el razonamiento de forma directa y nos lleva a cuestionar el concepto matemático del infinito actual y la verosimilitud del axioma de infinitud. ¿Lo aceptamos como axioma?, bien, pero seamos conscientes de qué es lo que realmente estamos haciendo cuando aceptamos como válida tal afirmación. El axioma puede establecerse pero las conclusiones a las que se pueda llegar algún día con él podrían alejarse bastante de una lógica digamos ... razonablemente compatible con la naturaleza humana ó incluso con "mentes artificiales", computadoras, inteligencia artificial, etc.

La resolución del problema del infinito actual (aparte de las soluciones por decreto) pasa en todos los casos por la consideración de si nuestra mente es capaz de abstraer un tal concepto ó no. De si podemos realizar el salto de lo potencialmente infinito a lo realmente infinito. ¿Podemos? Una buena pregunta. Desde luego si nuestra mente es capaz de hacerlo no es vía percepción. Podemos abstraer propiedades de objetos percibidos que realmente las tienen. Los conceptos rojo, redondo, etc son conceptos abstraidos de la percepción de objetos que realmente eran rojos ó redondos. Pero ... ¿de donde saldría la abstración del infinito? Solo se me ocurren tres posibles respuestas:

a) O bien procede de la percepción de lo potencialmente infinito. ¿Quien no se ha sentido fascinado alguna vez por la contemplación del cielo, plagado de estrellas, una noche clara de verano ó por la idea de vivir eternamente? Esta respuesta admite pues la posibilidad de que, de la observación del mundo, nuestra mente sea capaz de abstraer un tal concepto, y por lo tanto se aceptaría aquí la existencia del concepto de infinito actual en la forma en que lo describe el axioma de infinitud. Aceptamos la existencia (en nuestra mente) de al menos un conjunto infinito, aunque no necesariamente tendría que ser el que se establece en dicho axioma. Podría ser cualquier otro y no necesariamente numerable aunque eso modificaría algunos aspectos de nuestra matemática. Sería interesante investigarlo.

b) O bien es un concepto inherente a toda la especie humana, y proviene de nuestra memoria colectiva. Ya lo traemos incorporado cuando venimos a este mundo. Es un concepto "atómico", no basado en los conjuntos, y no haría referencia a un conjunto infinito sino más bien a un concepto más bien relacionado con el concepto de objeto que con el de conjunto (no sé si me explico). Sería necesario replantear la forma en que se introduce un tal concepto en la matemática, no como extrapolación del infinito potencial al infinito actual, sino más bien como algo existente más alla de lo finito. Como una entidad independiente que tiene unas ciertas propiedades y a la que podemos hacer referencia. Los números transfinitos como números que existen más alla de los naturales, la extensión clásica de los reales con los elementos , los puntos del infinito en geometría, etc.

c) Y la tercera opción sería negar el concepto de infinito como abstracción, y concluir que el infinito actual no existe, tal y como hacen los intuicionistas, por ejemplo.

¿Cual de las tres es la más correcta? no lo sé, sinceramente. Parecería que desde un punto de vista intuitivo la primera sería la más coherente ya que plantea una evolución natural de la percepción humana, y desde un punto de vista racional quizás la segunda fuera la más adecuada. La tercera me parece una postura demasiado forzada, antiintuitiva diría yo. Pero a primera vista cualquiera de las tres parece posible. La TC admite la primera como válida, bien, pero no es la única opción y desde luego no es la más racional.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Y llegado a este punto debemos modificar el esquema que os propuse hace algunos mensajes:

ya que es necesario incorporar en él el infinito actual para poder construir la matemática tal como la conocemos hoy:

esquema que ya va pareciéndose bastante al que, en mi opinión, manejamos todos, consciente ó inconscientemente, cuando usamos la matemática.

Entiendo yo aquí que la aceptación de la existencia de ambos tipos de infinito permitirá la construcción en cada caso de los pre-naturales y los naturales y por lo tanto pueden omitirse en el esquema, ya que ambos tipos de números son construcciones que se hacen posibles en base a los otros principios aceptados. Pero no debemos olvidar que aunque los números parece ser que pueden ser manejados en el seno de la metalógica, solo son en esa teoría una "colección de abstracciones" tan grande como queramos (potencialmente infinita), pero no son ni un conjunto ni mucho menos un conjunto infinito. Para aceptar el hecho de la infinitud debe aceptarse (ó demostrarse) la existencia del infinito actual y eso por lo que yo sé solo está aceptado (y además de forma implícita) en el seno de la TC con su axioma de infinitud.

Si aceptamos la existencia del infinito actual como principio fundamental de la matemática podríamos pasar entonces de los pre-naturales a los naturales, directamente, sin necesidad de ningún axioma. Actualmente eso no es así, sino que es necesario establecerlo axiomáticamente, y se hace además en el seno de la TC, algo carente de sentido ya que entiendo que la expresión en forma de principio fundamental, de forma clara y explícita, es mucho más coherente desde un punto de vista racional, que hacerlo de forma implícita (como consecuencia de un axioma) y solo en el seno de la teoría de conjuntos (¡¡lo que es absolutamente ridículo!!).

LA EXISTENCIA DEL INFINITO ACTUAL DEBÍA ELEVARSE AL RANGO DE PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA MATEMÁTICA

ya que tiene entidad suficiente para serlo y desde luego mucha más entidad que otros principios, tales como el del tercero excluido.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Realmente el problema de construcción de la matemática es muy complejo. Llegados a este punto podemos afirmar quizás que ya tenemos los cinco ingredientes básicos en nuestra cocina, pero todavía no podemos afirmar que hayamos hecho el guiso ni nada que se le parezca. Falta construir aún el sistema que nos permita razonar con esos principios (digamos las reglas de inferencia ó un sucedáneo si queremos hacerlo fuera de la lógica formal). Quizás el álgebra pudiera tomar aquí un papel relevante pero la tarea sería ardua y el recorrido está inexplorado de manera que la cosa es compleja.

El camino formal de la construcción de la matemática se inicia con la aceptación de estos cinco principios generales, sin los cuales sería imposible tal desarrollo, luego pasa por el establecimiento del sistema lógico formal que nos va a permitir el razonamiento deductivo, proceso que va desde la construcción de la lógica proposicional, estadio más elemental de los sistemas formales, pasando por la lógica de predicados y hasta llegar a la lógica de segundo nivel, pero continua con la teoría de conjuntos, la construcción de los números naturales, la aritmética y todo lo que le sigue. Es un problema muy complejo para ser analizado de forma ligera en un debate como éste y buscar alternativas al proceso puede llegar a ser aún mucho más complejo.

A mi no me cabe duda de que existen otros caminos que podrían conducirnos al mismo objetivo, incluso sin lógica (ó mejor sin sistemas lógicos formales) si me apuráis, pero ... ¡ufff!, con lo a gustito que se está en casa a ver quien se pone a recorrerlos. Ardua tarea sin duda.

Saludos, Jabato.

[Garubi]

Hola,

Quería realizar una consulta sobre una idea posiblemente tonta:
Cantor define las biyecciones como pares, y hace bien -entiendo- porque no hay posibilidad de definir nada de manera distinta que un par objeto.propiedad.

No conozco otra definición de conjunto, y esta definición obliga a constituir los conjuntos necesariamente como listas. Cualquier lista no es más que una línea debajo de otra. Las biyecciones no son más que una línea debajo de otra (una lista de pares).

Para que exista función identidad en los reales, que es trivial (necesaria) tiene que existir una lista de los reales.

Peto es trivial también que los naturales son una lista.

Luego, si Cantor demuestra que no hay una lista de los naturales como "prefijo" (en la misma línea) de cada línea del listado exhaustivo de los reales, ¿No está demostrando que no hay función identidad en los reales, cosa que sería una tontuna o absurdo?

Gracias de antebrazo, y un saludo.

[argentinator]

No.

Cantor sólo demuestra que los reales no se pueden poner en una "lista".

No se pueden poner "una atrás de otro" en una secuencia "enumerable"...

Mas, en realidad, sí se pueden listar... pero no es posible hacerlo en una lista "enumerada" con números naturales, porque los naturales son demasiado "pocos" para completar el proceso, sin importar lo ingeniosa de la enumeracion que se pretenda elegir.

[Jabato]

Realmente el problema con los reales es incluso de mayor alcance, ya que ni tan siquiera podemos nombrarlos a todos, mucho menos podremos listarlos. Yo diría que no existe una lista de los reales. Digamos que no sería posible definir una sucesión de números reales que los contenga a todos, cosa que sí puede hacerse con los naturales.

Saludos, Jabato.

[Cristian C]

Hola Garubi.

Dices

Cantor define las biyecciones como pares, y hace bien -entiendo- porque no hay posibilidad de definir nada de manera distinta que un par objeto.propiedad.

No. En teoría de conjuntos, las biyecciones (y todas las funciones) no son pares sino conjuntos de pares (ordenados).

No conozco otra definición de conjunto

Lo anterior que anotas no define conjuntos, solo refiere biyecciones.
Por lo demás, en TC no hay definición para conjunto o clase (según la teoría). Se trata de un concepto primitivo. La idea intuitiva que ese concepto primitivo trata de representar es la de un agregado, colección o agrupación de elementos distintos. Pero como en toda teoría axiomática, la interpretación es prescindible.

y esta definición obliga a constituir los conjuntos necesariamente como listas.

No, no nos obliga. La interpretación intuitiva del concepto “conjunto” aplicada a algunos elementos teóricos, como todos los puntos de un cuadrado, puede dar casos donde los conjuntos (los puntos) no pueden visualizarse como “listas”.

Cualquier lista no es más que una línea debajo de otra. Las biyecciones no son más que una línea debajo de otra (una lista de pares).

El concepto intuitivo de “lista” como claramente lo describes aquí, no es necesariamente aplicable a todas las biyecciones. Pueden existir biyecciones imposibles de imaginar como listas (como la existente entre los puntos de un cuadrado y los de un cubo)

Para que exista función identidad en los reales, que es trivial (necesaria) tiene que existir una lista de los reales

Se desprende de las observaciones anteriores que no es así.

Saludos.

[Garubi]

Hola, Cristian y compañía.

¿Quién puede listar un cuadrado o un círculo? no son de la naturaleza de una lista.
El argumento de Cantor parte de la existencia de una lista (esta es numerable por narices), pero la lista de los reales no depende de la lista de los naturales.
Si existe lista de los reales, es numerable, Si no existe, no hay función identidad:
Estos son los reales.
La expresión de arriba no puede evitar contener implícitamente la noción de enumeración, es una biyección de la forma:

¿Puede decirse de otra manera?
Estos son sistemas de representación, en ningún momento alteran "lo que hay fuera".

Se me ocurrió este ejemplo (o lo leí y lo recordé, vaya Ud. a saber):

Tengo un saco lleno de piedras, y voy enumerando partes desde cero, sacando tantas piedras como corresponda.
Es un saco ideal, hay infinitas piedras.
¿Depende de mi alfabeto para los números el que se acaben o no se acaben?
¿Depende de lo que yo piense?
¿Soy capaz de distinguir un infinito de otro?

Si mantenemos la lógica del si/no verdadero/falso, no veo como podemos decidir.

Un saludo.

[Garubi]

Cantor enuncia otro sistema de numeración, de forma recursiva:

, y pone otro nombre a estos números; pero son eso, nombres.

Si no, deja de ser cierto que el cardinal de una colección es igual al número de sus elementos.

No puede ser.

Bueno, esta es la idea.

Un saludo.

[Garubi]

Creo que si no hay posibilidad de refutar esta idea y es formalizable sin quitar -no digo poner- ningún axioma a ZF, ZF es inconsistente incondicionalmente, sin abandonar el terreno de la lógica binaria.

No sé si me estoy poniendo muy trascendente.

Un saludo.