20/11/2019, 10:21:12 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: C. Sists. Numéricos. --- Sección 4: Números Reales  (Leído 7672 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« : 26/08/2009, 11:06:34 am »

Sección 4. Números Reales

(Post con archivos adjuntos de subsecciones posteriores)

* sucesion-monotona-acotada.PNG (2.09 KB - descargado 2320 veces.)
* supremo-infimo.PNG (6.63 KB - descargado 2326 veces.)
* compacto.PNG (7 KB - descargado 828 veces.)
* interseccion-intervalos-cerrados.PNG (4.82 KB - descargado 842 veces.)
* sucesion-acotada.PNG (4.4 KB - descargado 843 veces.)
* union-interseccion-monotonia.PNG (13.04 KB - descargado 840 veces.)
* intervalos.PNG (13.66 KB - descargado 851 veces.)
* sucesion-convergente.PNG (12.52 KB - descargado 2322 veces.)
* busqueda-no-compacidad-particion-binaria.PNG (9.13 KB - descargado 790 veces.)
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #1 : 21/07/2010, 03:02:20 am »

Principal * N Z Q R C +


Nota: Este thread forma parte del tema




Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 4. Números Reales.

La estrella principal de toda esta saga de sistemas numéricos es, sin duda,
el de los números reales.
Constituyen ellos el lenguaje fundamental de la matemática moderna,
sobretodo si pensamos en la matemática como herramienta aplicada a otras ciencias.

A lo largo de todo el thread se dan definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones,
cuyos detalles se colocan la mayoría de las veces dentro de los "spoilers" (o desplegables).
Esto permite navegar a través del esqueleto general de la teoría,
dejando los detalles intrincados para cuando a uno se le dé la gana mirarlos.

Aún así, sugiero a los lectores que vayan abriendo los desplegables,
al menos para curiosear en los varios dibujillos que tanto trabajo  :llorando: me ha costado confeccionar  :sonrisa_amplia: ,
con la esperanza de que ciertas ideas "entren"  :BangHead: mejor en las distintas cabezas.  :risa:

  • Recomendación: Abrir sólo unos pocos spoilers a la vez. Si se abren muchos o todos, no se podrá visualizar el post en forma completa  :sorprendido: debido a que es muy extenso.   :rodando_los_ojos: 

En los dos desplegables que siguen haremos divagaciones introductorias acerca de
la necesidad de construir el sistema de los números reales,
y daremos una idea de más o menos "hacia dónde" se apuntan los dardos,
primero desde un punto de vista geométrico,
y luego desde un punto de vista algebraico.



Subsección 4.1.
Motivaciones geométricas de la noción de número real.


Los números racionales sirvieron a muchos propósitos de medición de terrenos en la antigüedad, permitiendo considerar pequeñas subunidades de una unidad de medida principal, dando de este modo una medición exacta de cierta longitud o área.
Pero los griegos advirtieron, en la escuela de Pitágoras, que había ciertas magnitudes geométricas que no podían expresarse siempre como una razón o proporción entre dos números enteros. El ejemplo típico de esta anómala situación se produce en figuras geométricas tan sencillas como el cuadrado.

Imaginemos un cuadrado de lado igual a 1 unidad (un metro, digamos). ¿Cuánto mide su diagonal?
Si tenemos un cuadrado [texx]ABCD[/texx], el segmento [texx]AC[/texx] es una diagonal, y obtenemos también que [texx]ABC[/texx] es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden [texx]1[/texx], y su hipotenusa es la diagonal [texx]AC[/texx] del cuadrado.
Por Teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esto implica que [texx]1^2+1^2=h^2[/texx], donde [texx]h[/texx] denota la longitud de [texx]AC[/texx].
O sea, se debe cumplir la igualdad [texx]2=h^2[/texx].

¿Es posible expresar [texx]h[/texx] como un cociente de números enteros?
Existe una clásica y sencilla prueba (algebraica) de que esto no es posible, pero no la incluiremos en este lugar (quizá sí en otro post más adelante).

Este hecho causó mucha intriga en los pitagóricos, y mantuvieron esta verdad en secreto, porque ponía en tela de juicio su dogma espiritual de que "todo es número".
Para ellos "número" significaba lo que para nosotros en el siglo 21 es "número natural". O sea, la realidad podría explicarse usando sólo "números naturales".
Pero la diagonal del cuadrado contradecía esto directamente.
Más aún, se percataron de que era posible "aproximar" la medida de la diagonal por razones (hoy diríamos: números racionales) tales que su numerador y denominador se hacen cada vez más grandes a medida que la aproximación mejora.
Los griegos no lograron medir la diagonal del cuadrado, a pesar de que lo que estaban haciendo... estaba bien encaminado. Su problema era la negativa a cambiar de paradigma.


Si ponemos el cuadrado con lado 1 en el origen, pegado al eje de abscisas, trazamos la diagonal, y luego con un compás trasladamos la medida de la diagonal hasta el eje de abscisas, vemos que le corresponde un punto concreto.
O sea, geométricamente, la diagonal de un cuadrado es una magnitud que puede trabajarse como cualquier otro segmento, pudiendo decir si es mayor o menor a otros segmentos, aplicarles proporcionalidad, y un largo etcétera.
Cuando ponemos todas estas magnitudes juntas en una línea recta obtenemos un sistema algebraico totalmente ordenado, que contiene estrictamente a los puntos que corresponden a números racionales (razones de enteros).
Se puede ver en la recta que los racionales 1.4, 1.41, 1.414, etc, se van aproximando cada vez más al punto que "mide" la magnitud de la diagonal del cuadrado de lado 1, pero nunca se obtiene exactamente dicho punto.

(Si bien las aproximaciones las hemos expresado con dígitos en base decimal, la situación es análoga en cualquier otra base, pero esa es otra historia...)

En la actualidad consideramos que los puntos de una línea recta en sentido euclidiano, conforman un sistema de "números", y así cada punto de la recta corresponde a un número y recíprocamente.
En particular, los números racionales, a pesar de ser muy "densos" (siempre se pueden obtener dos números racionales tan cerca como uno quiera), no son capaces de "llenar" completamente la recta.
La recta "llena" permite, mediante traslaciones y rotaciones, representar la magnitud de cualquier segmento de la geometría euclidiana.

Estamos ante una "exhaustividad" geométrica, si se quiere, en el sentido de "medición de magnitudes".


* 20100721-argentinator-raiz2.png (9.27 KB - descargado 1819 veces.)
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 21/07/2010, 03:03:30 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.2. Motivaciones algebraicas de los números reales.

Como vimos en el desplegable anterior, una manera de obtener un número no racional es procurando medir la diagonal de un cuadrado de longitud 1.
Eso conduce a la ecuación algebraica [texx]x^2=2[/texx], la cual no tiene solución en el sistema de números racionales.
Para que podamos afirmar que hay alguna solución [texx]x[/texx], se requiere ampliar el sistema numérico de los racionales a algo aún mayor.
Este sistema sería el de los números reales.

El problema planteado de esta manera no es muy adecuado, porque no toda ecuación algebraica con coeficientes racionales conduce a lo que hoy día llamamos "número real". Por ejemplo [texx]x^2=-1[/texx] ya no tendría solución "real".

Voy a hacer un replanteo algo extravagante del "problema" que queremos resolver algebraicamente, para arribar luego a una idea más exacta de aquello con lo que debemos conformarnos y aceptar como "número real".
Observemos que hay una sucesión de números racionales [texx]1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,[/texx] etc., tales que al elevarlos a la potencia 2 dan, claro está, sucesivos números racionales [texx]1.96, 1.9881, 1.999396, 1.99996164,[/texx] etc.
Esos números tienen la propiedad de que se van acercando a 2.

Podríamos exigir que, en caso de que una aproximación como esta ocurra en una ecuación algebraica de coeficientes racionales, que haya entonces un "número real" que satisfaga la ecuación en forma exacta al considerar el sistema ampliado de los números reales.

En el ejemplo, la cosa sería así: dado que las sucesivas ecuaciones

[texx]x^2 = 1.96, x^2=1.9881, x^2=1.999396, x^2=1.99996164[/texx]

tienen soluciones racionales a medida que el lado derecho se aproxima al número 2,
exigimos que en el sistema ampliado de "números reales" la ecuación [texx]x^2=2[/texx] tenga una solucón exacta [texx]x[/texx], siendo [texx]x[/texx] un número real.

Si una tal aproximación a la solución no puede obtenerse con números racionales siquiera, entonces no exigiremos que haya solución en el sistema ampliado de los "números reales" (o mejor aún: exigiremos que no haya solución real en ese caso).

Esta sería una forma más "precisa" de concretar el "problema" algebraico que motive la ampliación de los números racionales a un sistema mayor.
Lo hacemos más específico diciendo esto: exigimos que el sistema ampliado de números contenga solución [texx]x[/texx] al problema [texx]p(x)=0[/texx], siendo [texx]p(x)[/texx] un polinomio de coeficientes racionales, siempre y cuando exista una sucesión de números racionales [texx]q_1,q_2,q_3,...,[/texx] que se aproximan a [texx]0[/texx] tanto como se quiera, y tal que para cada problema "aproximado" [texx]p(x)=q_j[/texx] hay al menos una solución [texx]x[/texx] racional, todo [texx]j = 1, 2, 3,...[/texx]

En el siguiente dibujo mostramos varios polinomios con coeficientes racionales.
Decir si cierto valor de [texx]x[/texx] es solución de la ecuación de [texx]p(x)=0[/texx] es lo mismo que advertir cuál es el punto de abscisa [texx]x[/texx] en la recta que corta a la gráfica de la función polinómica [texx]p(x)[/texx].
Estos puntos [texx]x[/texx] de corte se llaman raíces de [texx]p(x)[/texx].
Nótese que los polinomios se han graficado con puntos algo "salteados". Esto es para recordar que estamos pensando que [texx]x[/texx] varía en el conjunto "no continuo" de los racionales.
Supongamos que nos interesa hallar las raíces reales de la función polinómica que está dibujada en color negro.
Para ello trasladamos en una cantidad racional [texx]q_1,q_2, ...[/texx] obteniendo las gráficas de distintos colores, que se van aproximando a medida que [texx]q_k[/texx] tiende a [texx]0[/texx].
Suponemos que las funciones polinómicas en colores tienen raíces racionales "cercanas" a las raíces de [texx]p(x)[/texx] (la que está en negro).
Consideremos una de las raíces de [texx]p(x)[/texx] que está hacia la derecha.
La hemos atravesado con una línea vertical negra para mejor visualización.
Suponemos que el punto de corte con el eje horizontal de abscisas no produce un punto racional.
Los polinomios se van aproximando a medida que [texx]q_k[/texx] tiende a 0, y las raíces aproximantes de cada uno de ellos se han atravesado con líneas verticales del mismo color del polinomio correspondiente.
Así, el polinomio azul ([texx]q_1[/texx]) tiene una raíz en el punto de corte de la vertical azul con la horizontal, el polinomio rojo ([texx]q_2[/texx]) tiene una raíz en el punto de corte de la vertical roja, y así sucesivamente seguimos con el polinomio verde ([texx]q_3[/texx]), luego el celeste ([texx]q_4[/texx]), después el violeta ([texx]q_5[/texx]), y a continuación ya no podemos dibujar más y proseguimos en nuestra imaginación con polinomios con raíces racionales que se aproximan cada vez más a [texx]p(x)[/texx].
En el sistema ampliado de números reales, las sucesivas raíces racionales aproximantes, que podemos ir denotando [texx]x_1,x_2,...,[/texx] se aproximan cada vez más a la raíz no racional de [texx]p(x)[/texx].



Sin embargo en todo esto hay una "falla". Veamos.
Supongamos que hemos construido un sistema ampliado de números que resuelven toda ecuación algebraica [texx]p(x)=0[/texx], siendo [texx]p(x)[/texx] un polinomio de coeficientes racionales, con las salvedades antes  indicadas. ¿Qué es lo que hemos obtenido? ¿Hemos "llenado" la recta?

Se puede demostrar que un tal sistema es numerable, y por lo tanto no puede llenar la "recta" cuyo cardinal es no numerable.
Pero si todavía no nos creemos estos hechos de cardinalidad (porque estamos en etapa de "construcción" de sistemas numéricos), entonces podemos convencernos por otros caminos.
Por ejemplo, hay sucesiones de puntos racionales en la recta que se acercan (convergen) a puntos que no son solución de ecuación algebraica alguna.
Si extendiéramos el perímetro de media circunferencia de radio [texx]1[/texx] en la recta, obtendríamos una magnitud, la cual denotamos con [texx]\pi[/texx], de la cual puede demostrarse no sólo que no es racional, sino que tampoco es solución de ecuaciones algebraicas como las indicadas arriba.

Para "completar" la recta hará falta una exigencia que vaya más allá del deseo de resolver ciertos "problemas o huecos algebraicos" del sistema de números racionales. Tendremos también que tener en cuenta los "huecos" analíticos.

Se ha podido comprobar, tras largos siglos de búsqueda, que la propiedad clave que permite "llenar" la recta es la "completitud en sentido de Cauchy", la cual esencialmente dice que toda sucesión de puntos de la recta que se aproximan entre sí tanto como se quiera, "converge" a algún punto concreto [texx]P[/texx] de la recta, o sea, la sucesión se aproxima a ese punto [texx]P[/texx] tanto como se desee.

Otra manera equivalente de indicar esta propiedad en términos geométricos sería diciendo que: todo conjunto [texx]A[/texx] de puntos (no vacío) que está contenido en algún segmento [texx]RS[/texx] de la recta, puede "ajustarse" de manera que hay un segmento [texx]PQ[/texx] mínimo (contenido en [texx]RS[/texx]) que contiene a todos los puntos de [texx]A[/texx].
O sea, la intersección de todos los segmentos que contienen al conjunto [texx]A[/texx], sigue siendo un segmento propiamente dicho, y que aún contiene a [texx]A[/texx]. Naturalmente, un segmento como éste no puede hacerse más pequeño.


En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #3 : 21/07/2010, 03:06:50 am »

Principal * N Z Q R C +


Como hemos hecho hasta ahora, comenzaremos dando los números reales a partir de una lista de axiomas, luego probaremos que estos axiomas dan esencialmente un único sistema posible de números reales, seguidamente veremos que el sistema incluye en su seno "copias" de los números racionales, y por último demostraremos que la teoría es no vacía, construyendo algún modelo que verifica la lista de axiomas.

En el caso de los números reales hay varias maneras alternativas de llevar a cabo la construcción de un modelo. Todas ellas son importantes, y las estudiaremos con cuidado.




Subsección 4.3. Axiomas de los Números Reales.

Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números reales serán [texx]R, +, ., 0, 1,  \leq[/texx].
Los Axiomas de los números reales son los siguientes:

  • Axioma 1. El quinteto [texx](R,+,.,0,1)[/texx] es un cuerpo con identidad [texx]0[/texx] respecto la adición [texx]+[/texx] e identidad [texx]1[/texx] respecto el producto [texx]\cdot[/texx].

    Los detalles de lo que esto significa son idénticos a lo explicado en el Axioma 1 del post de números racionales, y no vale la pena repetir todo de nuevo.
    Podemos resumir un poco diciendo lo siguiente:
    • La terna [texx](R,+,0)[/texx] es un grupo conmutativo con identidad [texx]0[/texx].
    • La terna [texx](R\setminus\{0\},\cdot,1)[/texx] es un grupo conmutativo con identidad [texx]1[/texx].
    • El producto distribuye a la suma en [texx]R[/texx].

  • Axioma 2. [texx] \leq[/texx] es una relación de orden total en [texx]R[/texx].

    Los detalles son los mismos que los del Axioma 2 del post de números racionales, y no vale la pena repetir todo de nuevo.

    Se dice que un elemento [texx]m\in R[/texx] es positivo si [texx]m > 0[/texx], y se dice negativo si [texx]m < 0[/texx].
    Se dice que un elemento [texx]m\in R[/texx] es no negativo si [texx]m \geq0[/texx], y se dice no positivo si [texx]m  \leq 0[/texx].

  • Axioma 3. La suma y el producto son monótonas respecto el orden [texx]\leq[/texx]

    Se trata de las mismas propiedades enumeradas en el Axioma 3 del post de los números racionales, y no vale la pena repetir todo otra vez.

  • Axioma 4 (de la cota superior mínima). Si un subconjunto no vacío [texx]A[/texx] de [texx]R[/texx] tiene una cota superior, entonces el conjunto [texx]B[/texx] de todas las cotas superiores de [texx]A[/texx] tiene un elemento mínimo.





Observemos que los primeros 3 Axiomas son idénticos a los dados para los números racionales.
Se trata de los axiomas de cuerpo ordenado.
Por lo tanto, todas aquellas propiedades de los números racionales que se han demostrado usando sólo esos 3 Axiomas y sus consecuencias directas, son también válidas para los números reales.

Por ejemplo, en el siguiente post damos una lista de 6 lemas que siguen siendo válidos en el contexto de los números reales, ya que sus demostraciones dependen sólo de los axiomas de cuerpo ordenado.

* 20100721-argentinator-cota-superior-minima.PNG (1.59 KB - descargado 1669 veces.)
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 21/07/2010, 03:07:58 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.4. Lemas básicos de los Números Reales.

Definición. Dados [texx]a,b\in R[/texx], se define la resta de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] como [texx]a - b=a+(-b)[/texx].

Lema 1. El producto de cualquier número real por 0 es igual a 0.
Lema 2. Para todo número real [texx]a[/texx], su inverso aditivo satisface: [texx]-a=(-1).a[/texx].
Lema 3. 1 > 0.
Lema 4. Un número real [texx]a[/texx] es positivo si, y sólo si, [texx]-a[/texx] es negativo.
Lema 5. Si [texx]a,b\in R[/texx] son tales que [texx]a \leq b[/texx], entonces [texx]-b \leq -a[/texx].
Lema 6. Si [texx]a\in R[/texx], [texx]a \geq 1[/texx], entonces [texx]0<a^{-1} \leq 1.[/texx]



En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #5 : 21/07/2010, 03:10:08 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.5. Propiedades estructurales básicas de los Números Reales.

Lo primero que vamos a probar es que existe un subsistema de [texx]R[/texx] que satisface los axiomas de los números racionales

  • Teorema 0. Existe un subconjunto [texx]N[/texx] de [texx]R[/texx], que contiene al elemento 1 (el neutro de la multiplicación), de tal suerte que [texx](N,s,1,+,\cdot, \leq)[/texx] es isomorfo al sistema de los números naturales, donde [texx]s:R\to R[/texx] es la función definida por [texx]s(x)=x+1[/texx]. Más aún, ese conjunto es único.

    La demostración se hace del mismo modo que como expusimos en el Teorema 0 del post anterior dedicado a los números racionales.
    Tan sólo basta cambiar la letra [texx]Q[/texx] por la letra [texx]R[/texx] en todas las apariciones de esa demostración, así como también se cambian las apariciones de la palabra "racional" por la palabra "real".

  • Definición. Llamamos al único conjunto [texx]N[/texx] obtenido en el Teorema 0, subconjunto de números naturales contenido en [texx]R[/texx].

    Consideremos el conjunto [texx]Z = \{m\in R:-m\in N\}\cup\{0\}\cup\{m\in R:m\in N\}[/texx].
    Denominamos a [texx]Z[/texx] el subconjunto de enteros de [texx]R[/texx].

    Finalmente, consideremos el conjunto [texx]Q = \{q \in R: q=m\cdot n^{-1}, m \in Z, n \in N\}[/texx].
    Denominamos a [texx]Q[/texx] el subconjunto de racionales de [texx]R[/texx].

  • Teorema 1. El sistema [texx](Z,+,\cdot, 0,1,\leq)[/texx] donde [texx]Z[/texx] es el subconjunto de enteros de [texx]R[/texx], satisface los Axiomas de los números enteros. Además, ese conjunto es único.

    La demostración depende tan sólo los axiomas de cuerpo ordenado, y por lo tanto es idéntica a la que ya hemos dado en el Teorema 1 del post de números racionales.

  • Teorema 2. El sistema [texx](Q,+,\cdot, 0,1,\leq)[/texx] donde [texx]Q[/texx] es el subconjunto de racionales de [texx]R[/texx], satisface los Axiomas de los números racionales. Además ese conjunto es único.

    Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)


En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #6 : 21/07/2010, 03:17:48 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.6. Interpretaciones y equivalencias de la cota superior mínima. Caracterizaciones típicas.

El Axioma 4, de la cota superior mínima, es lo que distingue al sistema de los números reales de algún otro cuerpo ordenado.
Antes de aplicarlo en las demostraciones de teoremas, sería bueno tener disponibles varias versiones diferentes del Axioma, y tratar de comprender intuitivamente lo que significa, en términos geométricos y de aproximaciones.

Podemos ir vislumbrando que la idea de "aproximación" es clave en la definición y estudio de los números reales.
Abusaremos de la idea de aproximación tanto como sea necesario.

Nuestra estrategia será dar un Teorema que abarque las equivalencias más comunes, y en los desplegables daremos los detalles necesarios, ya sea de definiciones, ejemplos con gráficos o demostraciones.

Para lo que sigue, vamos a suponer que sólo tenemos los Axiomas de Cuerpo Ordenado 1, 2 y 3.
Bajo esas condiciones, podremos estudiar qué propiedades serían equivalentes al Axioma 4 de la cota superior mínima, y en tal caso, cualquiera de dichas propiedades podría considerarse como el Axioma 4,
dando lugar a un sistema axiomático totalmente equivalente.


Teorema 3. El Axioma de la cota superior mínima es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:

  • (a) Todo subconjunto [texx]A[/texx] de [texx]R[/texx], no vacío y acotado superiormente, tiene un supremo.




  • (b) Todo subconjunto [texx]A[/texx] de [texx]R[/texx], no vacío y acotado inferiormente, tiene un ínfimo.


  • (c) Toda sucesión monótona y acotada de números reales, converge a un límite en [texx]R[/texx].


    [spoiler=Demostración de la equivalencia con (c)]

    Pasemos ahora a probar la equivalencia entre el Axioma de la cota superior mínima y la propiedad del límite de las sucesiones monótonas. Vamos a trabajar solamente con sucesiones monótonas no-decrecientes, ya que para sucesiones monótonas no-crecientes los razonamientos son análogos.

    La situación típica es como se ilustra en el dibujo.



    [texx]\underline{\mathbf{\Rightarrow{}}:}[/texx]

    Supongamos que vale el Axioma de la cota superior mínima.
    Sea [texx]\{a_k\}_{k=1}^\infty[/texx] una sucesión no-decreciente ([texx]k<l \Rightarrow{ a_k \leq a_l}[/texx]) y acotada de elementos de [texx]R[/texx].
    Esto quiere decir que todos los elementos de la sucesión están en algún intervalo acotado [texx]a < x < b[/texx].
    Dado que la sucesión tiene cota superior, el conjunto [texx]A = \{a_k: k=1,2,3,...\}[/texx] tiene una mínima cota superior que denotaremos [texx]s[/texx].

    Sabemos que [texx]a_k  \leq s[/texx] para todo entero positivo [texx]k[/texx].
    Sea [texx] \epsilon > 0 [/texx]. Naturalmente tenemos que [texx]s - \epsilon < s[/texx].
    Si para todo [texx]k[/texx] ocurriese que [texx]a_k  \leq s-\epsilon[/texx]
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #7 : 21/07/2010, 03:26:30 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.7. Equivalencias con la cota superior mínima. Arquimedianeidad y sucesiones de Cauchy.

El Teorema 3 no es la última palabra en lo que respecta a propiedades equivalentes a la de la cota superior mínima. En lo que sigue buscamos dar una última e importante "puntada" en este asunto tan fundamental.

Spoiler: Valor absoluto (click para mostrar u ocultar)

Para entender cabalmente a los números reales, es conveniente estudiar una propiedad geométrica llamada propiedad arquimediana, y una propiedad topológica llamada convergencia de sucesiones de Cauchy.
La propiedad arquimediana nos dice que ningún número real puede ser ni demasiado grande, ni demasiado pequeño.
La propiedad de convergencia de sucesiones de Cauchy nos dice que si una sucesión se va apiñando cada vez, es que tiene límite.

En los siguientes spoilers vamos a dar las definiciones de estas propiedades para un cuerpo ordenado cualquiera, y más adelante demostraremos que estas propiedades se cumplen en el cuerpo de los números reales.

Spoiler: Propiedad Arquimediana (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Sucesiones de Cauchy (click para mostrar u ocultar)

Las sucesiones de Cauchy se estudian por su íntima relación con las sucesiones que convergen a algún límite.
O sea, son una herramienta para el estudio de la convergencia de una sucesión.
En este sentido, tenemos una sencilla observación general, que vale en todo cuerpo ordenado:


Podríamos en este momento dedicarnos a demostrar, sin más, que [texx]R[/texx] satisface las propiedades arquimediana y de la convergencia de sucesiones de Cauchy.
Pero es más interesante demostrar que estas propiedades, juntas, son equivalentes al Axioma 4, o sea que podrían ponerse ellas en lugar del Axioma 4, resultando un sistema de axiomas equivalente para los números reales.

Proposición 1. Si en [texx]R[/texx] vale la propiedad de la cota superior mínima entonces el subconjunto [texx]N[/texx] de números naturales de [texx]R[/texx] es no acotado.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Proposición 2. Si en [texx]R[/texx] vale la propiedad de la cota superior mínima entonces [texx]R[/texx] es arquimediano.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Proposición 3. Si en [texx]R[/texx] vale la propiedad de la cota superior mínima entonces en [texx]R[/texx] toda sucesión de Cauchy es convergente.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

En la teoría de números reales aparecen importantes caracterizaciones en términos del concepto de series.
Por ello, damos en el siguiente spoiler unas definiciones en torno a series y convergencia de las mismas:


Proposición 4. Supongamos que el cuerpo ordenado [texx](R,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] satisface la propiedad de que toda sucesión de Cauchy converge a algún límite. Entonces toda serie absolutamente convergente es también ella misma convergente.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Corolario. Si en [texx]R[/texx] vale la propiedad de la cota superior mínima, entonces toda serie que es absolutamente convergente es también ella misma una serie convergente.

Esto es obvio, ya que la propiedad de la cota superior mínima implica que toda sucesión de Cauchy es convergente,
y esto implica a su vez que toda serie que converge absolutamente es también convergente.


__________________

Ahora intentaremos demostrar resultados recíprocos de todos los anteriores, o sea, invertir el sentido de las implicaciones.
Vamos a pensar que "no sabemos" si vale la propiedad de la cota superior mínima,
y en cambio vamos a suponer que valen las propiedades arquimediana y/o de que toda sucesión de Cauchy converge.
En cada caso investigaremos las consecuencias generales que se deducen exclusivamente de esas propiedades.

Proposición 5. Si en un cuerpo ordenado [texx](R,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] vale la propiedad arquimediana, entonces las sucesiones [texx]\{n^{-1}\}_{n=1}^\infty[/texx] y [texx]\{2^{-n}\}_{n=1}^\infty[/texx] tienen límite. Más aún: la serie [texx]\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}[/texx] converge a 1.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Qué mejor que un ejemplo para mostrar la diferencia entre una sucesión de Cauchy y una sucesión que tiene límite, y así mostrar que conceptualmente no son la misma cosa.
O sea que, en general, en un cuerpo ordenado genérico, no se puede obtener la recíproca de la Proposición 3.
Para ello mostremos que en el cuerpo ordenado de los números racionales [texx](Q,+,0,\cdot,1, \leq)[/texx], existe una sucesión de Cauchy que no es convergente.
Detalles abriendo el siguiente spoiler:


Proposición 6. Si en un cuerpo ordenado cualquiera [texx](R,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] vale la propiedad arquimediana, entonces entre dos cualesquiera elementos [texx]x,y\in R[/texx], [texx]x<y[/texx], existe un [texx]z\in Q[/texx] tal que [texx]x<z<y[/texx], donde [texx]Q[/texx] es el subconjunto de números racionales que existe en [texx]R[/texx].

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Por último, estamos en condiciones de enunciar el siguiente importante resultado recíproco a las Proposiciones 2 y 3.

Proposición 7. Dado un cuerpo ordenado [texx](R,+,0,\cdot,1, \leq)[/texx], si tiene la propiedad arquimediana y además toda sucesión de Cauchy tiene límite, entonces se cumple la propiedad de la cota superior mínima.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Juntando las Proposiciones 2, 3 y 7, queda probado el siguiente resultado:

Teorema 4. Sea [texx](R,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] un cuerpo ordenado. En él se cumple la propiedad de la cota superior mínima si y sólo si se satisfacen estas dos propiedades a la vez: la propiedad arquimediana, y la de que toda sucesión de Cauchy es convergente.

__________________

Hemos terminado nuestro tour por las propiedades equivalentes a la cota superior mínima en cuerpos ordenados.
Ha sido emocionante, ¿no?  :cara_de_queso:


__________________

Asumiendo ahora que vale el Axioma 4 o sus equivalentes, se pueden probar los resultados típicos de convergencia de series, por ejemplo:

  • Si una serie [texx]\sum_n a_n[/texx] converge, entonces [texx]\lim_{n\to\infty} a_n=0[/texx].
  • Una serie [texx]\sum_n a_n[/texx] tal que todos sus términos [texx]a_n[/texx] son no negativos, o bien converge, o bien la sucesión de sus sumas parciales es no-decreciente y no-acotada (en este caso suele decirse que tiene límite infinito).
  • Si [texx]\{a_n\}_n,\{b_n\}_n[/texx] son sucesiones de números reales no negativos, tales que [texx]a_n \leq c b_n[/texx], para algún número positivo [texx]c[/texx], se dice que la serie [texx]\sum_n a_n[/texx] está dominada por la serie [texx]\sum_n b_n[/texx]. En este caso se puede demostrar que: si la serie [texx]\sum_n b_n[/texx] converge, entonces también la serie [texx]\sum_n a_n[/texx] converge.



Ahora volvamos a los números reales.
En tal caso vale el Axioma 4, o cualquiera de las equivalencias dadas en el Teorema 3 o en el Teorema 4.
Pero el Teorema 4 nos dice ahora que en el sistema de números reales valen la propiedad arquimediana y la propiedad de que toda sucesión de Cauchy converge a un límite.
Esta última se suele denominar propiedad de completitud de Cauchy.

Recordemos que la gran virtud de la completez en sentido de Cauchy es que nos permite demostrar que una sucesión o una serie converge, sin necesidad de estipular previamente cuál es ese límite al cual converge.

En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #8 : 21/07/2010, 03:28:53 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.8. Propiedades estructurales de los Números Reales.

Teorema 5. Sea [texx](R,+,.,0,1, \leq)[/texx] un sistema que satisface los axiomas de los números reales, y sea [texx](Q,+,.,0,1, \leq)[/texx] su subsistema de números racionales (obtenido en el Teorema 2). En ese caso, todo número real [texx]x[/texx] es el supremo de todos los números racionales que le preceden. En símbolos:

[texx]x=\textsf{supremo}\{q\in Q|q \leq x\}[/texx].

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #9 : 21/07/2010, 03:30:31 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.9. Unicidad algebraica del Sistema de los Números Reales.

Teorema 6. Sean [texx](R,+,.,0,1, \leq)[/texx] y [texx](\tilde R,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq)[/texx] dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números reales.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

En particular, si dos sistemas [texx](R,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] y [texx](\tilde R,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq)[/texx] satisfacen los Axiomas de los números reales, entonces los conjuntos [texx]R[/texx] y [texx]\tilde R[/texx] tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos sistemas.



Dado que el cardinal de los números reales es el mismo, independientemente del modelo que se utilice para representarlos, vamos a postergar el estudio de dicho cardinal hasta el siguiente post, cuando desarrollemos la construcción por medio de sucesiones de dígitos del sistema de números reales.

En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #10 : 21/07/2010, 03:32:21 am »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.10. Resolviendo ecuaciones algebraicas en el Sistema de Números Reales.

Consideremos, como siempre, un Sistema de Números Reales [texx](R,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] junto con su subsistema de números racionales [texx](Q,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx].

Sea [texx]p(x)[/texx] un polinomio [texx]p(x)=a_0+a_1\cdot x+...+a_n\cdot x^n[/texx], donde los coeficientes [texx]a_0,a_1,...,a_n[/texx] son elementos de [texx]Q[/texx], y [texx]a_n\neq 0[/texx].
Supongamos además que existe una sucesión de números racionales [texx]\{q_k\}_{k=1}^\infty[/texx] tales que [texx]\lim_{k\to\infty}q_k=0[/texx], y tal que la ecuación

[texx]p(x)=q_k[/texx]


tiene solución, para todo [texx]k=1,2,3,...[/texx]

Deseamos comprobar que la ecuación [texx]p(x)=0[/texx] tiene al menos una solución [texx]x\in R[/texx].

Llevar a cabo esta tarea es posible, pero requiere un estudio detallado de la "continuidad" de las raíces de polinomios, y tener cuidado con el hecho de que un polinomio puede tener varias raíces distintas, lo cual exige ser precavidos acerca de cuáles raíces se toman o no para cada [texx]k=1,2,3,...[/texx], para después proceder a buscar una raíz de [texx]p(x)=0[/texx] cuando [texx]k[/texx] tiende a [texx]\infty[/texx].

Sin duda que es un problema interesante, pero no lo voy a abordar en este lugar.
Si hay alguien interesado en esto, podemos abrir un hilo aparte, al que enlacemos desde este lugar, y hacemos todas las cuentas allí.




Demostraremos más adelante que el cardinal de los números reales es estrictamente más grande que el de los números racionales.
A su vez, el cardinal del conjunto de todos los números reales que son raíces de polinomios con coeficientes racionales
es numerable, de nuevo estrictamente más pequeño que el de los números reales.

Esto demuestra por sí solo que existen números reales que no son algebraicos, o sea, que no se obtienen como soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.
Estos números se llaman trascendentes.

Demostrar que cierto número real es o no trascendente puede ser complicado.
Tan sólo nombremos a los ejemplos clásicos:
  • [texx]\pi\approx{3.14159...}[/texx]: relación de la semicircunferencia a su diámetro. Es trascendente.
  • [texx]e\approx{2.71828...}[/texx]: base de los logaritmos neperianos. Es trascendente.
  • [texx]\phi\approx{1.618...}[/texx]: número o razón áurea. Es algebraico.
  • [texx]\sqrt{2}\approx{1.4142...}[/texx]: longitud de la diagonal del cuadrado unitario: Es algebraico.

Hay muchas más cosas para decir y detallar de la teoría de números reales...
Pero quiero ponerle fin a todo esto de una vez.
Ya hemos tenido suficiente.
Lo importante es abrirnos camino en sus propiedades básicas, caracterización, y construcción de modelos.

En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.278

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #11 : 14/04/2012, 05:45:51 pm »

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.11. Diversos métodos para construir Sistemas de Números Reales.



Hasta ahora hemos desarrollado la Teoría Axiomática de los números reales.
Como siempre, hacemos la pregunta de si existe algún objeto matemático que satisfaga esos axiomas.
La respuesta es afirmativa, mas para ello es menester construir un modelo.

No contentos con eso, vamos a estudiar varios modelos distintos.
La mayoría de ellos se apoya en un sistema de números racionales a partir del cual se lleva a cabo una construcción de algún tipo.
Esto es viable, porque ya sabemos que existen sistemas que verifican los axiomas de los números racionales.
O sea que la construcción tiene sentido.

También tenemos el método de definir operaciones directamente sobre un alfabeto de dígitos.
En este caso no es necesario apoyarse en los números racionales, pero sí que será necesario utilizar la maquinaria de los números naturales, por cuanto se trabajará indefectiblemente con sucesiones.

Finalmente se puede demostrar la existencia de un sistema de números reales invocando al continuo de la línea recta euclidiana.
Vale decir, a partir de los axiomas geométricos es posible obtener un sistema de números reales.
Aquí puede suscitarse alguna discusión, ya que uno podría poner primero los axiomas de los números reales y sobre ellos construir la geometría euclidiana...
Así lo hacía Hilbert, debido a que era su manera de reducir el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría al de probar la consistencia de los axiomas de los números reales.
Aún así, vale la pena establecer paralelos entre ambos tipos de conceptos, después de todo la idea de "continuo" tiene que ver directamente con la representación de los números en la línea recta euclidiana.

En cada desplegable llevamos a cabo una construcción de un modelo diferente de sistema números reales, y basta hacer clic para ver los detalles.

En todo lo que sigue, supondremos que tenemos disponible un sistema de números racionales [texx](Q,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx], y denotaremos con [texx]N[/texx] y [texx]Z[/texx] a sus correspondientes subsistemas de numeros naturales y números enteros.
 

Método de los intervalos encajados de números racionales.

Método de las sucesiones monótonas acotadas de números racionales.

Método de las Cortaduras de Dedekind.



En línea

Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!