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Autor Tema: Grupo de los cuaterniones.  (Leído 2068 veces)
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Jorge
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« : 14/04/2012, 20:09:25 »

Demostrar que todos los subgrupos del grupo de los cuaterniones son normales.
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Teón
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« Respuesta #1 : 14/04/2012, 20:41:06 »

Hola:
Los ocho elementos del grupo de los cuaterniones, se los puede definir como:

[texx]\{-1,1,i,-i,j,-j,k,-k\}[/texx]

Que cumple con las siguientes reglas:

[texx]
\begin{align*}
i^2&=-1\\
j^2&=-1\\
k^2&=-1\\
ij&=k\\
jk&=i\\
ki&=j\\
ji&=-k\\
kj&=-i\\
ik&=-j
\end{align*}
[/texx]

Teniendo en cuenta que los subgrupos propios, serán de orden 2 o 4, como el único de orden 2 es el centro.
Es suficiente con analizar los de orden 4, que son los de tipo

[texx]\left<{i}\right>\,,\left<{j}\right>\,,\left<{k}\right>[/texx]

Con estos casos, es fácil comprobar que cualquier clase lateral izquierda es igual a su clase lateral derecha.
Por ejemplo:

[texx]j\left<i\right>=\left<-k\right>=\left<k\right>=\left<i\right>j[/texx]

Saludos.


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« Respuesta #2 : 15/04/2012, 17:59:49 »

La normalidad de los subgrupos de orden 4 es consecuencia directa de esto

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,55611.0.html
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